No Boletín - Cuestión sobre cálculo gráfico del C.I.R. (Ex.Sep/15)

Enunciado

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} el plano director en el movimiento plano de cierto sólido rígido. En el diagrama adjunto se representan las posiciones y velocidades de dos puntos (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} ) de dicho sólido en un instante dado. La cuadrícula del diagrama es tal que cada celdilla corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de la magnitud representada.

1. Determine el vector de posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I.\,}
2. Calcule la velocidad instantánea del punto del sólido rígido que se halla en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,}

Solución gráfica

Trazando sendas perpendiculares a las velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_B\,} en sus respectivos puntos, hallamos el centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I\,} en la intersección de ambas rectas (discontinuas de color rojo):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l} \vec{v}_{A}\perp\overrightarrow{IA} \\ \\ \vec{v}_{B}\perp\overrightarrow{IB} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, I\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \,\, A \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{B} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \,\, B \end{array}\right\} }

La posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I\,} obtenida en el diagrama por este procedimiento gráfico viene dada por el vector:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=2\,\vec{\jmath}\,\,\,\mathrm{m} }

Determinemos ahora gráficamente la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_O.\,} Trazamos primero la recta-soporte de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_O\,} , que es la perpendicular por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,O\,} al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\overrightarrow{IO}\,} (ya que necesariamente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{O}\perp\overrightarrow{IO}} ). Observamos entonces que la recta-soporte de $\,{\vec {v}}_{O}\,$ coincide con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,OX\,} , y por tanto van a ser paralelas las velocidades $\,{\vec {v}}_{O}\,$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_A\,} . Sabido que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_O\parallel\vec{v}_A\,} , localizamos el extremo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_O\,} en la intersección de su recta-soporte (eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,OX} ) con la recta que pasa por el extremo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_A\,} y por el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I\,} (discontinua de color azul).

La velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_O\,} obtenida en el diagrama por este procedimiento gráfico viene dada por el vector:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{O}=2\,\vec{\imath}\,\,\,\mathrm{m}\mathrm{/s} }

Solución analítica

El examen del diagrama nos permite conocer las velocidades de dos puntos del sólido rígido en el plano director:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(0,4)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\vec{v}_A=-\,2\,\vec{\imath}\,\,\,\mathrm{m/s}\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, B(4,0)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, \vec{v}_B=(\,2\,\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}\,\,)\,\,\mathrm{m/s} }

La velocidad angular del sólido en movimiento plano es necesariamente perpendicular al plano director: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\omega}=\omega\,\vec{k},\,} y su valor lo determinaremos al exigir que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_B\,} satisfagan la ecuación del campo de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\vec{v}_B=\vec{v}_A\,+\,\,\vec{\omega}\,\,\times\,\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, (\,2\,\vec{\imath}\,+\,4\,\vec{\jmath}\,\,)=(-\,2\,\vec{\imath}\,\,)\,+\,\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & \omega \\ 4 & -4 & 0 \end{array}\right|\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left.\begin{array}{l} 2=-2+4\,\omega \\ 4=4\,\omega \end{array}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega=1\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}=\vec{k}\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} }

Ahora ya podemos calcular la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,O\,} del sólido aplicando nuevamente la ecuación del campo de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_O=\vec{v}_A\,+\,\,\vec{\omega}\,\,\times\overrightarrow{AO}=(-\,2\,\vec{\imath}\,\,)\,+\,\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \end{array}\right|=2\,\vec{\imath}\,\,\,\mathrm{m}\mathrm{/s} }

Y, por último, determinamos analíticamente la posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I\,} mediante la fórmula estudiada en la teoría:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_O}{|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}}=\frac{\vec{k}\times2\,\vec{\imath}}{1^{2}}=2\,\vec{\jmath}\,\,\,\mathrm{m} }