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No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, \,AB\, (sólido "2") y \,OD\, (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud \,2a,\, y contenidas siempre en el plano fijo \,OXY\, (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro \,C(a,0)\, y la segunda en su extremo \,O(0,0).\, Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla \,OD\, posee una acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo \,A\, de la varilla \,AB.\, Se utiliza el ángulo \,\theta ,\, formado por la varilla \,AB\, y el eje \,OX,\, como parámetro descriptivo del movimiento del sistema.

Nota: Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles \,OAC\, de la figura, se puede determinar (en función de \,\theta\,) el ángulo formado por la varilla \,OD\, y el eje \,OX,\, o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

  1. Velocidad angular \,\vec{\omega}_{20}\,
  2. Velocidad \,\vec{v}^{\,\, O} _{20}\,
  3. Vector de posición \,\overrightarrow{OI_{20}}\, del centro instantáneo de rotación del movimiento \,\{20\}\,

2 Velocidad angular del movimiento {20}

Exigiendo que la suma de todos los ángulos internos del triángulo isósceles \,OAC\, sea \,\pi\, radianes, determinamos el ángulo \,\beta\, (en color azul en la figura adjunta) que forman ambas varillas entre sí:


2\,\beta+\theta=\pi\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}

Al ser \,\beta\, el ángulo que forma la varilla \,AB\, (sólido "2") con respecto a la varilla \,OD\, (sólido "0"), la velocidad angular \,\vec{\omega}_{20}\, puede expresarse así:


\vec{\omega}_{20}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}

donde el signo negativo se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo \,\beta\, que forma la varilla "2" respecto a la varilla "0" aumenta (\dot{\beta}>0\,), la rotación \{20\}\, es horaria (\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, podemos resumir la justificación del signo negativo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:


\mathrm{si}\,\,\,\dot{\beta}>0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0 \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\mathrm{si}\,\,\,\dot{\beta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}>0

Sustituyendo la expresión de \,\beta\, obtenida al principio, determinamos \,\vec{\omega}_{20}\,:

                                                 
\vec{\omega}_{20}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}

3 Velocidad {20} del punto O

Empezaremos calculando la velocidad \vec{v}^{\,\, O}_{21}\,, y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática \{21\}\, en el punto \,C\,. Elegimos \,C\, como centro de reducción \{21\}\, porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto \,C\, es un punto fijo en el movimiento \{21\}\,:


\vec{v}^{\,\, C}_{21}=\vec{0}

Al ser \,\theta\, el ángulo que forma la varilla \,AB\, (sólido "2") con respecto al eje \,OX\, (sólido "1"), la velocidad angular \,\vec{\omega}_{21}\, puede expresarse así:


\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}

donde el signo positivo (que se omite) delante de \,\dot{\theta}\, se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo \,\theta\, que forma la varilla "2" con respecto al eje \,OX\, del sólido "1" aumenta (\dot{\theta}>0\,), la rotación \{21\}\, es antihoraria (\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}>0). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, cabe resumir la justificación del signo positivo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:


\mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}>0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}>0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}<0

Conocida la reducción cinemática \{\vec{\omega}_{21}\,; \vec{v}^{\,\, C}_{21}\}, ya podemos calcular la velocidad \vec{v}^{\,\, O}_{21}\, mediante la ecuación del campo de velocidades \{21\}\,:


\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\,\, C}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CO}=\dot{\theta}\,\vec{k}\times(-\,a\,\vec{\imath}\,\,)=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}

Por otra parte, el punto \,O\, es un punto fijo en el movimiento \{01\}\, porque la varilla "0" se halla articulada en él:


\vec{v}^{\,\, O}_{01}=\vec{0}

Conocidas las velocidades \vec{v}^{\,\, O}_{21}\, y \vec{v}^{\,\, O}_{01}\,, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad \vec{v}^{\,\, O}_{20}\,:


\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\vec{v}^{\,\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\,\, O}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\,\, O}_{20}=\vec{v}^{\,\, O}_{21}\!-\underbrace{\vec{v}^{\,\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}

4 Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20}

La posición del centro instantáneo de rotación I_{20}\, respecto al origen de coordenadas O\, se puede determinar ANALÍTICAMENTE mediante la fórmula:


\overrightarrow{OI_{20}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\,\, O}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}|^{2}}=2a\,\vec{\imath}

El vector de posición \overrightarrow{OI_{20}}\, obtenido es constante (no depende del parámetro \theta\, descriptivo del movimiento del sistema). Por tanto, I_{20}\, es en realidad un centro permanente de rotación.

También es posible determinar la posición de I_{20}\, GRÁFICAMENTE.

Para ello, localizamos primero los centros permanentes de rotación I_{21}\, e I_{01}\,, que coinciden con los puntos de articulación de las varillas "2" y "0", respectivamente:


I_{21}\equiv C\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I_{01}\equiv O

En cuanto al movimiento \{20\}\!\!\,, se nos indica que el extremo A\, de la varilla "2" está obligado a recorrer la acanaladura longitudinal de la varilla "0", lo cual nos permite saber que la velocidad \vec{v}^{\, A}_{20}\, es necesariamente colineal con la propia varilla "0". Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto A\, y trazando la recta que pasa por los puntos \,I_{01}\, e \,I_{21}\, (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto \,I_{20}\, en la intersección de ambas rectas:


\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{A}\perp\overrightarrow{I_{20}A} \\ \\ \{I_{01},\, I_{21},\, I_{20}\} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, A \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{01}I_{21}}

Por último, subrayemos la obligada coincidencia de resultados entre el procedimiento analítico y el procedimiento gráfico utilizados para determinar la posición de \,I_{20}\,. Nótese que el punto \,A\, recorre en su movimiento absoluto una circunferencia de radio \,a\, y centro en \,C\, (marcada con línea negra discontinua en la figura adjunta). El punto I_{20}\, se sitúa sobre dicha circunferencia y en la posición diametralmente opuesta a la posición del punto \,O\,, de tal modo que el diámetro fijo \,OI_{20}\, es "visto" siempre bajo un ángulo de 90º desde el punto \,A\, con independencia de la posición concreta de este último sobre la circunferencia (arco capaz de 90º).

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