No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial III (Ex.Ene/13)

Enunciado

Una partícula material se mueve en el eje $OX\,$ bajo la acción de una fuerza conservativa cuya energía potencial $U\,$ depende de la posición del modo que se indica en la gráfica. La energía mecánica $E\,$ de la partícula vale $3\,\mathrm {J} \,$.

Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula en su movimiento ...

(a) ... pasa por tres posiciones de equilibrio.

(b) ... es imposible que alcance la posición $x=-4\,{\mbox{m}}\,$.

(c) ... alcanza un único punto de retorno.

(d) ... oscila entre las posiciones $x=-1\,\mathrm {m} \,$ y $x=1\,\mathrm {m} \,$.

Nota: Sólo es correcta una de las cuatro opciones.

Puntos de retorno, regiones prohibidas y regiones permitidas

Los puntos de retorno corresponden a los valores de $x\,$ para los cuales se produce intersección entre la curva de energía potencial $U(x)\,$ y la recta horizontal representativa de la energía mecánica constante $E=3\,\mathrm {J} \,$. Observamos en la gráfica que existen cuatro puntos de retorno:

$x_{1}=-7\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}=-1\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{3}=1\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{4}=3\,\mathrm {m}$

Se denominan "de retorno" porque, si la partícula llega a uno de estos puntos, sufrirá allí la anulación instantánea de su celeridad y la inversión del sentido de su movimiento. Esta inversión del sentido de movimiento se debe a que cada punto de retorno es la frontera entre una región permitida y una región prohibida.

En efecto, la energía cinética de una partícula es, por definición, mayor o igual que cero (no negativa) y, por tanto, la partícula tiene prohibido su acceso a aquellas regiones del eje $OX\,$ para las cuales la curva de energía potencial $U(x)\,$ está por encima de la recta horizontal de energía mecánica $E=3\,\mathrm {J} \,$.

En el caso que nos ocupa, detectamos dos regiones prohibidas:

$\left.{\begin{array}{l}x_{1}<x<x_{2}\\x_{3}<x<x_{4}\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{\,2}=K=E-U(x)<0\,\,\,\,\mathrm {(imposible)} \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {regiones} \,\,\mathrm {prohibidas}$

y tres regiones permitidas:

$\left.{\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\leq x_{1}\\x_{2}\leq x\leq x_{3}\\x_{4}\leq x\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{\,2}=K=E-U(x)\geq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {regiones} \,\,\mathrm {permitidas}$

Nótese que, al ser las tres regiones permitidas no conexas entre sí (están separadas por las regiones prohibidas), el movimiento de la partícula transcurrirá de facto sólo en una de las tres regiones permitidas. Pero ¿en cuál de las tres? Pues en aquella región en la que se halle la partícula inicialmente. Ahora bien, dado que en el presente ejercicio desconocemos las condiciones iniciales, nos quedaremos sin saber en cuál de las tres regiones permitidas se mueve la partícula.

Descartando la opción (a)

Dice la afirmación (a): "Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula en su movimiento pasa por tres posiciones de equilibrio". Vamos a comprobar que es FALSA.

En el movimiento unidimensional conservativo de una partícula, las posiciones de equilibrio se corresponden con los extremos locales de la función energía potencial (máximos $\,\rightarrow \,$ equilib. inestable; mínimos $\,\rightarrow \,$ equilib. estable). En el presente caso, observamos que la curva $U(x)\,$ tiene dos máximos y un mínimo. Hay, por tanto, tres posiciones de equilibrio. Sin embargo, la afirmación (a) es falsa porque, teniendo una energía mecánica de valor $E=3\,\mathrm {J} \,$, resulta imposible que la partícula pase por las tres posiciones de equilibrio. Para este nivel de energía mecánica, las dos posiciones de equilibrio inestable son inaccesible (quedan dentro de regiones prohibidas), y la posición de equilibrio estable sólo es accesible si la partícula se halla en la región permitida central. En resumen, puede que la partícula pase por una posición de equilibrio o puede que no pase por ninguna (depende de las condiciones iniciales), pero es imposible que pase por las tres.

Descartando la opción (c)

Dice la afirmación (c): "Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula en su movimiento alcanza un único punto de retorno". Vamos a comprobar que es FALSA.

Anteriormente hemos visto que hay cuatro puntos de retorno ($x_{1}\,$, $x_{2}\,$, $x_{3}\,$ y $x_{4}\,$). Pero ¿cuántos de ellos alcanza la partícula en su movimiento? La respuesta depende de las condiciones iniciales ($x_{0}\,$ y ${\dot {x}}_{0}\,$):

(1) Si $x_{0}<x_{1}\,$ y ${\dot {x}}_{0}<0\,$, la partícula no alcanza ningún punto de retorno.

(2) Si $x_{0}<x_{1}\,$ y ${\dot {x}}_{0}>0\,$ (o en el caso $x_{0}=x_{1}\,$), la partícula alcanza un único punto de retorno ($x_{1}\,$).

(3) Si $x_{2}\leq x_{0}\leq x_{3}\,$, la partícula alcanza dos puntos de retorno ($x_{2}\,$ y $x_{3}\,$).

(4) Si $x_{0}>x_{4}\,$ y ${\dot {x}}_{0}<0\,$ (o en el caso $x_{0}=x_{4}\,$), la partícula alcanza un único punto de retorno ($x_{4}\,$).

(5) Si $x_{0}>x_{4}\,$ y ${\dot {x}}_{0}>0\,$, la partícula no alcanza ningún punto de retorno.

En consecuencia, la afirmación (c) es falsa, pues el desconocimiento de las condiciones iniciales impide saber con certeza cuántos puntos de retorno alcanza la partícula en su movimiento. Es cierto que podría ser alcanzado un único punto de retorno (casos (2) y (4)), pero no tenemos certeza de que así sea, ya que también podrían ser alcanzados dos puntos de retorno (caso (3)) o ninguno (casos (1) y (5)).

Descartando la opción (d)

Dice la afirmación (d): "Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula en su movimiento oscila entre las posiciones $x=-1\,\mathrm {m} \,$ y $x=1\,\mathrm {m} \,$". Vamos a comprobar que es FALSA.

Es cierto que si la posición inicial $x_{0}\,$ cumple la condición $x_{2}\leq x_{0}\leq x_{3}\,$, entonces la partícula se encuentra confinada en un pozo de potencial y oscila indefinidamente entre los puntos de retorno $x_{2}=-1\,\mathrm {m} \,$ y $x_{3}=1\,\mathrm {m} \,$. Aun así, la afirmación (d) es falsa, ya que desconocemos $x_{0}\,$ y, por tanto, no tenemos certeza de que la partícula se halle precisamente en esa región central. Podría ocurrir que la partícula esté en alguna de las otras dos regiones permitidas ($x_{0}\leq x_{1}\,\,$ o $\,x_{0}\geq x_{4}\,$).

Eligiendo la opción (b)

Dice la afirmación (b): "Aun desconociendo su posición inicial, se puede asegurar con certeza que esta partícula en su movimiento es imposible que alcance la posición $x=-4\,{\mbox{m}}\,$". Pues bien, ésta es la afirmación CORRECTA que buscábamos.

En efecto, la posición $x=-4\,{\mbox{m}}\,$ queda dentro de una región prohibida:

$x_{1}=-7\,\mathrm {m} <-4\,\mathrm {m} <x_{2}=-1\,\mathrm {m}$

y, por tanto, es inalcanzable para la partícula.