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No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El plano vertical fijo OX_{1}Y_{1}\, (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio R\, (sólido "2") y una varilla de grosor despreciable y longitud indefinida (sólido "0"). El disco "2" rueda y desliza sobre el eje OX_{1}\, de tal modo que su centro C\, avanza con velocidad constante en el tiempo \vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v\,\vec{\imath}_1\, (siendo v\, una constante positiva conocida), mientras que en cada instante el punto A\, de contacto entre el disco y el eje OX_{1}\, tiene velocidad instantánea \vec{v}^{\, A}_{21}=2\,v\,\vec{\imath}_1\,. Al mismo tiempo, la varilla "0", que tiene un extremo articulado al centro C\, del disco "2", se ve obligada a deslizar por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto O\, del sólido "1".

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo \theta\, que forma la varilla con respecto al eje OX_{1}\,. Determine:

  1. Todas las reducciones cinemáticas en el punto O\,, es decir:          \{\vec{\omega}_{21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}\,, \{\vec{\omega}_{20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}\, y \,\{\vec{\omega}_{01};\,\vec{v}^{\, O}_{01}\}\,.
  2. Las posiciones de los tres centros instantáneos de rotación:                      I_{21}\, (analíticamente), I_{20}\, e I_{01}\, (gráficamente).
  3. Las aceleraciones \vec{a}^{A}_{21}\, y \vec{a}^{I_{21}}_{21}\,.

Nota: Para responder al primer apartado, se recomienda trabajar en la base vectorial asociada al sistema de ejes CX_{0}Y_0\, de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla "0" y cuyo eje CX_{0}\, es colineal con ella.

2 Reducciones cinemáticas en el punto O

Al tratarse de movimientos planos, todas las velocidades angulares solicitadas son perpendiculares al plano director:


\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1=\omega_{21}\,\vec{k}_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_1=\omega_{20}\,\vec{k}_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}_1=\omega_{01}\,\vec{k}_0

En el movimiento {21}, conocemos las velocidades (datos) del punto C\, y del punto A\,. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:


\left.\begin{array}{l} \vec{v}^{\, C}_{21}=v\,\vec{\imath}_1 \\ \vec{v}^{A}_{21}=2\, v\,\vec{\imath}_1 \end{array}\right\}
\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{A}_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}\,\,\Rightarrow\,\, 
v\,\vec{\imath}_1=2\, v\,\vec{\imath}_1+\,\omega_{21}\,\vec{k}_1\times R\,\vec{\jmath}_1\,\,\Rightarrow\,\,
v=2\, v\, -\,\omega_{21}R \,\,\Rightarrow\,\,\omega_{21}=\frac{v}{R}

Por tanto:


\vec{\omega}_{21}=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{k}_0

Conocido el valor de \vec{\omega}_{21}\,, la propia ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} permite obtener la velocidad \vec{v}^{\, O}_{21}\, a partir de la velocidad \vec{v}^{\, C}_{21}\, (también podría calcularse a partir de \vec{v}^{A}_{21}\,):


\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{21}+\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{CO}=
v\,\vec{\imath}_1+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{k}_0\times\left[-\displaystyle\frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\imath}_0\right]=
v\,\vec{\imath}_1-\displaystyle\frac{v}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\jmath}_0

donde la expresión del vector \overrightarrow{CO}\, en función de \theta\, se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo OAC\,.

Finalmente, sustituyendo \vec{\imath}_1=\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\, en la expresión obtenida para \vec{v}^{\, O}_{21}\,, se llega a:


\vec{v}^{\, O}_{21}=v\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0-v\left[\mathrm{sen}(\theta)+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{sen}(\theta)}\right]\vec{\jmath}_0

Por otra parte, el hecho de que la varilla (sólido "0") se halle articulada en su extremo C\, al centro del disco (sólido "2") implica que dicho punto C\, es un punto fijo en el movimiento {20} (por tanto, \vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{0}\,), y esto nos permite relacionar la velocidad \vec{v}^{\, O}_{20}\, y la velocidad angular \vec{\omega}_{20}\, utilizando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}:


\vec{v}^{\, O}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CO}=\vec{0}+\omega_{20}\,\vec{k}_0\times
\left[-\displaystyle\frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\imath}_0\right]=-\displaystyle\frac{\omega_{20} R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\jmath}_0

En cuanto al movimiento {01}, se nos indica que la varilla está obligada a deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto O\,, lo cual nos permite saber que la dirección de la velocidad \vec{v}^{\, O}_{01}\, coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla:


\vec{v}^{\, O}_{01}=v^{O}_{01}\,\vec{\imath}_0

A continuación, exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades para el punto O\,, se resuelven las incógnitas \omega_{20}\, y v^{\, O}_{01}\,:


\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\, O}_{01}\,\,\longrightarrow\,\,
\left\{\begin{array}{l} v\,\mathrm{cos}(\theta)=v^{\, O}_{01}
\,\,\Rightarrow\,\, \vec{v}^{\, O}_{01}=v\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0 \\ \\
-v\left[\mathrm{sen}(\theta)+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{sen}(\theta)}\right]=-\displaystyle\frac{\omega_{20} R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\,\Rightarrow\,\,\omega_{20}=\displaystyle\frac{v}{R}\left[1+\mathrm{sen}^2(\theta)\right]\,\,\Rightarrow\,\,\vec{\omega}_{20}=\displaystyle\frac{v}{R}\left[1+\mathrm{sen}^2(\theta)\right]\vec{k}_0
\end{array}\right.

Y sustituyendo el valor de \omega_{20}\, en la expresión de \vec{v}^{\, O}_{20}\, antes deducida:


\vec{v}^{\, O}_{20}=-v\left[\mathrm{sen}(\theta)+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{sen}(\theta)}\right]\vec{\jmath}_0

Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta:


\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\longrightarrow\,\,
\vec{\omega}_{01}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{20}\,\,\Rightarrow\,\,
\vec{\omega}_{01}=-\displaystyle\frac{v}{R}\,\mathrm{sen}^2(\theta)\,\vec{k}_0

3 Posiciones de los tres centros instantáneos de rotación

La posición del centro instantáneo de rotación del movimiento {21} se determina analíticamente mediante la fórmula:


\overrightarrow{CI_{21}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, C}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=\frac{\vec{k}_{1}\times\vec{v}^{\,
C}_{21}}{\omega_{21}}=\frac{\vec{k}_{1}\times v\,\vec{\imath}_1}{v/R}=R\,\vec{\jmath}_1

Así pues, el punto I_{21}\, coincide con el punto del disco diametralmente opuesto al punto A\, (ver figura adjunta).

Por otra parte, ya hemos comentado en el apartado anterior que el hecho de hallarse el extremo C\, de la varilla (sólido "0") articulado al centro del disco (sólido "2") convierte a dicho punto C\, en un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:


I_{20}\equiv C

También hemos señalado anteriormente que la obligación de la varilla de deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto O\, nos permite saber que la dirección de la velocidad \vec{v}^{\, O}_{01}\, coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto O\, y trazando la recta que pasa por los puntos I_{21}\, e I_{20}\, (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto I_{01}\, en la intersección de ambas rectas:

                                        
\mathrm{(ver}\,\, I_{01}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{figura}\,\,\mathrm{adjunta)}

4 Aceleraciones de dos puntos del disco

Deducimos la aceleración \vec{a}^{\, A}_{21}\, relacionándola con la aceleración \vec{a}^{\, C}_{21}\, mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}:


\vec{a}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{=\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CA}-
|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{CA}=-\displaystyle\frac{v^2}{R^2}(-R\,\vec{\jmath}_1)=\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\jmath}_1

donde se ha tenido en cuenta que \vec{a}^{\, C}_{21}\, es nula por ser \vec{v}^{\, C}_{21}\, constante en el tiempo, y \vec{\alpha}_{21}\, es nula por ser \vec{\omega}_{21}\, constante en el tiempo.

Análogamente, se determina la aceleración \vec{a}^{I_{21}}_{21}\,:


\vec{a}^{I_{21}}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{=\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CI_{21}}-|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{CI_{21}}=-\displaystyle\frac{v^2}{R^2}(R\,\vec{\jmath}_1)=
-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\jmath}_1

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