No Boletín - Péndulo cónico (Ex.Ene/13)

Enunciado

Se denomina péndulo cónico a un péndulo simple cuya masa puntual, en lugar de oscilar en un plano vertical, realiza un movimiento circular uniforme en un plano horizontal (ver figura). Considere que la masa puntual es $m\,$, la longitud del péndulo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\,} , el ángulo que forma el hilo con la vertical es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} y la gravedad es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g\,} .

1. ¿Con qué celeridad se mueve la masa puntual?
2. ¿Cuál es el módulo de la tensión del hilo?

Solución

La masa puntual describe con celeridad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v\,} (movimiento uniforme) una circunferencia de radio:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=L\,\mathrm{sen}(\theta) }

y lo hace bajo la acción de dos fuerzas: el peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}\,} y la tensión ejercida por el hilo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} .

Para expresar las magnitudes vectoriales, utilizaremos el triedro intrínseco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}\,} de la circunferencia.

El peso es una fuerza activa y, como tal, es conocida a priori:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}=-mg\,\vec{B} }

Sin embargo, la tensión del hilo es una fuerza de reacción vincular, de módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi\,} en principio desconocido, con dirección a lo largo del hilo y sentido hacia el punto de suspensión del hilo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}=\Phi[\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{N}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{B}\,] }

Dado que la masa puntual describe un movimiento circular uniforme, sabemos que su aceleración sólo va a tener componente normal:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l} a_t=\displaystyle\frac{dv}{dt}=0 \\ \\ a_n=\displaystyle\frac{v^2}{R}=\frac{v^2}{L\,\mathrm{sen}(\theta)} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{a}=a_t\,\vec{T}+a_n\,\vec{N}=\displaystyle\frac{v^2}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{N} }

Aplicando la segunda ley de Newton, y separando componentes, se llega al siguiente sistema de ecuaciones (para las incógnitas $v\,$ y $\Phi \,$):

$m{\vec {g}}+{\vec {\Phi }}=m{\vec {a}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}\Phi \,\mathrm {sen} (\theta )=m\displaystyle {\frac {v^{2}}{L\,\mathrm {sen} (\theta )}}\\\\-mg+\Phi \,\mathrm {cos} (\theta )=0\end{array}}\right.$

Resolviendo el sistema, obtenemos los valores de la celeridad $v\,$ de la partícula y del módulo $\Phi \,$ de la tensión del hilo:

$v=\mathrm {sen} (\theta ){\sqrt {\frac {gL}{\mathrm {cos} (\theta )}}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Phi ={\frac {mg}{\mathrm {cos} (\theta )}}$