No Boletín - Disco rodando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/12)

Enunciado

Un disco de radio $R\,$ (sólido "2"), contenido en el plano $OX_{0}Y_{0}\,$, rueda sin deslizar sobre el eje $OX_{0}\,$ (sólido "0"), de tal modo que su centro $C\,$ avanza con velocidad relativa constante ${\vec {v}}_{20}^{\,C}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{0}\,$. Al mismo tiempo, la escuadra $OX_{0}Y_{0}\,$ (sólido "0"), articulada en su punto $O\,$ al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), rota con velocidad angular absoluta constante ${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{1}\,$ alrededor del eje fijo $OZ_{1}\,$. La posición del sistema que se representa en la figura, y a la cual se refieren las siguientes preguntas, corresponde al instante $t=t^{*}\,$.

1. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{21}\,$?
2. Determine la aceleración instantánea ${\vec {a}}_{21}^{A}\,$ (ver $A\,$ en figura).
3. ¿En qué caso particular el movimiento {21} es una traslación?

C.I.R.{21}: localización aproximada mediante el teorema de los tres centros

Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje $OX_{0}\,$ (sólido "0"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} coincide con el punto de contacto disco-eje:

$I_{20}\equiv A$

La escuadra $OX_{0}Y_{0}\,$ (sólido "0") está articulada en su punto $O\,$ al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). Por tanto, dicho punto $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:

$I_{01}\equiv O$

Entonces, aplicando el teorema de los tres centros, podemos asegurar que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} ha de estar en la recta que pasa por los puntos $O\,$ y $A\,$, es decir, ha de estar en el eje $OX_{0}\,$.

NOTA: Este problema se planteó en examen como ejercicio tipo test, y la respuesta correcta al presente apartado era la que afirmaba que el C.I.R.{21} se halla en el eje $OX_{0}\,$. No obstante, completaremos a continuación esta solución determinando la localización exacta del C.I.R.{21}. Para ello, necesitamos calcular previamente la reducción cinemática del movimiento {21} en algún punto, por ejemplo en el punto $O\,$. Pero la reducción cinemática de {21} en $O\,$ se puede determinar fácilmente mediante las leyes de composición si antes hallamos las reducciones cinemáticas de {01} y {20} en dicho punto.

C.I.R.{21}: localización exacta mediante determinación analítica

La reducción cinemática de {01} en $O\,$ ya se conoce:

${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{0}\,$  ;    ${\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}$

Hallemos ahora la reducción cinemática de {20} en $O\,$. Al tratarse de un movimiento plano, la velocidad angular es perpendicular al plano director:

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{0}$

En el movimiento {20}, conocemos la velocidad (dato) del punto $C\,$ y la velocidad (nula) del punto $A\equiv I_{20}\,$. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{20}^{A}={\vec {0}}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,C}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}\right\}\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}={\vec {v}}_{20}^{A}+\,{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AC}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,v_{0}\,{\vec {\imath }}_{0}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{0}\times R\,{\vec {\jmath }}_{0}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,v_{0}=-\omega _{20}R\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\omega _{20}=-{\frac {v_{0}}{R}}$

Por tanto:

${\vec {\omega }}_{20}=-{\frac {v_{0}}{R}}\,{\vec {k}}_{0}$

Ya podemos calcular la velocidad del punto $O\,$ en el movimiento {20} mediante la ecuación del campo de velocidades de dicho movimiento:

${\vec {v}}_{20}^{\,O}=\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{A}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\,{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AO}}=\left(-{\frac {v_{0}}{R}}\,{\vec {k}}_{0}\right)\times (-v_{0}t^{*}\,{\vec {\imath }}_{0})={\frac {v_{0}^{2}t^{*}}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Así que ahora tenemos también la reducción cinemática de {20} en $O\,$:

${\vec {\omega }}_{20}=-{\frac {v_{0}}{R}}\,{\vec {k}}_{0}\,$  ;    ${\vec {v}}_{20}^{\,O}={\frac {v_{0}^{2}t^{*}}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Y aplicando las leyes de composición, determinamos finalmente la reducción cinemática de {21} en $O\,$:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\left(\omega _{0}-{\frac {v_{0}}{R}}\right){\vec {k}}_{0}\,$  ;    ${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,O}+{\vec {v}}_{01}^{\,O}={\frac {v_{0}^{2}t^{*}}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

La posición exacta del C.I.R.{21} se obtiene con la fórmula habitual:

${\overrightarrow {OI_{21}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{\,O}}{|\,{\vec {\omega }}_{21}|^{\,2}}}={\frac {v_{0}^{2}t^{*}}{(v_{0}-\omega _{0}R)}}\,{\vec {\imath }}_{0}$

Aceleración instantánea del punto A en el movimiento {21}

Aplicando la ley de composición de aceleraciones (o teorema de Coriolis), la aceleración absoluta del punto $A\,$ se puede calcular como suma de las aceleraciones relativa, de arrastre y de Coriolis de dicho punto:

${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {a}}_{20}^{\,A}+{\vec {a}}_{01}^{\,A}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times \underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,A}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}$

Observamos en primer lugar que el término de Coriolis se anula al ser $A\,$ el C.I.R.{20}.

La aceleración relativa de $A\,$ la podemos determinar a partir de la aceleración relativa del centro $C\,$ del disco utilizando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {20}:

${\vec {a}}_{20}^{\,A}=\underbrace {{\vec {a}}_{20}^{\,C}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {CA}}-|\,{\vec {\omega }}_{20}|^{\,2}\,{\overrightarrow {CA}}={\frac {v_{0}^{2}}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

donde se ha tenido en cuenta que:

${\vec {a}}_{20}^{\,C}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,C}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\left.{\frac {\mathrm {d} (v_{0}\,{\vec {\imath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$  ;     ${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\left.{\frac {\mathrm {d} \left(-\displaystyle {\frac {v_{0}}{R}}\,{\vec {k}}_{0}\right)}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

Y la aceleración de arrastre de $A\,$ la calculamos a partir de la aceleración de arrastre del punto $O\,$ utilizando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}:

${\vec {a}}_{01}^{\,A}=\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,O}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {OA}}-|\,{\vec {\omega }}_{01}|^{\,2}\,{\overrightarrow {OA}}=-\omega _{0}^{2}v_{0}\,t^{*}\,{\vec {\imath }}_{0}$

donde se ha tenido en cuenta que:

${\vec {a}}_{01}^{\,O}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {0}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}$  ;     ${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} (\omega _{0}\,{\vec {k}}_{1})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}$

Así que, sustituyendo los valores obtenidos para ${\vec {a}}_{20}^{\,A}\,$ y ${\vec {a}}_{01}^{\,A}\,$ en la ley de composición de aceleraciones, se obtiene finalmente:

${\vec {a}}_{21}^{\,A}=-\omega _{0}^{2}v_{0}\,t^{*}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\frac {v_{0}^{2}}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

¿En qué caso particular {21} es una traslación?

Examinando la reducción cinemática de {21} en el punto $O\,$ (que fue calculada más arriba):

${\vec {\omega }}_{21}=\left(\omega _{0}-{\frac {v_{0}}{R}}\right){\vec {k}}_{0}\,$  ;    ${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\frac {v_{0}^{2}t^{*}}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

deducimos lo que tiene que ocurrir para que la velocidad angular del movimiento {21} se anule:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\omega _{0}-{\frac {v_{0}}{R}}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\omega _{0}R=v_{0}$

Así, pues, en el caso particular de que $\omega _{0}R=v_{0}\,$, el movimiento {21} es una traslación, ya que el campo de velocidades es uniforme y distinto de cero.