Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por cuatro sólidos móviles (las barras "0" y "4", y los discos "2" y "3"), los cuales se mantienen siempre contenidos en el plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1\,} (sólido "1"). El disco "2", de radio , rota con velocidad angular constante (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} . El disco "3", de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2R\,} , rota con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\omega\,} (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\,} . Las barras "0" y "4", de longitudes indefinidas, experimentan sendas traslaciones verticales respecto al plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1\,} al ser arrastradas respectivamente por las rotaciones de los discos con los que mantienen contacto permanente, ya que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0", y el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4".

  1. ¿Con qué velocidades se trasladan las barras?
  2. ¿Cómo se clasifica el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{23\}\,} ?
  3. ¿Dónde está el centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{42}\,} ?
  4. ¿Cuánto vale la aceleración del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} de contacto entre ambos discos en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{32\}\,} ?

Velocidades de traslación de las barras

Los movimientos absolutos de los discos (movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{31\}\,} ) se describen en el enunciado como sendas rotaciones alrededor de centros fijos, deduciéndose trivialmente que sus reducciones cinemáticas son:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{0} \\ \\ \vec{\omega}_{31}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{31}=\vec{0} \end{array} }

Se nos dice que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0". Esta ausencia de deslizamiento en el movimiento relativo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} conlleva que el punto de contacto entre ambos sólidos (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} ) tiene velocidad relativa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} }

También se nos dice que el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4". Esta ausencia de deslizamiento en el movimiento relativo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{34\}\,} conlleva que el punto de contacto entre ambos sólidos (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G\,} ) tiene velocidad relativa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{34\}\,} nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, G}_{34}=\vec{0} }

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en dichos puntos de contacto, se obtiene que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} \vec{v}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,\,+\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle =\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{01}} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{01}=\vec{v}^{\, A}_{21} \\ \\ \vec{v}^{\, G}_{31}=\underbrace{\vec{v}^{\, G}_{34}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,\,+\underbrace{\vec{v}^{\, G}_{41}}_{\displaystyle =\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{41}} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{41}=\vec{v}^{\, G}_{31} \end{array} }

donde se ha tenido en cuenta que los campos de velocidades de los movimientos absolutos de las barras (movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{41\}\,} ) son uniformes (se trata de sendas traslaciones verticales según nos indica el enunciado).

Por tanto, las velocidades de traslación de ambas barras se pueden determinar fácilmente a partir de las igualdades deducidas y aplicando las ecuaciones de los campos de velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{31\}\,} , respectivamente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{01}=\vec{v}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\times(-R\,\vec{\imath}_1)=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{41}=\vec{v}^{\, G}_{31}=\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{31}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\,\vec{\omega}_{31}\times\overrightarrow{EG}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\times 2R\,\vec{\imath}_1=-4\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

Clasificación del movimiento {23}

Aplicando la ley de composición de velocidades angulares, se deduce la nulidad de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{23}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{23}+\vec{\omega}_{31}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{23}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{31}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1-(-2\;\!\omega\,\vec{k}_1)=\vec{0} }

Por tanto, el campo de velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{23\}\,} es uniforme. Calculamos ahora el valor de dicho campo determinando la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{23\}\,} de un punto cualquiera, por ejemplo, del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\,} (utilizamos para ello la ley de composición de velocidades y la ecuación del campo de velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, E}_{21}=\vec{v}^{\, E}_{23}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{31}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{23}=\vec{v}^{\, E}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\,\times\,\overrightarrow{BE}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\,\times\, 3R\,\vec{\imath}_1=-6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 }

Una vez comprobado que el campo de velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{23\}\,} es uniforme y no nulo, podemos clasificar el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{23\}\,} como una TRASLACIÓN de velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{23}=-6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \,} .

Centro instantáneo de rotación del movimiento {42}

Determinaremos la posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{42}\,} aplicando el procedimiento analítico, es decir, calcularemos la reducción cinemática del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{42\}\,} en algún punto (por ejemplo, en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} ) y después utilizaremos la fórmula deducida en la teoría para determinar la posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{42}\,} respecto a dicho punto.

Así pues, calculamos en primer lugar la reducción cinemática del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{42\}\,} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} (aplicando para ello la ley de composición de velocidades angulares y la ley de composición de velocidades):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} \vec{\omega}_{41}=\vec{\omega}_{42}+\vec{\omega}_{21} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{\omega}_{42}=\underbrace{\vec{\omega}_{41}}_{\displaystyle =\vec{0}}-\,\,\vec{\omega}_{21}=2\;\!\omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, B}_{41}=\vec{v}^{\, B}_{42}+\vec{v}^{\, B}_{21} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}^{\, B}_{42}=\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{41}}_{\displaystyle =\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{41}}\!\!-\,\,\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}=-4\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

donde se ha tenido en cuenta que la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{41}\,} es nula por ser el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{41\}\,} una traslación.

Y a continuación aplicamos la fórmula que nos da la posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{42}\,} respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BI_{42}}=\frac{\vec{\omega}_{42}\times\vec{v}^{\, B}_{42}}{|\,\vec{\omega}_{42}|^{\, 2}}=\frac{2\;\!\omega\,\vec{k}_1\times (-4\,\omega R\,\vec{\jmath}_1)}{4\;\!\omega^{\, 2}}=2\;\!R\,\vec{\imath}_1 }

Por tanto, a la vista de este resultado y tras inspeccionar la figura del enunciado, llegamos a la conclusión de que el centro instantáneo de rotación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{42\}\,} coincide con el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{42}\equiv D }

Aceleración {32} del punto C de contacto entre ambos discos

Aplicando la ley de composición de aceleraciones en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} y despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{32}\,} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{31}=\vec{a}^{\, C}_{32}+\vec{a}^{\, C}_{21}+2\,\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, C}_{32}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, C}_{32}=\vec{a}^{\, C}_{31}-\,\vec{a}^{\, C}_{21}-2\,\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, C}_{32} }

A continuación, calculamos los tres términos que necesitamos para determinar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{32}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}^{\, C}_{31}=\underbrace{\vec{a}^{\, E}_{31}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{31}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\,\overrightarrow{EC}-|\;\!\vec{\omega}_{31}|^2\overrightarrow{EC}=-(2\;\!\omega)^2(-2\;\!R\,\vec{\imath}_1)=8\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1 \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, B}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\,\overrightarrow{BC}-|\;\!\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BC}=-(2\;\!\omega)^2 R\,\vec{\imath}_1=-\;\!4\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1 \\ \\ 2\,\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, C}_{32}=2\,(-2\;\!\omega\,\vec{k}_1)\times 6\;\!\omega\;\! R\,\vec{\jmath}_1=24\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1 \end{array} }

donde se ha tenido presente que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\,} es un punto fijo en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{31\}\,} (por eso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, E}_{31}\,} es nula), que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} es un punto fijo en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} (por eso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{21}\,} es nula), que las velocidades angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{31}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} son constantes (por eso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{31}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} son nulas), y que las velocidades recíprocas son opuestas (por eso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{32}=-\;\!\vec{v}^{\, C}_{23}=-\;\!\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{23}=6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1\,} ).

Sustituyendo el valor de los tres términos en la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{32}\,} deducida arriba, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{32}=8\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1-(-\;\!4\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1)-24\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1=-12\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1 }

Procedimiento alternativo para determinar la aceleración {32} del punto C

Según se comprobó anteriormente, el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{23\}\,} es una traslación permanente de velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{23}=-\;\!6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \,} . Por consiguiente, su movimiento recíproco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{32\}\,} es otra traslación permanente de velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{32}=-\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{23}=6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \,} .

Ahora bien, el campo de aceleraciones de una traslación permanente es uniforme (esto se debe a que el campo de velocidades de una traslación permanente es uniforme en todo instante). Así que llegamos a la conclusión de que todos los puntos tienen la misma aceleración en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{32\}\,} , y además esta aceleración puede calcularse a partir de su propia definición, es decir, derivando respecto al tiempo la velocidad de traslación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{32\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{32}=\vec{a}^{\, \mathrm{tras}}_{32}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\;\!\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{32}}{\mathrm{d}\;\!t}\right|_2=\underbrace{\left.\frac{\mathrm{d}\;\!\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{32}}{\mathrm{d}\;\!t}\right|_1\,\,}_{\displaystyle =\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{12}\times\,\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{32}=2\;\!\omega\,\vec{k}_1\times\, 6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1=-12\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1 }

donde se ha aplicado la fórmula de Poisson para la derivación, y se ha tenido en cuenta que las velocidades angulares recíprocas son opuestas (por eso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{12}=-\;\!\vec{\omega}_{21}=2\;\!\omega\,\vec{k}_1\,} ).

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