Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)

Enunciado

El plano vertical fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio $R\,$ (sólido "2"), y una barra $BC\,$ de longitud $L\,$ (sólido "0"). El disco rueda sin deslizar sobre el eje vertical $O_{1}Y_{1}\,$, avanzando su centro $C\,$ con velocidad constante ${\vec {v}}_{21}^{\,C}(t)=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}\,$. Y, como consecuencia, también la barra se mueve, ya que su extremo $C\,$ está articulado al centro del disco, mientras que su extremo $B\,$ está articulado a un deslizador que lo obliga a recorrer el eje $O_{1}X_{1}\,$.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo $\theta \,$ que forma la barra $BC\,$ con respecto a la vertical (ver figura). Se pide:

1. Determinar gráficamente la posición de los tres centros instantáneos de rotación: $I_{21}\,$, $I_{20}\,$ y $I_{01}\,$.
2. Calcular todas las velocidades angulares en función de la posición, es decir: ${\vec {\omega }}_{21}(\theta )\,,$ ${\vec {\omega }}_{01}(\theta )\,$ y ${\vec {\omega }}_{20}(\theta )\,$.
3. Calcular las aceleraciones ${\vec {a}}_{01}^{\,C}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$ (ver $A\,$ en la figura).

Determinación gráfica de los centros instantáneos de rotación

Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje $O_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto disco-eje:

$I_{21}\equiv A$

El extremo $C\,$ de la barra (sólido "0") se halla articulado al centro del disco (sólido "2"). Por tanto, dicho punto $C\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:

$I_{20}\equiv C$

Dado que el extremo $B\,$ de la barra (sólido "0") está obligado a recorrer el eje $O_{1}X_{1}\,$ (sólido "1"), la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{B}\,$ tiene necesariamente la dirección del eje $O_{1}X_{1}\,$. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto $B\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{21}\,$ y $I_{20}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{01}\,$ en la intersección de ambas rectas:

(ver $I_{01}$ en la figura adjunta)

Velocidades angulares en función de la posición

Al tratarse de movimientos planos, todas las velocidades angulares solicitadas son perpendiculares al plano director:

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,$

En el movimiento {21}, conocemos la velocidad (dato) del punto $C\,$ y la velocidad (nula) del punto $A\equiv I_{21}\,$. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,C}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}\right\}\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{A}+\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}\times R\,{\vec {\imath }}_{1}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,v_{0}=\omega _{21}R$

Por tanto:

${\vec {\omega }}_{21}={\frac {v_{0}}{R}}\,{\vec {k}}_{1}$

En cuanto al movimiento {01}, conocemos la velocidad (nula) del punto $I_{01}\,$, que ha sido gráficamente determinado pero cuya posición podemos expresar analíticamente mediante simple inspección geométrica de la figura:

${\overrightarrow {O_{1}I_{01}}}=[R+L\,\mathrm {sen} (\theta )]\,{\vec {\imath }}_{1}+L\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Y, por otra parte, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $C\equiv I_{20}\,$, deducimos el valor de la velocidad de $C\,$ en el movimiento {01}:

${\vec {v}}_{21}^{\ C}=\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\ C}} _{={\vec {0}}}+{\vec {v}}_{01}^{\ C}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{01}^{\ C}={\vec {v}}_{21}^{\ C}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

De modo que, relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}, podemos deducir el valor de la correspondiente velocidad angular:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{01}^{\,I_{01}}={\vec {0}}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,C}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}\right\}\,\,\,\,{\vec {v}}_{01}^{\,C}={\vec {v}}_{01}^{\,I_{01}}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {I_{01}C}}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{1}\times [-L\,\mathrm {sen} (\theta )]\,{\vec {\imath }}_{1}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,v_{0}=-\omega _{01}L\,\mathrm {sen} (\theta )$

Por tanto:

${\vec {\omega }}_{01}=-{\frac {v_{0}}{L\,\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {k}}_{1}$

Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=\left[{\frac {v_{0}}{R}}+{\frac {v_{0}}{L\,\mathrm {sen} (\theta )}}\right]\,{\vec {k}}_{1}$

Aceleraciones pedidas

La aceleración ${\vec {a}}_{01}^{\,C}\,$ se deduce fácilmente a partir de la ley de composición de aceleraciones aplicada al punto $C\,$:

$\underbrace {{\vec {a}}_{21}^{\,C}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}=\underbrace {{\vec {a}}_{20}^{\,C}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+{\vec {a}}_{01}^{\,C}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\!\times \!\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,C}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {a}}_{01}^{\,C}={\vec {0}}$

donde se ha tenido en cuenta que ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ y ${\vec {a}}_{20}^{\,C}\,$ son ambas nulas por ser $C\,$ un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}, y que ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$ es nula por ser ${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$ constante en el tiempo.

Por último, deducimos la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$ relacionándola con la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}:

${\vec {a}}_{21}^{\,A}=\underbrace {{\vec {a}}_{21}^{\,C}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{21}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {CA}}-|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}\,{\overrightarrow {CA}}=-{\frac {v_{0}^{2}}{R^{\,2}}}(-R\,{\vec {\imath }}_{1})={\frac {v_{0}^{2}}{R}}\,{\vec {\imath }}_{1}$

donde se ha tenido en cuenta que la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ es nula por ser la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$ constante en el tiempo.