No Boletín - Partícula unida a dos muelles (Ex.Feb/14)

Enunciado

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, se mueve en el eje $OX\,$ sometida exclusivamente a las fuerzas que ejercen sobre ella dos resortes elásticos ideales. Ambos resortes tienen longitud natural nula, pero uno de ellos ($OP\,$) está anclado en el origen de coordenadas $O\,$ y tiene constante elástica $k\,$, mientras que el otro ($AP\,$) está anclado en el punto $A\,$ de coordenada $x_{_{\!A}}\!=L\,\,$ y tiene constante elástica $2k\,$.

1. ¿Cuál es la posición de equilibrio?
2. ¿Qué celeridad máxima alcanzará la partícula en su movimiento si en el instante inicial se halla en reposo en el punto medio entre $O\,$ y $A\,$?

Posición de equilibrio

La fuerza neta que actúa sobre la partícula $P\,$ es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen sobre ella los dos resortes:

${\vec {F}}=-\,k\,{\overrightarrow {OP}}-2k\,{\overrightarrow {AP}}$

y sustituyendo en esta expresión los vectores de posición de $P\,$ respecto a los puntos de anclaje de los resortes ($O\,$ y $A\,$):

${\overrightarrow {OP}}=x\,{\vec {\imath }}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {AP}}=-\,(L-x)\,{\vec {\imath }}$

se obtiene:

${\vec {F}}=-\,k\,[x-2(L-x)]\,{\vec {\imath }}=k\,(2L-3x)\,{\vec {\imath }}$

Exigiendo la condición de equilibrio (fuerza neta igual a cero), obtenemos la posición de equilibrio de la partícula:

${\vec {F}}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,2L-3x_{\mathrm {eq} }=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,x_{\mathrm {eq} }={\frac {2L}{3}}$

Celeridad máxima

La energía cinética $K\,$ de la partícula depende de su celeridad $v\,$ mediante la expresión:

$K={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Las fuerzas ejercidas sobre la partícula por los resortes son conservativas, y como tales permiten que se les asocie una función energía potencial (elástica) que es función de la posición $x\,$ mediante la expresión:

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2}}2k\,(L-x)^{2}={\frac {1}{2}}k\,(3x^{2}-4Lx+2L^{2})$

Dado que sobre la partícula no trabaja ninguna fuerza no conservativa, sabemos que su energía mecánica $E\,$ (suma de su energía cinética y su energía potencial) permanece constante durante el movimiento:

$E=K+U={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}k\,(3x^{2}-4Lx+2L^{2})=\mathrm {cte}$

Por el enunciado conocemos las condiciones iniciales del movimiento (reposo en el punto medio entre $O\,$ y $A\,$):

$x(0)={\frac {L}{2}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,v(0)=0$

Así que la energía mecánica constante podemos evaluarla a partir de dichas condiciones iniciales:

$E=E(0)={\frac {1}{2}}m[v(0)]^{2}+{\frac {1}{2}}k\,\left\{3[x(0)]^{2}-4L[x(0)]+2L^{2}\right\}={\frac {1}{2}}k\left[3\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}-4L\left({\frac {L}{2}}\right)+2L^{2}\right]={\frac {3}{8}}\,kL^{2}$

Cuando la partícula alcance su celeridad máxima, también será máxima su energía cinética. Y teniendo en cuenta que la energía mecánica es constante, es obvio que la energía cinética máxima se alcanzará cuando la energía potencial sea mínima:

$K_{\mathrm {max} }=E-U_{\mathrm {min} }\,$

Pero sabemos que la energía potencial toma sus valores extremos (mínimos o máximos) en los puntos de equilibrio (en los cuales se anula la derivada primera de la función energía potencial respecto a su variable $x\,$). En el caso que nos ocupa, ya hemos calculado la única posición de equilibrio de la partícula, y analizando la derivada segunda de la función energía potencial respecto a $x\,$ descubrimos que es positiva (su valor es constante e igual a $3k\,$) y que, por tanto, el punto de equilibrio corresponde a un mínimo de energía potencial. Así que:

$U_{\mathrm {min} }=U|_{x=x_{\mathrm {eq} }}={\frac {1}{2}}k\left[3\left({\frac {2L}{3}}\right)^{2}-4L\left({\frac {2L}{3}}\right)+2L^{2}\right]={\frac {1}{3}}\,kL^{2}$

Y calculamos por fin la energía cinética máxima y la celeridad máxima:

$K_{\mathrm {max} }=E\,-\,U_{\mathrm {min} }={\frac {3}{8}}\,kL^{2}-{\frac {1}{3}}\,kL^{2}={\frac {1}{24}}\,kL^{2}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}mv_{\mathrm {max} }^{2}={\frac {1}{24}}\,kL^{2}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,v_{\mathrm {max} }={\sqrt {\frac {k}{3m}}}\,{\frac {L}{2}}$