Partícula sujeta de dos hilos

Enunciado

Una masa m = 10 kg cuelga inicialmente de un hilo de 50 cm de longitud sujeto del techo a una distancia de 80 cm de la pared más cercana. Para evitar que el primer hilo se rompa, se afianza la masa sujetándola con un hilo adicional de 50 cm atado horizontalmente a la pared. Determine la tensión de cada hilo. ¿Ha aumentado o disminuido la tensión del hilo original?

Un hilo

En el primer caso, la fuerza de reacción vincular, la tensión del hilo, es puramente vertical y debe compensar exactamente al peso

${\vec {\Phi }}=-m{\vec {g}}=mg{\vec {k}}$

Sustituyendo los valores numéricos

${\vec {\Phi }}=(98\,{\vec {k}})\mathrm {N}$

Dos hilos

En el segundo caso, tenemos dos incógnitas que son las dos tensiones de los hilos. Tenemos también dos ecuaciones, que son las dos componentes de la fuerza.

Al estar atado el segundo hilo horizontalmente y tener una longitud de 50 cm, esto quiere decir que el primer hilo queda inclinado, debiendo su extremo acercarse 30 cm a la pared. Puesto que su longitud es también de 50 cm, ello implica que su extremo inferior queda

$z={\sqrt {50^{2}-30^{2}}}\,\mathrm {cm} =40\,\mathrm {cm}$

del techo. El ángulo que forma con la vertical, $\theta$ es tal que

$\cos(\theta )={\frac {4}{5}}\,\,;\qquad \qquad \mathrm {sen} (\theta )={\frac {3}{5}}$

El balance de fuerzas es ahora

${\vec {\Phi }}_{1}+{\vec {\Phi }}_{2}+m{\vec {g}}={\vec {0}}$

Separando en las componentes cartesianas

${\begin{array}{rcl}\displaystyle -{\frac {3}{5}}\Phi _{1}+\Phi _{2}&=&0\\&&\\\displaystyle {\frac {4}{5}}\Phi _{1}-mg&=&0\end{array}}$

obtenemos la solución

$\Phi _{1}={\frac {5}{4}}mg=123\,\mathrm {N} \,\,;$     $\Phi _{2}={\frac {3}{5}}\Phi _{1}={\frac {3}{4}}mg=74\,\mathrm {N}$

Vemos que la tensión del primer hilo no ha disminuido por la colocación del segundo hilo, sino que ha aumentado en un 25%.