No Boletín - Disco rueda sin deslizar sobre triángulo (Ex.Feb/17)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), está constituido por un triángulo $ABC\,$ (sólido "2") que desliza sobre el eje $O_{1}X_{1}\,$, manteniendo su lado $AC\,$ completo en contacto con dicho eje; y por un disco (sólido "0"), de centro $O\,$, que rueda sin deslizar sobre el lado $AB\,$ del triángulo, y a la vez rueda y desliza sobre el eje $O_{1}Y_{1}\,$.

¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{01}\,$?

$\mathrm {(a)} \,\,\,I_{01}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,I_{01}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,I_{01}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,I_{01}\equiv D$

Solución

Que el triángulo "2" deslice sobre el eje $O_{1}X_{1}\,$ de la escuadra fija "1", manteniendo siempre su base completamente en contacto con dicho eje, implica que el movimiento $\{21\}\,$ es una traslación paralela al eje $O_{1}X_{1}\,$. En consecuencia, el centro instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}\,$ se halla en el infinito en la dirección paralela al eje $O_{1}Y_{1}\,$ (perpendicular a la dirección de traslación):

$I_{21}\rightarrow \infty \parallel O_{1}Y_{1}\perp {\vec {v}}_{21}^{\,\mathrm {tras} }$

Por otra parte, el disco "0" rueda sin deslizar sobre el triángulo "2". Esta ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento $\{02\}\,$ coincide con el punto de contacto disco-triángulo:

$I_{02}\equiv E$

En cuanto al movimiento $\{01\}\,$, al ser $D\,$ el punto de contacto entre el disco "0" y el eje $O_{1}Y_{1}\,$ de la escuadra fija "1", sabemos que la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,D}\,$ es la velocidad de deslizamiento entre ambos sólidos y, por tanto, ha de ser tangencial al contacto (si no fuera así, los sólidos dejarían de estar en contacto):

${\vec {v}}_{01}^{\,D}\parallel O_{1}Y_{1}$

Entonces, trazando la perpendicular a ${\vec {v}}_{01}^{\,D}\,$ en el punto $D\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{02}\,$ e $I_{21}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{01}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.{\begin{array}{r}{\vec {v}}_{01}^{\,D}\perp {\overrightarrow {I_{01}D}}\\\\\{I_{01},\,I_{02},\,I_{21}\}\,\,\mathrm {alineados} \end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,I_{01}\,\equiv \,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{01}^{\,D}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,D\end{array}}\right\}\,\,\bigcap \,\,\,{\overline {I_{02}I_{21}}}\,\equiv \,H$

Así que la respuesta correcta a la pregunta planteada es la opción (c) $\,\,\,I_{01}\equiv H\,$.