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No Boletín - Péndulo cónico (Ex.Ene/13)

De Laplace

1 Enunciado

Se denomina péndulo cónico a un péndulo simple cuya masa puntual, en lugar de oscilar en un plano vertical, realiza un movimiento circular uniforme en un plano horizontal (ver figura). Considere que la masa puntual es m\,, la longitud del péndulo es L\,, el ángulo que forma el hilo con la vertical es \theta\, y la gravedad es g\,.

  1. ¿Con qué celeridad se mueve la masa puntual?
  2. ¿Cuál es el módulo de la tensión del hilo?

2 Solución

La masa puntual describe con celeridad constante v\, (movimiento uniforme) una circunferencia de radio:


R=L\,\mathrm{sen}(\theta)

y lo hace bajo la acción de dos fuerzas: el peso m\vec{g}\, y la tensión ejercida por el hilo \vec{\Phi}\,.

Para expresar las magnitudes vectoriales, utilizaremos el triedro intrínseco \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}\, de la circunferencia.

El peso es una fuerza activa y, como tal, es conocida a priori:


m\vec{g}=-mg\,\vec{B}

Sin embargo, la tensión del hilo es una fuerza de reacción vincular, de módulo \Phi\, en principio desconocido, con dirección a lo largo del hilo y sentido hacia el punto de suspensión del hilo:


\vec{\Phi}=\Phi[\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{N}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{B}\,]

Dado que la masa puntual describe un movimiento circular uniforme, sabemos que su aceleración sólo va a tener componente normal:


\left.\begin{array}{l} a_t=\displaystyle\frac{dv}{dt}=0 \\ \\ a_n=\displaystyle\frac{v^2}{R}=\frac{v^2}{L\,\mathrm{sen}(\theta)} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{a}=a_t\,\vec{T}+a_n\,\vec{N}=\displaystyle\frac{v^2}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{N}

Aplicando la segunda ley de Newton, y separando componentes, se llega al siguiente sistema de ecuaciones (para las incógnitas v\, y \Phi\,):


m\vec{g}+\vec{\Phi}=m\vec{a}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \Phi\,\mathrm{sen}(\theta)=m\displaystyle\frac{v^2}{L\,\mathrm{sen}(\theta)} \\ \\ -mg+\Phi\,\mathrm{cos}(\theta)=0 \end{array}\right.

Resolviendo el sistema, obtenemos los valores de la celeridad v\, de la partícula y del módulo \Phi\, de la tensión del hilo:


v=\mathrm{sen}(\theta)\sqrt{\frac{gL}{\mathrm{cos}(\theta)}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\Phi=\frac{mg}{\mathrm{cos}(\theta)}

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