No Boletín - Movimiento central en coordenadas polares (Ex.Dic/12)

Enunciado

El movimiento de una partícula en un plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} (para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>0\,} ) viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t)=C_1\,t^{n}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta(t)=C_2\,t^{3/5} }

donde $C_{1}\,$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2\,} son constantes conocidas. Sabiendo que la fuerza que actúa sobre la partícula es central con centro en el origen de coordenadas, ¿cuál es necesariamente el valor del exponente $n\,$?

Solución

Por ser la fuerza que actúa sobre la partícula una fuerza central con centro en el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , el momento de dicha fuerza respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} es nulo. Y entonces sabemos que se conservará constante a lo largo del tiempo el momento cinético de la partícula respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} (teorema de conservación del momento cinético de una partícula).

Vamos, pues, a determinar primero dicho momento cinético Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O\,} en función de los datos del ejercicio (entre ellos, el exponente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\,} ), y después deduciremos el valor del exponente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\,} exigiendo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O\,} sea independiente del tiempo.

Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rcl} \vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho} \\ \vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\end{array}}

en la definición del momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=\vec{r}\times m\,\vec{v}=m\,\rho\,\vec{u}_{\rho}\times(\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta})=m\,\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}}

Y sustituyendo en esta expresión general las funciones concretas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\,} que se deducen de las ecuaciones horarias dadas en el enunciado, se llega a:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l} \rho=C_1\,t^{n} \\ \theta=C_2\,t^{\frac{3}{5}} \,\,\,\Rightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\displaystyle\frac{3}{5}C_2\,t^{-\frac{2}{5}} \end{array}\right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{L}_O=m\,C_1^{\, 2}t^{\,2n}\,\displaystyle\frac{3}{5}C_2\,t^{-\frac{2}{5}}\,\vec{k}=\displaystyle\frac{3}{5}m\,C_1^{\, 2}C_2\,t^{\,\left(2n-\frac{2}{5}\right)}\,\vec{k} }

Finalmente, la exigencia de que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O\,} sea independiente del tiempo nos lleva a forzar la nulidad del exponente con que aparece el tiempo en la expresión obtenida, y de ahí obtenemos el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,2n-\frac{2}{5}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, n=\frac{1}{5} }