No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)

Enunciado

El plano vertical fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_{1}Y_{1}\,} (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} (sólido "2") y una varilla de grosor despreciable y longitud indefinida (sólido "0"). El disco "2" rueda y desliza sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_{1}\,} de tal modo que su centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} avanza con velocidad constante en el tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v\,\vec{\imath}_1\,} (siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v\,} una constante positiva conocida), mientras que en cada instante el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} de contacto entre el disco y el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_{1}\,} tiene velocidad instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{21}=2\,v\,\vec{\imath}_1\,} . Al mismo tiempo, la varilla "0", que tiene un extremo articulado al centro $C\,$ del disco "2", se ve obligada a deslizar por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto $O\,$ del sólido "1".

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo $\theta \,$ que forma la varilla con respecto al eje $OX_{1}\,$. Determine:

1. Todas las reducciones cinemáticas en el punto $O\,$, es decir: $\{{\vec {\omega }}_{21};\,{\vec {v}}_{21}^{\,O}\}\,$, $\{{\vec {\omega }}_{20};\,{\vec {v}}_{20}^{\,O}\}\,$ y $\,\{{\vec {\omega }}_{01};\,{\vec {v}}_{01}^{\,O}\}\,$.
2. Las posiciones de los tres centros instantáneos de rotación: $I_{21}\,$ (analíticamente), $I_{20}\,$ e $I_{01}\,$ (gráficamente).
3. Las aceleraciones ${\vec {a}}_{21}^{A}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{I_{21}}\,$.

Nota: Para responder al primer apartado, se recomienda trabajar en la base vectorial asociada al sistema de ejes $CX_{0}Y_{0}\,$ de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla "0" y cuyo eje $CX_{0}\,$ es colineal con ella.

Reducciones cinemáticas en el punto O

Al tratarse de movimientos planos, todas las velocidades angulares solicitadas son perpendiculares al plano director:

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{0}$

En el movimiento {21}, conocemos las velocidades (datos) del punto $C\,$ y del punto $A\,$. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{\,C}=v\,{\vec {\imath }}_{1}\\{\vec {v}}_{21}^{A}=2\,v\,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}\right\}\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}\,\Rightarrow \,v\,{\vec {\imath }}_{1}=2v\,{\vec {\imath }}_{1}+\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}\times R\,{\vec {\jmath }}_{1}\,\Rightarrow \,v=2v\,-\,\omega _{21}R\,\Rightarrow \,\omega _{21}={\frac {v}{R}}$

Por tanto:

${\vec {\omega }}_{21}=\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {k}}_{0}$

Conocido el valor de ${\vec {\omega }}_{21}\,$, la propia ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} permite obtener la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ a partir de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$ (también podría calcularse a partir de ${\vec {v}}_{21}^{A}\,$):

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{21}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CO}}=v\,{\vec {\imath }}_{1}+\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {k}}_{0}\times \left[-\displaystyle {\frac {R}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\imath }}_{0}\right]=v\,{\vec {\imath }}_{1}-\displaystyle {\frac {v}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

donde la expresión del vector ${\overrightarrow {CO}}\,$ en función de $\theta \,$ se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OAC\,} .

Finalmente, sustituyendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_1=\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,} en la expresión obtenida para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}\,} , se llega a:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}=v\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0-v\left[\mathrm{sen}(\theta)+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{sen}(\theta)}\right]\vec{\jmath}_0 }

Por otra parte, el hecho de que la varilla (sólido "0") se halle articulada en su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} al centro del disco (sólido "2") implica que dicho punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} es un punto fijo en el movimiento {20} (por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{0}\,} ), y esto nos permite relacionar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}\,} y la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} utilizando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CO}=\vec{0}+\omega_{20}\,\vec{k}_0\times \left[-\displaystyle\frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\imath}_0\right]=-\displaystyle\frac{\omega_{20} R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\jmath}_0 }

En cuanto al movimiento {01}, se nos indica que la varilla está obligada a deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , lo cual nos permite saber que la dirección de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{01}\,} coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{01}=v^{O}_{01}\,\vec{\imath}_0 }

A continuación, exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades para el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , se resuelven las incógnitas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^{\, O}_{01}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\, O}_{01}\,\,\longrightarrow\,\, \left\{\begin{array}{l} v\,\mathrm{cos}(\theta)=v^{\, O}_{01} \,\,\Rightarrow\,\, \vec{v}^{\, O}_{01}=v\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0 \\ \\ -v\left[\mathrm{sen}(\theta)+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{sen}(\theta)}\right]=-\displaystyle\frac{\omega_{20} R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\,\Rightarrow\,\,\vec{\omega}_{20}=\displaystyle\frac{v}{R}\left[1+\mathrm{sen}^2(\theta)\right]\vec{k}_0 \end{array}\right. }

Y sustituyendo el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}\,} en la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}\,} antes deducida:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}=-v\left[\mathrm{sen}(\theta)+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{sen}(\theta)}\right]\vec{\jmath}_0 }

Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\longrightarrow\,\, \vec{\omega}_{01}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{20}\,\,\Rightarrow\,\, \vec{\omega}_{01}=-\displaystyle\frac{v}{R}\,\mathrm{sen}^2(\theta)\,\vec{k}_0 }

Posiciones de los tres centros instantáneos de rotación

La posición del centro instantáneo de rotación del movimiento {21} se determina analíticamente mediante la fórmula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CI_{21}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, C}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=\frac{\vec{k}_{1}\times\vec{v}^{\, C}_{21}}{\omega_{21}}=\frac{\vec{k}_{1}\times v\,\vec{\imath}_1}{v/R}=R\,\vec{\jmath}_1 }

Así pues, el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} coincide con el punto del disco diametralmente opuesto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} (ver figura adjunta).

Por otra parte, ya hemos comentado en el apartado anterior que el hecho de hallarse el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} de la varilla (sólido "0") articulado al centro del disco (sólido "2") convierte a dicho punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} en un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\equiv C }

También hemos señalado anteriormente que la obligación de la varilla de deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} nos permite saber que la dirección de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{01}\,} coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} y trazando la recta que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\,} en la intersección de ambas rectas:

                    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{(ver}\,\, I_{01}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{figura}\,\,\mathrm{adjunta)} }

Aceleraciones de dos puntos del disco

Deducimos la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{21}\,} relacionándola con la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{21}\,} mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{=\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CA}- |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{CA}=-\displaystyle\frac{v^2}{R^2}(-R\,\vec{\jmath}_1)=\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\jmath}_1 }

donde se ha tenido en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{21}\,} es nula por ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{21}\,} constante en el tiempo, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} es nula por ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} constante en el tiempo.

Análogamente, se determina la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{I_{21}}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{I_{21}}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{=\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CI_{21}}-|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{CI_{21}}=-\displaystyle\frac{v^2}{R^2}(R\,\vec{\jmath}_1)= -\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\jmath}_1 }