No Boletín - Péndulo cónico (Ex.Ene/13)

Enunciado

Se denomina péndulo cónico a un péndulo simple cuya masa puntual, en lugar de oscilar en un plano vertical, realiza un movimiento circular uniforme en un plano horizontal (ver figura). Considere que la masa puntual es $m\,$, la longitud del péndulo es $L\,$, el ángulo que forma el hilo con la vertical es $\theta \,$ y la gravedad es $g\,$.

1. ¿Con qué celeridad se mueve la masa puntual?
2. ¿Cuál es el módulo de la tensión del hilo?

Solución

La masa puntual describe con celeridad constante $v\,$ (movimiento uniforme) una circunferencia de radio:

$R=L\,\mathrm {sen} (\theta )$

y lo hace bajo la acción de dos fuerzas: el peso $m{\vec {g}}\,$ y la tensión ejercida por el hilo ${\vec {\Phi }}\,$.

Para expresar las magnitudes vectoriales, utilizaremos el triedro intrínseco $\{{\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}}\}\,$ de la circunferencia.

El peso es una fuerza activa y, como tal, es conocida a priori:

$m{\vec {g}}=-mg\,{\vec {B}}$

Sin embargo, la tensión del hilo es una fuerza de reacción vincular, de módulo $\Phi \,$ en principio desconocido, con dirección a lo largo del hilo y sentido hacia el punto de suspensión del hilo:

${\vec {\Phi }}=\Phi [\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {N}}+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {B}}\,]$

Dado que la masa puntual describe un movimiento circular uniforme, sabemos que su aceleración sólo va a tener componente normal:

$\left.{\begin{array}{l}a_{t}=\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=0\\\\a_{n}=\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}={\frac {v^{2}}{L\,\mathrm {sen} (\theta )}}\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {a}}=a_{t}\,{\vec {T}}+a_{n}\,{\vec {N}}=\displaystyle {\frac {v^{2}}{L\,\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {N}}$

Aplicando la segunda ley de Newton, y separando componentes, se llega al siguiente sistema de ecuaciones (para las incógnitas $v\,$ y $\Phi \,$):

$m{\vec {g}}+{\vec {\Phi }}=m{\vec {a}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}\Phi \,\mathrm {sen} (\theta )=m\displaystyle {\frac {v^{2}}{L\,\mathrm {sen} (\theta )}}\\\\-mg+\Phi \,\mathrm {cos} (\theta )=0\end{array}}\right.$

Resolviendo el sistema, obtenemos los valores de la celeridad $v\,$ de la partícula y del módulo $\Phi \,$ de la tensión del hilo:

$v=\mathrm {sen} (\theta ){\sqrt {\frac {gL}{\mathrm {cos} (\theta )}}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Phi ={\frac {mg}{\mathrm {cos} (\theta )}}$