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No Boletín - Disco rodando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/12)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un disco de radio R\, (sólido "2"), contenido en el plano OX_0Y_0\,, rueda sin deslizar sobre el eje OX_0\, (sólido "0"), de tal modo que su centro C\, avanza con velocidad relativa constante \vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\vec{\imath}_{0}\,. Al mismo tiempo, la escuadra OX_0Y_0\, (sólido "0"), articulada en su punto O\, al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria OX_1Y_1\, (sólido "1"), rota con velocidad angular absoluta constante \vec{\omega}_{01}=\omega_{0}\,\vec{k}_1\, alrededor del eje fijo OZ_1\,. La posición del sistema que se representa en la figura, y a la cual se refieren las siguientes preguntas, corresponde al instante t=t^{*}\,.

  1. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación I_{21}\,?
  2. Determine la aceleración instantánea \vec{a}^{A}_{21}\, (ver A\, en figura).
  3. ¿En qué caso particular el movimiento {21} es una traslación?

2 C.I.R.{21}: localización aproximada mediante el teorema de los tres centros

Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje OX_0\, (sólido "0"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} coincide con el punto de contacto disco-eje:


I_{20}\equiv A

La escuadra OX_0Y_0\, (sólido "0") está articulada en su punto O\, al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria OX_1Y_1\, (sólido "1"). Por tanto, dicho punto O\, es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:


I_{01}\equiv O

Entonces, aplicando el teorema de los tres centros, podemos asegurar que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} ha de estar en la recta que pasa por los puntos O\, y A\,, es decir, ha de estar en el eje OX_0\,.

NOTA: Este problema se planteó en examen como ejercicio tipo test, y la respuesta correcta al presente apartado era la que afirmaba que el C.I.R.{21} se halla en el eje OX_0\,. No obstante, completaremos a continuación esta solución determinando la localización exacta del C.I.R.{21}. Para ello, necesitamos calcular previamente la reducción cinemática del movimiento {21} en algún punto, por ejemplo en el punto O\,. Pero la reducción cinemática de {21} en O\, se puede determinar fácilmente mediante las leyes de composición si antes hallamos las reducciones cinemáticas de {01} y {20} en dicho punto.

3 C.I.R.{21}: localización exacta mediante determinación analítica

La reducción cinemática de {01} en O\, ya se conoce:


\vec{\omega}_{01}=\omega_0\,\vec{k}_1=\omega_0\,\vec{k}_0\,    ;        \vec{v}^{\, O}_{01}=\vec{0}

Hallemos ahora la reducción cinemática de {20} en O\,. Al tratarse de un movimiento plano, la velocidad angular es perpendicular al plano director:


\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_0

En el movimiento {20}, conocemos la velocidad (dato) del punto C\, y la velocidad (nula) del punto A\equiv I_{20}\,. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:


\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\vec{\imath}_0
\end{array}\right\}\,\,\,\,
\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{A}_{20}+\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
v_0\,\vec{\imath}_0=\omega_{20}\,\vec{k}_0\times R\,\vec{\jmath}_0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,v_0=-\omega_{20}R
\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_{20}=-\frac{v_0}{R}

Por tanto:


\vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_0

Ya podemos calcular la velocidad del punto O\, en el movimiento {20} mediante la ecuación del campo de velocidades de dicho movimiento:


\vec{v}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{v}^{A}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO}=\left(-\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_0\right)\times(-v_0t^{*}\,\vec{\imath}_0)=\frac{v_0^2t^{*}}{R}\,\vec{\jmath}_0

Así que ahora tenemos también la reducción cinemática de {20} en O\,:


\vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_0\,    ;        \vec{v}^{\, O}_{20}=\frac{v_0^2t^{*}}{R}\,\vec{\jmath}_0

Y aplicando las leyes de composición, determinamos finalmente la reducción cinemática de {21} en O\,:


\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\left(\omega_0-\frac{v_0}{R}\right)\vec{k}_0\,    ;        \vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}=\frac{v_0^2t^{*}}{R}\,\vec{\jmath}_0

La posición exacta del C.I.R.{21} se obtiene con la fórmula habitual:


\overrightarrow{OI_{21}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{\, 2}}=\frac{v_0^2t^{*}}{(v_0-\omega_0 R)}\,\vec{\imath}_0

4 Aceleración instantánea del punto A en el movimiento {21}

Aplicando la ley de composición de aceleraciones (o teorema de Coriolis), la aceleración absoluta del punto A\, se puede calcular como suma de las aceleraciones relativa, de arrastre y de Coriolis de dicho punto:


\vec{a}^{\, A}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{20}+\vec{a}^{\, A}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}

Observamos en primer lugar que el término de Coriolis se anula al ser A\, el C.I.R.{20}.

La aceleración relativa de A\, la podemos determinar a partir de la aceleración relativa del centro C\, del disco utilizando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {20}:


\vec{a}^{\, A}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\overrightarrow{CA}-|\,\vec{\omega}_{20}|^{\, 2}\,\overrightarrow{CA}=\frac{v_0^2}{R}\,\vec{\jmath}_0

donde se ha tenido en cuenta que:


\vec{a}^{\, C}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\left.\frac{\mathrm{d}(v_0\,\vec{\imath}_{0})}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}    ;         \vec{\alpha}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\left.\frac{\mathrm{d}\left(-\displaystyle\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}

Y la aceleración de arrastre de A\, la calculamos a partir de la aceleración de arrastre del punto O\, utilizando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}:


\vec{a}^{\, A}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\overrightarrow{OA}-|\,\vec{\omega}_{01}|^{\, 2}\,\overrightarrow{OA}=-\omega_0^2v_0\, t^{*}\,\vec{\imath}_0

donde se ha tenido en cuenta que:


\vec{a}^{\, O}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}    ;         \vec{\alpha}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}(\omega_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}

Así que, sustituyendo los valores obtenidos para \vec{a}^{\, A}_{20}\, y \vec{a}^{\, A}_{01}\, en la ley de composición de aceleraciones, se obtiene finalmente:


\vec{a}^{\, A}_{21}=-\omega_0^2v_0\, t^{*}\,\vec{\imath}_0+\frac{v_0^2}{R}\,\vec{\jmath}_0

5 ¿En qué caso particular {21} es una traslación?

Examinando la reducción cinemática de {21} en el punto O\, (que fue calculada más arriba):


\vec{\omega}_{21}=\left(\omega_0-\frac{v_0}{R}\right)\vec{k}_0\,    ;        \vec{v}^{\, O}_{21}=\frac{v_0^2t^{*}}{R}\,\vec{\jmath}_0

deducimos lo que tiene que ocurrir para que la velocidad angular del movimiento {21} se anule:


\vec{\omega}_{21}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_0-\frac{v_0}{R}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_0 R=v_0

Así, pues, en el caso particular de que \omega_0 R=v_0\,, el movimiento {21} es una traslación, ya que el campo de velocidades es uniforme y distinto de cero.

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