No Boletín - Movimiento central en coordenadas polares (Ex.Dic/12)

Enunciado

El movimiento de una partícula en un plano $OXY\,$ (para $t>0\,$) viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho (t)=C_{1}\,t^{n}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=C_{2}\,t^{3/5}$

donde $C_{1}\,$ y $C_{2}\,$ son constantes conocidas. Sabiendo que la fuerza que actúa sobre la partícula es central con centro en el origen de coordenadas, ¿cuál es necesariamente el valor del exponente $n\,$?

Solución

Por ser la fuerza que actúa sobre la partícula una fuerza central con centro en el origen de coordenadas $O\,$, el momento de dicha fuerza respecto al punto $O\,$ es nulo. Y entonces sabemos que se conservará constante a lo largo del tiempo el momento cinético de la partícula respecto al punto $O\,$ (teorema de conservación del momento cinético de una partícula).

Vamos, pues, a determinar primero dicho momento cinético ${\vec {L}}_{O}\,$ en función de los datos del ejercicio (entre ellos, el exponente $n\,$), y después deduciremos el valor del exponente $n\,$ exigiendo que ${\vec {L}}_{O}\,$ sea independiente del tiempo.

Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula

${\begin{array}{rcl}{\vec {r}}&=&\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {v}}&=&{\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

en la definición del momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas $O\,$, se obtiene:

${\vec {L}}_{O}={\vec {r}}\times m\,{\vec {v}}=m\,\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\times ({\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta })=m\,\rho ^{2}{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}$

Y sustituyendo en esta expresión general las funciones concretas $\rho \,$ y ${\dot {\theta }}\,$ que se deducen de las ecuaciones horarias dadas en el enunciado, se llega a:

$\left.{\begin{array}{l}\rho =C_{1}\,t^{n}\\\theta =C_{2}\,t^{\frac {3}{5}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{\dot {\theta }}=\displaystyle {\frac {3}{5}}C_{2}\,t^{-{\frac {2}{5}}}\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {L}}_{O}=m\,C_{1}^{\,2}t^{\,2n}\,\displaystyle {\frac {3}{5}}C_{2}\,t^{-{\frac {2}{5}}}\,{\vec {k}}=\displaystyle {\frac {3}{5}}m\,C_{1}^{\,2}C_{2}\,t^{\,\left(2n-{\frac {2}{5}}\right)}\,{\vec {k}}$

Finalmente, la exigencia de que ${\vec {L}}_{O}\,$ sea independiente del tiempo nos lleva a forzar la nulidad del exponente con que aparece el tiempo en la expresión obtenida, y de ahí obtenemos el valor de $n\,$:

${\vec {L}}_{O}=\mathrm {cte} \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,2n-{\frac {2}{5}}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,n={\frac {1}{5}}$