No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)

Enunciado

El plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio $R\,$ (sólido "2") y una varilla de grosor despreciable y longitud indefinida (sólido "0"). El disco "2" rueda y desliza sobre el eje $OX_{1}\,$ de tal modo que su centro $C\,$ avanza con velocidad constante en el tiempo ${\vec {v}}_{21}^{\,C}(t)=v\,{\vec {\imath }}_{1}\,$ (siendo $v\,$ una constante positiva conocida), mientras que en cada instante el punto $A\,$ de contacto entre el disco y el eje $OX_{1}\,$ tiene velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{\,A}=2\,v\,{\vec {\imath }}_{1}\,$. Al mismo tiempo, la varilla "0", que tiene un extremo articulado al centro $C\,$ del disco "2", se ve obligada a deslizar por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto $O\,$ del sólido "1".

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo $\theta \,$ que forma la varilla con respecto al eje $OX_{1}\,$. Determine:

1. Todas las reducciones cinemáticas en el punto $O\,$, es decir: $\{{\vec {\omega }}_{21};\,{\vec {v}}_{21}^{\,O}\}\,$, $\{{\vec {\omega }}_{20};\,{\vec {v}}_{20}^{\,O}\}\,$ y $\,\{{\vec {\omega }}_{01};\,{\vec {v}}_{01}^{\,O}\}\,$.
2. Las posiciones de los tres centros instantáneos de rotación: $I_{21}\,$ (analíticamente), $I_{20}\,$ e $I_{01}\,$ (gráficamente).
3. Las aceleraciones ${\vec {a}}_{21}^{A}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{I_{21}}\,$.

Nota: Para responder al primer apartado, se recomienda trabajar en la base vectorial asociada al sistema de ejes $CX_{0}Y_{0}\,$ de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla "0" y cuyo eje $CX_{0}\,$ es colineal con ella.

Reducciones cinemáticas en el punto O

Al tratarse de movimientos planos, todas las velocidades angulares solicitadas son perpendiculares al plano director:

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{0}$

En el movimiento {21}, conocemos las velocidades (datos) del punto $C\,$ y del punto $A\,$. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{\,C}=v\,{\vec {\imath }}_{1}\\{\vec {v}}_{21}^{A}=2\,v\,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}\right\}\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}\,\Rightarrow \,v\,{\vec {\imath }}_{1}=2v\,{\vec {\imath }}_{1}+\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}\times R\,{\vec {\jmath }}_{1}\,\Rightarrow \,v=2v\,-\,\omega _{21}R\,\Rightarrow \,\omega _{21}={\frac {v}{R}}$

Por tanto:

${\vec {\omega }}_{21}=\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {k}}_{0}$

Conocido el valor de ${\vec {\omega }}_{21}\,$, la propia ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} permite obtener la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ a partir de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$ (también podría calcularse a partir de ${\vec {v}}_{21}^{A}\,$):

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{21}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CO}}=v\,{\vec {\imath }}_{1}+\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {k}}_{0}\times \left[-\displaystyle {\frac {R}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\imath }}_{0}\right]=v\,{\vec {\imath }}_{1}-\displaystyle {\frac {v}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

donde la expresión del vector ${\overrightarrow {CO}}\,$ en función de $\theta \,$ se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $OAC\,$.

Finalmente, sustituyendo ${\vec {\imath }}_{1}=\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,$ en la expresión obtenida para ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$, se llega a:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}=v\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}-v\left[\mathrm {sen} (\theta )+\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {sen} (\theta )}}\right]{\vec {\jmath }}_{0}$

Por otra parte, el hecho de que la varilla (sólido "0") se halle articulada en su extremo $C\,$ al centro del disco (sólido "2") implica que dicho punto $C\,$ es un punto fijo en el movimiento {20} (por tanto, ${\vec {v}}_{20}^{\,C}={\vec {0}}\,$), y esto nos permite relacionar la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$ y la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$ utilizando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}:

${\vec {v}}_{20}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,C}+\,\,{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CO}}={\vec {0}}+\omega _{20}\,{\vec {k}}_{0}\times \left[-\displaystyle {\frac {R}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\imath }}_{0}\right]=-\displaystyle {\frac {\omega _{20}R}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

En cuanto al movimiento {01}, se nos indica que la varilla está obligada a deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto $O\,$, lo cual nos permite saber que la dirección de la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,O}\,$ coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla:

${\vec {v}}_{01}^{\,O}=v_{01}^{O}\,{\vec {\imath }}_{0}$

A continuación, exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades para el punto $O\,$, se resuelven las incógnitas $\omega _{20}\,$ y $v_{01}^{\,O}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,O}+\,{\vec {v}}_{01}^{\,O}\,\,\longrightarrow \,\,\left\{{\begin{array}{l}v\,\mathrm {cos} (\theta )=v_{01}^{\,O}\,\,\Rightarrow \,\,{\vec {v}}_{01}^{\,O}=v\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\\\\-v\left[\mathrm {sen} (\theta )+\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {sen} (\theta )}}\right]=-\displaystyle {\frac {\omega _{20}R}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,\,\Rightarrow \,\,{\vec {\omega }}_{20}=\displaystyle {\frac {v}{R}}\left[1+\mathrm {sen} ^{2}(\theta )\right]{\vec {k}}_{0}\end{array}}\right.$

Y sustituyendo el valor de $\omega _{20}\,$ en la expresión de ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$ antes deducida:

${\vec {v}}_{20}^{\,O}=-v\left[\mathrm {sen} (\theta )+\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {sen} (\theta )}}\right]{\vec {\jmath }}_{0}$

Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\,\,\longrightarrow \,\,{\vec {\omega }}_{01}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{20}\,\,\Rightarrow \,\,{\vec {\omega }}_{01}=-\displaystyle {\frac {v}{R}}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )\,{\vec {k}}_{0}$

Posiciones de los tres centros instantáneos de rotación

La posición del centro instantáneo de rotación del movimiento {21} se determina analíticamente mediante la fórmula:

${\overrightarrow {CI_{21}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{\,C}}{|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}={\frac {{\vec {k}}_{1}\times {\vec {v}}_{21}^{\,C}}{\omega _{21}}}={\frac {{\vec {k}}_{1}\times v\,{\vec {\imath }}_{1}}{v/R}}=R\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Así pues, el punto $I_{21}\,$ coincide con el punto del disco diametralmente opuesto al punto $A\,$ (ver figura adjunta).

Por otra parte, ya hemos comentado en el apartado anterior que el hecho de hallarse el extremo $C\,$ de la varilla (sólido "0") articulado al centro del disco (sólido "2") convierte a dicho punto $C\,$ en un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:

$I_{20}\equiv C$

También hemos señalado anteriormente que la obligación de la varilla de deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto $O\,$ nos permite saber que la dirección de la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,O}\,$ coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto $O\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{21}\,$ e $I_{20}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{01}\,$ en la intersección de ambas rectas:

                    $\mathrm {(ver} \,\,I_{01}\,\,\mathrm {en} \,\,\mathrm {la} \,\,\mathrm {figura} \,\,\mathrm {adjunta)}$

Aceleraciones de dos puntos del disco

Deducimos la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$ relacionándola con la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}:

${\vec {a}}_{21}^{\,A}=\underbrace {{\vec {a}}_{21}^{\,C}} _{={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{21}} _{={\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {CA}}-|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}\,{\overrightarrow {CA}}=-\displaystyle {\frac {v^{2}}{R^{2}}}(-R\,{\vec {\jmath }}_{1})=\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

donde se ha tenido en cuenta que ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$ es nula por ser ${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$ constante en el tiempo, y ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ es nula por ser ${\vec {\omega }}_{21}\,$ constante en el tiempo.

Análogamente, se determina la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{I_{21}}\,$:

${\vec {a}}_{21}^{I_{21}}=\underbrace {{\vec {a}}_{21}^{\,C}} _{={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{21}} _{={\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {CI_{21}}}-|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}\,{\overrightarrow {CI_{21}}}=-\displaystyle {\frac {v^{2}}{R^{2}}}(R\,{\vec {\jmath }}_{1})=-\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$