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No Boletín - Disco rueda sin deslizar sobre triángulo (Ex.Feb/17)

De Laplace

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo O_1X_1Y_1\, (sólido "1"), está constituido por un triángulo ABC\, (sólido "2") que desliza sobre el eje O_1X_1\,, manteniendo su lado AC\, completo en contacto con dicho eje; y por un disco (sólido "0"), de centro O\,, que rueda sin deslizar sobre el lado AB\, del triángulo, y a la vez rueda y desliza sobre el eje O_1Y_1\,.

¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación I_{01}\,?

\mathrm{(a)}\,\,\,I_{01}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{01}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{01}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{01}\equiv D


2 Solución

Que el triángulo "2" deslice sobre el eje O_1X_1\, de la escuadra fija "1", manteniendo siempre su base completamente en contacto con dicho eje, implica que el movimiento \{21\}\, es una traslación paralela al eje O_1X_1\,. En consecuencia, el centro instantáneo de rotación del movimiento \{21\}\, se halla en el infinito en la dirección paralela al eje O_1Y_1\, (perpendicular a la dirección de traslación):


I_{21}\rightarrow\infty\parallel O_1Y_1\perp \vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{21}

Por otra parte, el disco "0" rueda sin deslizar sobre el triángulo "2". Esta ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento \{02\}\, coincide con el punto de contacto disco-triángulo:


I_{02}\equiv E

En cuanto al movimiento \{01\}\,, al ser D\, el punto de contacto entre el disco "0" y el eje O_1Y_1\, de la escuadra fija "1", sabemos que la velocidad \vec{v}^{\, D}_{01}\, es la velocidad de deslizamiento entre ambos sólidos y, por tanto, ha de ser tangencial al contacto (si no fuera así, los sólidos dejarían de estar en contacto):


\vec{v}^{\, D}_{01}\parallel O_1Y_1

Entonces, trazando la perpendicular a \vec{v}^{\, D}_{01}\, en el punto D\, y trazando la recta que pasa por los puntos I_{02}\, e I_{21}\, (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto I_{01}\, en la intersección de ambas rectas:


\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{01}^{\, D}\perp\overrightarrow{I_{01}D} \\ \\ \{I_{01},\, I_{02},\,I_{21} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{01}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{01}^{\, D} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, D \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{02}I_{21}}\,\equiv\,H

Así que la respuesta correcta a la pregunta planteada es la opción (c) \,\,\,I_{01}\equiv H\,.

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