No Boletín - Dos discos (Ex.Feb/14)

Enunciado

El disco móvil de centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo de centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} y radio $2R\,$ (sólido "1"). Los centros de ambos discos se encuentran articulados a los extremos de una varilla (sólido "0") que rota con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\,} (ver figura).

1. ¿Dónde se hallan los centros instantáneos (o permanentes) de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} ?
2. Determine la velocidad instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{B}_{21}\,}
3. Determine la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,}

Centros instantáneos (o permanentes) de rotación

Se nos indica que el disco móvil (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre ambos discos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\equiv C\, }

Por otra parte, el centro del disco móvil (sólido "2") se halla articulado al extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} de la varilla (sólido "0"). Por tanto, dicho punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\equiv A\, }

Análogamente, el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} de la varilla (sólido "0") está articulado al centro del disco fijo (sólido "1"). Por tanto, dicho punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\equiv O\, }

Tener localizado el centro instantáneo o permanente de rotación de un movimiento plano (único punto con velocidad nula) nos permite relacionar la velocidad de un punto arbitrario (por ejemplo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} ) y la velocidad angular correspondientes a dicho movimiento:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\vec{v}^{\, P}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{21}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CP}=\vec{\omega}_{21}\times\,\overrightarrow{CP} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, P}_{20}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AP}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AP} \,\,; }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\vec{v}^{\, P}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\,\overrightarrow{OP}=\vec{\omega}_{01}\times\,\overrightarrow{OP} }

Velocidad instantánea {21} de B

Mediante la ley de composición de velocidades, calculamos primero la velocidad {21} del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} (recuérdese que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\equiv A\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{v}^{\, A}_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\Omega\,\vec{k}_0\times 3R\,\vec{\imath}_0=3\Omega R\,\vec{\jmath}_0 }

A continuación, deducimos el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_0\,} (dirección obligada para la velocidad angular de un movimiento plano paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0\,} ) a partir de su necesaria relación con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\,\times\,\overrightarrow{CA}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,3\,\Omega R\,\vec{\jmath}_0=\omega_{21}\,\vec{k}_0\,\times\, R\,\vec{\imath}_0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,3\,\Omega R\,\vec{\jmath}_0=\omega_{21} R\,\vec{\jmath}_0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{21}=3\Omega\,\vec{k}_0 }

Y conocida Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} , es ya inmediato el cálculo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}=3\Omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=6\Omega R\vec{\jmath}_0 }

Velocidad angular {20}

La velocidad angular del movimiento {20} se puede obtener fácilmente a partir de la ley de composición de velocidades angulares:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=3\Omega\,\vec{k}_0-\Omega\,\vec{k}_0=2\Omega\,\vec{k}_0 }

Procedimiento alternativo (más elegante)

Velocidad instantánea {21} de B

De acuerdo con la ecuación del campo de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}=\vec{v}^A_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}}

Si esta misma ecuación la aplicamos al punto C, cuya velocidad en el movimiento {21} sabemos que es nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^A_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}}

pero C es el punto diametralmente opuesto a B:

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lo que nos da:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\vec{v}^A_{21}-\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{21}}

que llevado a la ecuación para la velocidad de B nos da:

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Necesitamos hallar la velocidad del centro del disco "2". Aplicando la ley de composición de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\underbrace{\vec{v}^A_{20}}_{=\,\vec{0}} +\, \vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}}

De aquí:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}=2\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\left(2\Omega\,\vec{k}_0\right)\times\left[(2R+R)\,\vec{\imath}_0\right]=6\Omega R\,\vec{\jmath}_0}

Velocidad angular {20}

La velocidad angular del movimiento {20} la podemos obtener recurriendo de nuevo a que los discos ruedan sin deslizar uno sobre otro y por tanto el punto C es el CIR del movimiento {21}. Por la ley de composición de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{v}^{\, C}_{01}}

siendo la velocidad relativa:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{I_{20}C}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AC}}

que expresada en componentes da:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_0\,\,;\qquad \overrightarrow{AC}=-R\,\vec{\imath}_0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^C_{20}=-\omega_{20}R\,\vec{\jmath}_0}

Por su parte, la velocidad de arrastre vale:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{I_{01}C}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}}

que expresada en componentes es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\,\,;\qquad \overrightarrow{OC}=2R\,\vec{\imath}_0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^{\, C}_{01}=2\Omega R\,\vec{\jmath}_0}

Llevando estas dos expresiones a la velocidad absoluta nos queda:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\left(-\omega_{20}R+2\Omega R\right)\,\vec{\jmath}_0}

y por tanto:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}=2\Omega\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}_{20}=2\Omega\,\vec{k}_0}