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No Boletín - Movimiento central en coordenadas polares (Ex.Dic/12)

De Laplace

1 Enunciado

El movimiento de una partícula en un plano OXY\, (para t>0\,) viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:


\rho(t)=C_1\,t^{n}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta(t)=C_2\,t^{3/5}

donde C_1\, y C_2\, son constantes conocidas. Sabiendo que la fuerza que actúa sobre la partícula es central con centro en el origen de coordenadas, ¿cuál es necesariamente el valor del exponente n\,?

2 Solución

Por ser la fuerza que actúa sobre la partícula una fuerza central con centro en el origen de coordenadas O\,, el momento de dicha fuerza respecto al punto O\, es nulo. Y entonces sabemos que se conservará constante a lo largo del tiempo el momento cinético de la partícula respecto al punto O\, (teorema de conservación del momento cinético de una partícula).

Vamos, pues, a determinar primero dicho momento cinético \vec{L}_O\, en función de los datos del ejercicio (entre ellos, el exponente n\,), y después deduciremos el valor del exponente n\, exigiendo que \vec{L}_O\, sea independiente del tiempo.

Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula

\begin{array}{rcl} \vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho} \\ \vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\end{array}

en la definición del momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas O\,, se obtiene:

\vec{L}_O=\vec{r}\times m\,\vec{v}=m\,\rho\,\vec{u}_{\rho}\times(\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta})=m\,\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}

Y sustituyendo en esta expresión general las funciones concretas \rho\, y \dot{\theta}\, que se deducen de las ecuaciones horarias dadas en el enunciado, se llega a:


\left.\begin{array}{l} \rho=C_1\,t^{n} \\ \theta=C_2\,t^{\frac{3}{5}} \,\,\,\Rightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\displaystyle\frac{3}{5}C_2\,t^{-\frac{2}{5}} \end{array}\right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_O=m\,C_1^{\, 2}t^{\,2n}\,\displaystyle\frac{3}{5}C_2\,t^{-\frac{2}{5}}\,\vec{k}=\displaystyle\frac{3}{5}m\,C_1^{\, 2}C_2\,t^{\,\left(2n-\frac{2}{5}\right)}\,\vec{k}

Finalmente, la exigencia de que \vec{L}_O\, sea independiente del tiempo nos lleva a forzar la nulidad del exponente con que aparece el tiempo en la expresión obtenida, y de ahí obtenemos el valor de n\,:


\vec{L}_O=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,2n-\frac{2}{5}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, n=\frac{1}{5}

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