No Boletín - Placa cuadrada que empuja a un disco (Ex.Sep/14)

Enunciado

El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0\vec{\imath}\,} y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} ; y un disco (sólido "2"), de centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} , que rota con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}(t)=-\omega\,\vec{k}\,} , y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} ) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} ).

1. ¿Cuánto vale la velocidad instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{A}_{21}} ?
2. ¿Y la velocidad instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{B}_{20}} ?
3. ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} ?

Velocidad instantánea del punto A en el movimiento {21}

Dado que la placa cuadrada se traslada con velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0\vec{\imath}\,} y el disco se mantiene siempre en contacto puntual con ella y con el eje $OX\,$, es evidente que el centro $C\,$ del disco realizará un movimiento rectilíneo y uniforme con esa misma velocidad:

${\vec {v}}_{21}^{\,C}(t)=v_{0}{\vec {\imath }}$

Como también conocemos la velocidad angular del disco ${\vec {\omega }}_{21}(t)=-\omega \,{\vec {k}}\,$, podemos determinar la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$ aplicando la ecuación del campo de velocidades correspondiente:

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{21}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CA}}=v_{0}{\vec {\imath }}\,+(-\,\omega \,{\vec {k}}\,)\times (-R\,{\vec {\jmath }}\,)=(v_{0}-\omega R\,)\,{\vec {\imath }}$

El hecho de que ${\vec {v}}_{21}^{\,A}$ sea no nula (si $v_{0}\neq \omega R\,$) significa que existe deslizamiento entre el disco y el eje $OX\,$.

Velocidad instantánea del punto B en el movimiento {20}

Aplicando otra vez la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, podemos obtener la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,C}+\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CB}}=v_{0}{\vec {\imath }}\,+(-\,\omega \,{\vec {k}}\,)\times (-R\,{\vec {\imath }}\,\,)=v_{0}{\vec {\imath }}\,+\,\omega R\,{\vec {\jmath }}$

Y aplicando la ley de composición de velocidades en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} , determinamos la velocidad instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{20}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, B}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{20}=\vec{v}^{\, B}_{21}-\,\vec{v}^{\, B}_{01}=\vec{v}^{\, B}_{21}-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=(v_0\vec{\imath}\,\,+\,\,\omega R\,\vec{\jmath}\,)\,-\,v_0\vec{\imath}=\omega R\,\vec{\jmath} }

El hecho de que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{20}\,} no sea nula significa que existe deslizamiento entre el disco y la placa cuadrada.

Centro instantáneo de rotación del movimiento {20}

Para determinar la posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} , podemos aplicar el procedimiento analítico.

La ley de composición de velocidades angulares nos permite calcular la velocidad angular del movimiento {20}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}\,+\,\vec{\omega}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\,\underbrace{\vec{\omega}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}=-\omega\,\vec{k} }

donde se ha tenido en cuenta que el movimiento {01} es una traslación y, por tanto, la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\,} es nula.

Entonces, la posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} se determina mediante la fórmula deducida en la teoría:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BI_{20}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, B}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}\,|^{2}}=\frac{(-\,\omega\,\vec{k}\,)\times\omega R\,\vec{\jmath}}{\omega^2}=R\,\vec{\imath} }

Pero a una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} a la derecha del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} se encuentra el centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} del disco. Por tanto, concluimos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\equiv C }

A la misma conclusión se llega calculando la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} en el movimiento {20} mediante la ley de composición de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, C}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{21}-\,\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{\, C}_{21}-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=v_0\vec{\imath}\,-\,v_0\vec{\imath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,I_{20}\equiv C }

En realidad, el centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} del disco mantiene una posición constante respecto a la placa cuadrada y, por tanto, es un punto fijo o centro permanente de rotación en el movimiento {20}.