Problemas de Movimiento Plano (GITI)

6.1. Movimiento de un aro en un pasador

Sea un aro de centro $C$ y radio $R$ (sólido “2”) que se mueve, en un plano fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido $1$), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto $O$, y además se halla articulado en su punto $A$ a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal $OX_{1}$ (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes $AX_{2}Y_{2}$ (sólido $2$) solidario con el aro en su movimiento.

1. Determine gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
2. Sabiendo que el ángulo $\theta$, que forman los ejes $OX_{1}$ y $AX_{2}$, verifica la ley horaria $\theta (t)=\Omega t$ (donde $\Omega$ es una constante conocida), calcule ${\vec {v}}_{21}^{A}(t)$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,C}(t)$.

6.2. Movimiento de barra en un pasador

La barra $AB$ (sólido “2”), de longitud $2a$, puede deslizar en su extremo A por el eje $OX_{1}$ de la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”), al mismo tiempo que desliza por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto C del eje $OY_{1}$, a una distancia $a$ del origen O. Sabiendo que la barra gira con velocidad angular constante $\Omega$ (ley horaria $\theta (t)=\Omega t$, donde $\theta$ es el ángulo definido en la figura), se pide:

1. Determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
2. Calcular las velocidades, ${\vec {v}}_{21}^{A}(t)$ y ${\vec {v}}_{21}^{B}(t)$, y las aceleraciones, ${\vec {a}}_{21}^{A}(t)$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}(t)$, de los dos extremos de la barra en cualquier instante de tiempo.
3. Determinar analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

6.3. Barra apoyada en placa

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado $a$ (sólido “0”), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo $OX_{1}$ (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}$. Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “2”), que gira con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{21}=\Omega {\vec {k}}_{1}$, alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). Se pide:

1. Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I_{21}$, $I_{02}$ e $I_{01}$.
2. Calcular: i) La velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos (movimiento {01}), expresada en función de la posición del sistema: ${\vec {v}}_{\!01}^{A}={\vec {v}}_{01}^{A}(\theta )$. ii) La velocidad angular ${\vec {\omega }}_{02}$, correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {02}).
3. Determinar analíticamente la posición del CIR del movimiento {02} (en función del ángulo $\theta$).

6.4. Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)

El plano vertical fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio $R\,$ (sólido "2"), y una barra $BC\,$ de longitud $L\,$ (sólido "0"). El disco rueda sin deslizar sobre el eje vertical $O_{1}Y_{1}\,$, avanzando su centro $C\,$ con velocidad constante ${\vec {v}}_{21}^{\,C}(t)=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}\,$. Y, como consecuencia, también la barra se mueve, ya que su extremo $C\,$ está articulado al centro del disco, mientras que su extremo $B\,$ está articulado a un deslizador que lo obliga a recorrer el eje $O_{1}X_{1}\,$.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo $\theta \,$ que forma la barra $BC\,$ con respecto a la vertical (ver figura). Se pide:

1. Determinar gráficamente la posición de los tres centros instantáneos de rotación: $I_{21}\,$, $I_{20}\,$ y $I_{01}\,$.
2. Calcular todas las velocidades angulares en función de la posición, es decir: ${\vec {\omega }}_{21}(\theta )\,,$ ${\vec {\omega }}_{01}(\theta )\,$ y ${\vec {\omega }}_{20}(\theta )\,$.
3. Calcular las aceleraciones ${\vec {a}}_{01}^{\,C}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$ (ver $A\,$ en la figura).

6.5. Disco apoyado en placa

El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado $L$, que desliza sobre el eje $O_{1}X_{1}$, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio $R$, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje $O_{1}Y_{1}$ en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes $AX_{0}Y_{0}$, definido de tal modo que el eje $AY_{0}$ contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje $AX_{0}$ es tangente a dicho disco (sólido “0”).

1. Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I_{21}$, $I_{20}$, $I_{03}$, $I_{23}$ e $I_{01}$.
2. Utilizando como parámetro el ángulo $\theta$ del dibujo (ángulo que forma el eje $AX_{0}$ con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: $\{{\vec {\omega }}_{20}(\theta ,{\dot {\theta }}),{\vec {v}}_{20}^{\;C}(\theta ,{\dot {\theta }})\}$, $\{{\vec {\omega }}_{03}(\theta ,{\dot {\theta }}),{\vec {v}}_{03}^{\;C}(\theta ,{\dot {\theta }})\}$, $\{{\vec {\omega }}_{31}(\theta ,{\dot {\theta }}),{\vec {v}}_{31}^{\;C}(\theta ,{\dot {\theta }})\}$ y $\{{\vec {\omega }}_{21}(\theta ,{\dot {\theta }}),{\vec {v}}_{21}^{\;C}(\theta ,{\dot {\theta }})\}$.

6.6. Disco en manivela ranurada

El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio $R$ y centro $C$ (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $OX_{1}$; y una manivela ranurada $OA$ (sólido “0”), que es obligada a girar con velocidad angular constante $\Omega$ alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto $O$ y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje $OZ_{1}$). Los movimientos de ambos sólidos se hallan vinculados entre sí porque el centro C del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela.

Considerando el movimiento {20} como el movimiento problema, se pide:

1. Haciendo uso de procedimientos gráficos, determinar la posición del CIR de dicho movimiento {20}.
2. Utilizando como parámetro geométrico el ángulo $\theta$ indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento {20} en el punto C, $\{{\vec {\omega }}_{20}(\theta ),{\vec {v}}_{20}^{\,C}(\theta )\}$.
3. Clasificar el movimiento {20} en el instante en que $\theta =\pi /2$ especificando si se trata de rotación, traslación, movimiento helicoidal o reposo.

6.7. Movimiento de dos varillas articuladas

El mecanismo de la figura está constituido por dos varillas rígidas (sólidos “2” y “0”), de grosor despreciable y longitud indefinida, que se mueven en el plano fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”). La varilla “2” se desplaza verticalmente hacia arriba con velocidad constante $v$, manteniéndose siempre paralela al eje $OY_{\!1}$ y a una distancia $c$ de éste; mientras que la varilla “0”, articulada a la anterior en su extremo común A, desliza por el interior de un pasador giratorio ubicado en el punto O del sólido “1”. Utilizando el ángulo $\theta$ (definido en la figura) como parámetro descriptivo del movimiento, se pide:

1. Reducción cinemática de los movimientos {21}, {20} y {01} en el punto O, es decir: $\{{\vec {\omega }}_{\!21};\;{\vec {v}}_{21}^{\,O}\}$, $\{{\vec {\omega }}_{20};\;{\vec {v}}_{20}^{\,O}\}$ y $\{{\vec {\omega }}_{01};\;{\vec {v}}_{01}^{\,O}\}$.
2. Determinación gráfica y determinación analítica de la posición del punto $I_{01}$, centro instantáneo de rotación del movimiento {01}.
3. Cálculo de las aceleraciones ${\vec {a}}_{01}^{A}$ y ${\vec {a}}_{01}^{\,O}$.

Nota: Para resolver el ejercicio, se propone el uso de la base vectorial asociada al sistema de ejes $AX_{\!0}Y_{0}$ de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla “0” y cuyo eje $AX_{0}$ es colineal con ella.

6.8. Barra horizontal apoyada en disco

El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio $R$, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $O_{1}X_{1}$ de la escuadra fija $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante $v_{0}$, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto $A$) y sin deslizar sobre éste. Se pide:

1. Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: $\{{\vec {\omega }}_{\!21};\,{\vec {v}}_{21}^{\,O}\}$, $\{{\vec {\omega }}_{\,01};\,{\vec {v}}_{\,01}^{\,O}\}$ y $\{{\vec {\omega }}_{\,20};\,{\vec {v}}_{20}^{\,O}\}$.
2. Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto $A$, es decir: ${\vec {a}}_{20}^{A}$.

6.9. Placa en escuadra rotatoria

Se tiene un sistema formado por un plano horizontal (sólido “1”) en uno de cuyos puntos, O, se encuentra articulada una escuadra (sólido “0”) formada por dos barras ortogonales entre sí. Esta escuadra gira en torno a O, resultando variable el ángulo $\theta (t)$ que forma la barra $OX_{0}$ con el plano horizontal “1” (ver figura). Sobre la escuadra se encuentra permanentemente apoyada por sus vértices inferiores, A y B, una placa cuadrada de lado $L$, cuyo lado inferior AB mantiene en todo momento su horizontalidad respecto al plano “1”.

1. En función del ángulo $\theta$, localice geométricamente de forma razonada el centro instantáneo de rotación del movimiento {20}. Exprese su vector de posición relativo al punto O tanto en la base ligada al sólido “0” como en la ligada al sólido “1”. ¿Dónde se localiza el CIR del movimiento {21}?
2. En función de $\theta$ y de ${\dot {\theta }}$, calcule las velocidades de deslizamiento de la placa “2” respecto a la escuadra “0” en los puntos de contacto A y B.

6.10. Engranaje concéntrico

Archivo:Engranaje-concentrico-Dk.png

Se tiene un engranaje formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio $a$ (sólido “2”) y un anillo exterior estacionario (sólido “1”), de radio $b$. Entre el disco central y el anillo exterior se encuentra un sistema de dos discos iguales (“3”) y (“4”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por una barra articulada “5”. En un momento dado, el disco central se encuentra girando con velocidad angular $\Omega$ respecto al anillo fijo exterior y los centros de los discos 3 y 4 se encuentran sobre el eje $OX_1$.

1. Determine las velocidades angulares ${\vec {\omega }}_{31}$, ${\vec {\omega }}_{41}$ y ${\vec {\omega }}_{51}$.
2. ¿Qué tipo de movimiento efectúa el disco 3 respecto al 4? ¿Con qué velocidad?

No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)

Sea una varilla rígida (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), de tal modo que está obligada a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto $O\,$, y además se halla articulada en su extremo $A\,$ a un deslizador que recorre un aro fijo (sólido "1") de radio $R\,$ y centro en el punto $C\,$ (de posición ${\overrightarrow {OC}}=R\,{\vec {\imath }}_{1}\,$).

Se define también la escuadra auxiliar $OX_{0}Y_{0}\,$ (sólido "0") de la figura, cuyo eje $OX_{0}\,$ es colineal con la varilla en todo instante, y en cuya base asociada $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0}\}\,$ deberán expresarse todas las magnitudes vectoriales solicitadas en este ejercicio.

Denominando $\theta \,$ al ángulo que forma la varilla con el eje $OX_{1}\,$ (ver figura), y sabiendo que ${\dot {\theta }}=\Omega \,\mathrm {(cte)} \,$, se pide:

1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{20}\,$, $I_{01}\,$ e $I_{21}.\,$
2. Cálculo de las velocidades ${\vec {v}}_{20}^{\,A}(\theta )\,$, ${\vec {v}}_{01}^{\,A}(\theta )\,$ y ${\vec {v}}_{21}^{\,A}(\theta ).\,$
3. Cálculo de las aceleraciones ${\vec {a}}_{20}^{\,A}(\theta )\,$, ${\vec {a}}_{01}^{\,A}(\theta )\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,A}(\theta ).\,$
4. Cálculo de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}(\theta )\,$ y la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}(\theta ).\,$
5. Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación $I_{21}\,$, es decir, ${\overrightarrow {OI_{21}}}(\theta ).\,$

No Boletín - Barra oblicua apoyada en disco (Ex.Dic/11)

Se tiene un sistema de tres sólidos: una superficie horizontal fija (sólido "1"), una barra (sólido "0") articulada en un punto $O\,$ de la superficie horizontal, y un disco (sólido "2") de radio $R\,$. La barra se encuentra apoyada en el disco. El disco rueda sin deslizar sobre el suelo, moviéndose hacia la izquierda, empujando a la barra en su movimiento, de forma que el ángulo $\theta (t)\,$ va aumentando (ver figura). Localice gráficamente las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{21}\,$, $I_{20}\,$ e $I_{01.}\,$

Suponga que el disco tiene radio $R=20\,\mathrm {cm}$ y que en un instante dado su punto de contacto con el suelo $A\,$ se encuentra a una distancia $D=20\,\mathrm {cm}$ de $O\,.$ En ese momento el ángulo $\theta \,$ crece con derivada ${\dot {\theta }}=0.5\,\mathrm {rad/s} \,.$ Para ese instante:

1. Calcule las velocidades angulares ${\vec {\omega }}_{21}\,$, ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y ${\vec {\omega }}_{01.}\,$
2. Indique los vectores de posición, respecto al sistema de ejes "1", de los centros instantáneos de rotación.
3. Halle la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra en el punto de contacto $P\,.$

No Boletín - Cuestión sobre cálculo gráfico del C.I.R. (Ex.Sep/15)

Sea $OXY\,$ el plano director en el movimiento plano de cierto sólido rígido. En el diagrama adjunto se representan las posiciones y velocidades de dos puntos ($A\,$ y $B\,$) de dicho sólido en un instante dado. La cuadrícula del diagrama es tal que cada celdilla corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de la magnitud representada.

1. Determine el vector de posición del centro instantáneo de rotación $I.\,$
2. Calcule la velocidad instantánea del punto del sólido rígido que se halla en $O\,$

No Boletín - Disco rodando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/12)

Un disco de radio $R\,$ (sólido "2"), contenido en el plano $OX_{0}Y_{0}\,$, rueda sin deslizar sobre el eje $OX_{0}\,$ (sólido "0"), de tal modo que su centro $C\,$ avanza con velocidad relativa constante ${\vec {v}}_{20}^{\,C}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{0}\,$. Al mismo tiempo, la escuadra $OX_{0}Y_{0}\,$ (sólido "0"), articulada en su punto $O\,$ al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), rota con velocidad angular absoluta constante ${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{1}\,$ alrededor del eje fijo $OZ_{1}\,$. La posición del sistema que se representa en la figura, y a la cual se refieren las siguientes preguntas, corresponde al instante $t=t^{*}\,$.

1. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{21}\,$?
2. Determine la aceleración instantánea ${\vec {a}}_{21}^{A}\,$ (ver $A\,$ en figura).
3. ¿En qué caso particular el movimiento {21} es una traslación?

No Boletín - Disco rueda sin deslizar sobre triángulo (Ex.Feb/17)

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), está constituido por un triángulo $ABC\,$ (sólido "2") que desliza sobre el eje $O_{1}X_{1}\,$, manteniendo su lado $AC\,$ completo en contacto con dicho eje; y por un disco (sólido "0"), de centro $O\,$, que rueda sin deslizar sobre el lado $AB\,$ del triángulo, y a la vez rueda y desliza sobre el eje $O_{1}Y_{1}\,$.

¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{01}\,$?

$\mathrm {(a)} \,\,\,I_{01}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,I_{01}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,I_{01}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,I_{01}\equiv D$

No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)

El plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio $R\,$ (sólido "2") y una varilla de grosor despreciable y longitud indefinida (sólido "0"). El disco "2" rueda y desliza sobre el eje $OX_{1}\,$ de tal modo que su centro $C\,$ avanza con velocidad constante en el tiempo ${\vec {v}}_{21}^{\,C}(t)=v\,{\vec {\imath }}_{1}\,$ (siendo $v\,$ una constante positiva conocida), mientras que en cada instante el punto $A\,$ de contacto entre el disco y el eje $OX_{1}\,$ tiene velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{\,A}=2\,v\,{\vec {\imath }}_{1}\,$. Al mismo tiempo, la varilla "0", que tiene un extremo articulado al centro $C\,$ del disco "2", se ve obligada a deslizar por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto $O\,$ del sólido "1".

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo $\theta \,$ que forma la varilla con respecto al eje $OX_{1}\,$. Determine:

1. Todas las reducciones cinemáticas en el punto $O\,$, es decir:      $\{{\vec {\omega }}_{21};\,{\vec {v}}_{21}^{\,O}\}\,$, $\{{\vec {\omega }}_{20};\,{\vec {v}}_{20}^{\,O}\}\,$ y $\,\{{\vec {\omega }}_{01};\,{\vec {v}}_{01}^{\,O}\}\,$.
2. Las posiciones de los tres centros instantáneos de rotación:            $I_{21}\,$ (analíticamente), $I_{20}\,$ e $I_{01}\,$ (gráficamente).
3. Las aceleraciones ${\vec {a}}_{21}^{A}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{I_{21}}\,$.

Nota: Para responder al primer apartado, se recomienda trabajar en la base vectorial asociada al sistema de ejes $CX_{0}Y_{0}\,$ de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla "0" y cuyo eje $CX_{0}\,$ es colineal con ella.

No Boletín - Disco y varilla guiada (Ex.Ene/15)

El mecanismo de la figura está formado por un disco rígido (sólido "2") de radio $R\,$, que rueda sin deslizar (punto $D\,$) sobre el eje horizontal $OX_{1}\,$ de la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), y cuyo centro $C\,$ avanza con velocidad constante ${\vec {v}}_{21}^{\,C}=v\,{\vec {\imath }}_{1}\,$; y por una varilla rígida (sólido "0") de grosor despreciable y longitud indefinida, la cual rueda sin deslizar (punto $B\,$) sobre el citado disco, mientras que su extremo $A\,$ está obligado a recorrer una guía horizontal fija de ecuación $y_{1}=R\,$.

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del mecanismo, se define el ángulo $\theta \,$ de la figura. Se pide:

1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{21}\,$, $I_{02}\,$ e $I_{01}\,$.
2. Reducción cinemática del movimiento $\{21\}\,$ en el punto $B\,$, es decir, $\{{\vec {\omega }}_{21}(\theta );\,{\vec {v}}_{21}^{\,B}(\theta )\}\,$.
3. Reducción cinemática del movimiento $\{01\}\,$ en el punto $A\,$, es decir, $\{{\vec {\omega }}_{01}(\theta );\,{\vec {v}}_{01}^{\,A}(\theta )\}\,$.
4. Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación $I_{01}\,$, es decir,${\overrightarrow {AI_{01}}}(\theta )\,$.

Aviso: Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de $\theta \,$, $R\,$ y/o $v\,$, pero NO en función de ${\dot {\theta }}\,$.

No Boletín - Disco y varilla sobre un escalón (Ex.Jun/13)

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano $OX_{1}Y_{1}\,$, está constituido por un disco de radio $R\,$ (sólido "0") y una varilla de longitud indefinida (sólido "2"), ambos vinculados y moviéndose sobre un escalón (sólido "1"). El disco rueda sin deslizar sobre la parte superior del escalón (eje $OX_{1}\,$), mientras que su centro $C\,$ avanza con una velocidad linealmente creciente con el tiempo ${\vec {v}}_{01}^{\,C}(t)=at\,{\vec {\imath }}_{1}\,$ (siendo $a\,$ una constante positiva conocida). La varilla tiene uno de sus extremos articulado al centro $C\,$ del disco, y se mantiene apoyada en todo instante sobre el borde del escalón (punto $O\,$).

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo $\theta \,$ que forma la varilla con respecto al eje $OX_{1}\,$. Para un instante genérico $t\,$, determine:

1. Posición gráfica de los centros instantáneos de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}.
2. Aceleración ${\vec {a}}_{01}^{D}\,$ del punto del disco en contacto con la parte superior del escalón.
3. Velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ del punto de la varilla en contacto con el borde del escalón, velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$ de la varilla respecto al disco, y aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ de la varilla.

No Boletín - Dos discos (Ex.Feb/14)

El disco móvil de centro $A\,$ y radio $R\,$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo de centro $O\,$ y radio $2R\,$ (sólido "1"). Los centros de ambos discos se encuentran articulados a los extremos de una varilla (sólido "0") que rota con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\,$ (ver figura).

1. ¿Dónde se hallan los centros instantáneos (o permanentes) de rotación $I_{20}\,$ e $I_{21}\,$?
2. Determine la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{B}\,$
3. Determine la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$

No Boletín - Dos discos II (Ex.Ene/15)

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo $OXY\,$ (sólido "1"), está constituido por un disco de centro $A\,$ y radio $R\,$ (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$, y por otro disco de centro $B\,$ y radio $r\,$ (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el disco anterior a la vez que se mantiene en contacto tangente con el eje $OY\,$.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? $\mathrm {(a)} \,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,B}\times {\vec {\jmath }}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,E}\cdot {\vec {\jmath }}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{01}^{\,C}$
2. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{21}\,\,$? $\mathrm {(a)} \,\,\,I_{21}\equiv E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,I_{21}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,I_{21}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,I_{21}\equiv H$

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo $OXY\,$ (sólido "1"), está constituido por un disco de centro $A\,$ y radio $R\,$ (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$, y por otro disco de centro $B\,$ y radio $r\,$ (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje $OY\,$ a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? $\mathrm {(a)} \,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\times {\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,{\vec {v}}_{02}^{\,E}={\vec {v}}_{01}^{\,E}$
2. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,\,$? $\mathrm {(a)} \,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,I_{20}\equiv F$

No Boletín - Dos discos y dos barras (Ex.Ene/19)

El sistema mecánico de la figura está constituido por cuatro sólidos móviles (las barras "0" y "4", y los discos "2" y "3"), los cuales se mantienen siempre contenidos en el plano fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). El disco "2", de radio $R\,$, rota con velocidad angular constante $2\,\omega \,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo $B\,$. El disco "3", de radio $2R\,$, rota con velocidad angular constante $2\,\omega \,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo $E\,$. Las barras "0" y "4", de longitudes indefinidas, experimentan sendas traslaciones verticales respecto al plano fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ al ser arrastradas respectivamente por las rotaciones de los discos con los que mantienen contacto permanente, ya que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0", y el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4".

1. ¿Con qué velocidades se trasladan las barras?
2. ¿Cómo se clasifica el movimiento $\{23\}\,$?
3. ¿Dónde está el centro instantáneo de rotación $I_{42}\,$?
4. ¿Cuánto vale la aceleración del punto $C\,$ de contacto entre ambos discos en el movimiento $\{32\}\,$?

No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)

El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, $\,AB\,$ (sólido "2") y $\,OD\,$ (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud $\,2a,\,$ y contenidas siempre en el plano fijo $\,OXY\,$ (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro $\,C(a,0)\,$ y la segunda en su extremo $\,O(0,0).\,$ Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla $\,OD\,$ posee una acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo $\,A\,$ de la varilla $\,AB.\,$ Se utiliza el ángulo $\,\theta ,\,$ formado por la varilla $\,AB\,$ y el eje $\,OX,\,$ como parámetro descriptivo del movimiento del sistema.

Nota: Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles $\,OAC\,$ de la figura, se puede determinar (en función de $\,\theta \,$) el ángulo formado por la varilla $\,OD\,$ y el eje $\,OX,\,$ o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

1. Velocidad angular $\,{\vec {\omega }}_{20}\,$
2. Velocidad $\,{\vec {v}}_{20}^{\,\,O}\,$
3. Vector de posición $\,{\overrightarrow {OI_{20}}}\,$ del centro instantáneo de rotación del movimiento $\,\{20\}\,$

No Boletín - Eje con un disco por encima y otro por debajo (Ex.Ene/13)

Los sólidos "2" y "0" son dos discos de radio $R\,$ vinculados entre sí al hallarse sus centros articulados, respectivamente, a los dos extremos de la varilla rígida $AB\,$ (sólido "3"). Ambos discos están rodando sin deslizar sobre un eje horizontal (sólido "1") simultánea y permanentemente, aunque -tal como muestra la figura- el disco "2" lo está haciendo por encima del eje, mientras que el disco "0" lo está haciendo por debajo del mismo.

1. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$?
2. ¿Qué tipo de movimiento es el {31}?

No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)

El plano fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos en movimiento: una guía horizontal ranurada (sólido "0"), que se traslada verticalmente hacia abajo con celeridad constante $v_{0}\,$; y la manivela $OC\,$ (sólido "2") de longitud $L\,$, que rota alrededor del eje fijo $OZ_{1}\,$. Los movimientos de los sólidos "2" y "0" se hallan vinculados entre sí porque el extremo $C\,$ de la manivela está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la guía.

Utilizando el ángulo $\theta \,$ definido en la figura como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se pide:

1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{01}\,$, $I_{21}\,$ e $I_{20}.\,$
2. Reducciones cinemáticas de los movimientos $\{01\}\,$, $\{20\}\,$ y $\{21\}\,$ en el punto $C.\,$
3. Determinación de la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$, las aceleraciones ${\vec {a}}_{20}^{\,O}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$, y la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}.\,$

Aviso: Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de $\,\theta \,$, $L\,\,$ y/o $\,v_{0}\,$, pero NO en función de $\,{\dot {\theta }}\,\,$ ni de $\,{\ddot {\theta }}.\,$

No Boletín - Placa cuadrada deslizando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/18)

Una placa cuadrada (sólido "2"), contenida en el plano $OX_{0}Y_{0}\,$, desliza sobre el eje $OX_{0}\,$ (sólido "0") con velocidad relativa constante ${\vec {v}}_{20}^{\,\mathrm {tras} }(t)=v\,{\vec {\imath }}_{0}\,$. Al mismo tiempo, la escuadra $OX_{0}Y_{0}\,$ (sólido "0"), articulada en el punto $O\,$ a la escuadra fija y coplanaria $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), rota alrededor del eje fijo $OZ_{1}\,$ con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{1}\,$.

1. Determine el vector de posición del C.I.R. del movimiento $\{21\}\,$.
2. Determine la aceleración del punto $O\,$ en el movimiento $\{21\}\,$.

No Boletín - Placa cuadrada que empuja a un disco (Ex.Sep/14)

El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija $OXY\,$ (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante ${\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }(t)=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,$ y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje $OX\,$; y un disco (sólido "2"), de centro $C\,$ y radio $R\,$, que rota con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{21}(t)=-\omega \,{\vec {k}}\,$, y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje $OX\,$ (punto $A\,$) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto $B\,$).

1. ¿Cuánto vale la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{A}\,\,$?
2. ¿Y la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{20}^{B}\,\,$?
3. ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,\,$?

No Boletín - Punto de aceleración nula (Ex.Feb/17)

Considérese un sólido rígido que realiza un movimiento plano arbitrario pero con una velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$ constante en el tiempo y no nula. Sea $A\,$ un punto cualquiera del sólido en el plano director (con velocidad ${\vec {v}}_{A}\,$ y aceleración ${\vec {a}}_{A}\,$). Entonces, se puede comprobar que dicho sólido tiene en el plano director un punto $H\,$ cuya aceleración es nula (${\vec {a}}_{H}={\vec {0}}\,$).

Determine el vector ${\overrightarrow {AH}}\,$ que define la posición del punto de aceleración nula respecto al punto $A\,$.

No Boletín - Varilla cuyos dos extremos deslizan (Ex.Dic/12)

La varilla $AB\,$ (sólido "2"), de longitud $L\,$, realiza un movimiento plano respecto a la escuadra fija $OXY\,$ (sólido "1"). Los extremos de dicha varilla se encuentran articulados a sendos deslizadores, de tal modo que $A\,$ está obligado a moverse a lo largo del eje $OX\,$, mientras que $B\,$ está obligado a moverse a lo largo del eje $OY\,$.

1. ¿Dónde está el C.I.R.{21} cuando la posición de la varilla es la representada en la figura?
2. Para la ley horaria $\theta =\Omega \,t\,$ (siendo $\Omega \,$ constante), ¿son nulas la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,\,O}\,$ y/o la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$?

No Boletín - Varilla ortogonal en manivela (Ex.Ene/13)

El plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos rígidos en movimiento vinculados entre sí: la manivela ranurada $OA\,$ (sólido "0"), que realiza una rotación de eje permanente alrededor de $OZ_{1}\,$; y la varilla $BD\,$ (sólido "2"), de longitud $2R\,$, la cual se mantiene siempre perpendicular a la manivela $OA\,$ mientras su centro $C\,$ recorre la ranura de la misma y su extremo $B\,$ se apoya y desliza sobre el eje $OX_{1}\,$ permanentemente.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo $\theta \,$ que forma la manivela $OA\,$ con respecto al eje $OX_{1}\,$ (ver figura). Se pide:

1. Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I_{01}\,$, $I_{20}\,$ e $I_{21}\,$.
2. Calcular todas las reducciones cinemáticas en el punto $B\,$, es decir, $\{{\vec {\omega }}_{01}(\theta ,{\dot {\theta }});\,{\vec {v}}_{01}^{\,B}(\theta ,{\dot {\theta }})\}\,$, $\{{\vec {\omega }}_{20}(\theta ,{\dot {\theta }});\,{\vec {v}}_{20}^{\,B}(\theta ,{\dot {\theta }})\}\,$ y $\{{\vec {\omega }}_{21}(\theta ,{\dot {\theta }});\,{\vec {v}}_{21}^{\,B}(\theta ,{\dot {\theta }})\}\,$.
3. Determinar analíticamente la posición de $I_{21}\,$ (en función de $\theta \,$).