No Boletín - Cuestión sobre cálculo gráfico del C.I.R. (Ex.Sep/15)

Enunciado

Sea $OXY\,$ el plano director en el movimiento plano de cierto sólido rígido. En el diagrama adjunto se representan las posiciones y velocidades de dos puntos (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} ) de dicho sólido en un instante dado. La cuadrícula del diagrama es tal que cada celdilla corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de la magnitud representada.

1. Determine el vector de posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I.\,}
2. Calcule la velocidad instantánea del punto del sólido rígido que se halla en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,}

Solución gráfica

Trazando sendas perpendiculares a las velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_B\,} en sus respectivos puntos, hallamos el centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I\,} en la intersección de ambas rectas (discontinuas de color rojo):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l} \vec{v}_{A}\perp\overrightarrow{IA} \\ \\ \vec{v}_{B}\perp\overrightarrow{IB} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, I\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \,\, A \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{B} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \,\, B \end{array}\right\} }

La posición de $\,I\,$ obtenida en el diagrama por este procedimiento gráfico viene dada por el vector:

${\overrightarrow {OI}}=2\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\mathrm {m}$

Determinemos ahora gráficamente la velocidad $\,{\vec {v}}_{O}.\,$ Trazamos primero la recta-soporte de $\,{\vec {v}}_{O}\,$, que es la perpendicular por $\,O\,$ al vector $\,{\overrightarrow {IO}}\,$ (ya que necesariamente ${\vec {v}}_{O}\perp {\overrightarrow {IO}}$). Observamos entonces que la recta-soporte de $\,{\vec {v}}_{O}\,$ coincide con el eje $\,OX\,$, y por tanto van a ser paralelas las velocidades $\,{\vec {v}}_{O}\,$ y $\,{\vec {v}}_{A}\,$. Sabido que $\,{\vec {v}}_{O}\parallel {\vec {v}}_{A}\,$, localizamos el extremo de $\,{\vec {v}}_{O}\,$ en la intersección de su recta-soporte (eje $\,OX$) con la recta que pasa por el extremo de $\,{\vec {v}}_{A}\,$ y por el punto $\,I\,$ (discontinua de color azul).

La velocidad $\,{\vec {v}}_{O}\,$ obtenida en el diagrama por este procedimiento gráfico viene dada por el vector:

${\vec {v}}_{O}=2\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} \mathrm {/s}$

Solución analítica

El examen del diagrama nos permite conocer las velocidades de dos puntos del sólido rígido en el plano director:

$A(0,4)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,{\vec {v}}_{A}=-\,2\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m/s} \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B(4,0)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,{\vec {v}}_{B}=(\,2\,{\vec {\imath }}+4\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,\mathrm {m/s}$

La velocidad angular del sólido en movimiento plano es necesariamente perpendicular al plano director: $\,{\vec {\omega }}=\omega \,{\vec {k}},\,$ y su valor lo determinaremos al exigir que $\,{\vec {v}}_{A}\,$ y $\,{\vec {v}}_{B}\,$ satisfagan la ecuación del campo de velocidades:

$\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}\,+\,\,{\vec {\omega }}\,\,\times \,{\overrightarrow {AB}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,(\,2\,{\vec {\imath }}\,+\,4\,{\vec {\jmath }}\,\,)=(-\,2\,{\vec {\imath }}\,\,)\,+\,\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\0&0&\omega \\4&-4&0\end{array}}\right|\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left.{\begin{array}{l}2=-2+4\,\omega \\4=4\,\omega \end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow$

$\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\omega =1\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {\omega }}={\vec {k}}\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$

Ahora ya podemos calcular la velocidad del punto $\,O\,$ del sólido aplicando nuevamente la ecuación del campo de velocidades:

${\vec {v}}_{O}={\vec {v}}_{A}\,+\,\,{\vec {\omega }}\,\,\times {\overrightarrow {AO}}=(-\,2\,{\vec {\imath }}\,\,)\,+\,\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\0&0&1\\0&-4&0\end{array}}\right|=2\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} \mathrm {/s}$

Y, por último, determinamos analíticamente la posición del centro instantáneo de rotación $\,I\,$ mediante la fórmula estudiada en la teoría:

${\overrightarrow {OI}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}}{|\,{\vec {\omega }}\,|^{\,2}}}={\frac {{\vec {k}}\times 2\,{\vec {\imath }}}{1^{2}}}=2\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\mathrm {m}$