No Boletín - Dos discos y dos barras (Ex.Ene/19)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por cuatro sólidos móviles (las barras "0" y "4", y los discos "2" y "3"), los cuales se mantienen siempre contenidos en el plano fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). El disco "2", de radio $R\,$, rota con velocidad angular constante $2\,\omega \,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo $B\,$. El disco "3", de radio $2R\,$, rota con velocidad angular constante $2\,\omega \,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo $E\,$. Las barras "0" y "4", de longitudes indefinidas, experimentan sendas traslaciones verticales respecto al plano fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ al ser arrastradas respectivamente por las rotaciones de los discos con los que mantienen contacto permanente, ya que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0", y el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4".

1. ¿Con qué velocidades se trasladan las barras?
2. ¿Cómo se clasifica el movimiento $\{23\}\,$?
3. ¿Dónde está el centro instantáneo de rotación $I_{42}\,$?
4. ¿Cuánto vale la aceleración del punto $C\,$ de contacto entre ambos discos en el movimiento $\{32\}\,$?

Velocidades de traslación de las barras

Los movimientos absolutos de los discos (movimientos $\{21\}\,$ y $\{31\}\,$) se describen en el enunciado como sendas rotaciones alrededor de centros fijos, deduciéndose trivialmente que sus reducciones cinemáticas son:

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}=-2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {0}}\\\\{\vec {\omega }}_{31}=-2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{31}^{\,E}={\vec {0}}\end{array}}$

Se nos dice que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0". Esta ausencia de deslizamiento en el movimiento relativo $\{20\}\,$ conlleva que el punto de contacto entre ambos sólidos (punto $A\,$) tiene velocidad relativa $\{20\}\,$ nula:

${\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}$

También se nos dice que el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4". Esta ausencia de deslizamiento en el movimiento relativo $\{34\}\,$ conlleva que el punto de contacto entre ambos sólidos (punto $G\,$) tiene velocidad relativa $\{34\}\,$ nula:

${\vec {v}}_{34}^{\,G}={\vec {0}}$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en dichos puntos de contacto, se obtiene que:

${\begin{array}{lll}{\vec {v}}_{21}^{\,A}=\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,A}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,\,+\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,A}} _{\displaystyle ={\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }}&\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }={\vec {v}}_{21}^{\,A}\\\\{\vec {v}}_{31}^{\,G}=\underbrace {{\vec {v}}_{34}^{\,G}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,\,+\underbrace {{\vec {v}}_{41}^{\,G}} _{\displaystyle ={\vec {v}}_{41}^{\,\mathrm {tras} }}&\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{41}^{\,\mathrm {tras} }={\vec {v}}_{31}^{\,G}\end{array}}$

donde se ha tenido en cuenta que los campos de velocidades de los movimientos absolutos de las barras (movimientos $\{01\}\,$ y $\{41\}\,$) son uniformes (se trata de sendas traslaciones verticales según nos indica el enunciado).

Por tanto, las velocidades de traslación de ambas barras se pueden determinar fácilmente a partir de las igualdades deducidas y aplicando las ecuaciones de los campos de velocidades $\{21\}\,$ y $\{31\}\,$, respectivamente:

${\begin{array}{lll}{\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }={\vec {v}}_{21}^{\,A}=\underbrace {{\vec {v}}_{21}^{\,B}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,+\,\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BA}}=-2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}\times (-R\,{\vec {\imath }}_{1})=2\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{41}^{\,\mathrm {tras} }={\vec {v}}_{31}^{\,G}=\underbrace {{\vec {v}}_{31}^{\,E}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,+\,\,{\vec {\omega }}_{31}\times {\overrightarrow {EG}}=-2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}\times 2R\,{\vec {\imath }}_{1}=-4\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Clasificación del movimiento {23}

Aplicando la ley de composición de velocidades angulares, se deduce la nulidad de ${\vec {\omega }}_{23}\,$:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{23}+{\vec {\omega }}_{31}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{23}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{31}=-2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}-(-2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1})={\vec {0}}$

Por tanto, el campo de velocidades $\{23\}\,$ es uniforme. Calculamos ahora el valor de dicho campo determinando la velocidad $\{23\}\,$ de un punto cualquiera, por ejemplo, del punto $E\,$ (utilizamos para ello la ley de composición de velocidades y la ecuación del campo de velocidades $\{21\}\,$):

${\vec {v}}_{21}^{\,E}={\vec {v}}_{23}^{\,E}+\underbrace {{\vec {v}}_{31}^{\,E}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{23}^{\,E}={\vec {v}}_{21}^{\,E}=\underbrace {{\vec {v}}_{21}^{\,B}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{21}\,\times \,{\overrightarrow {BE}}=-2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}\,\times \,3R\,{\vec {\imath }}_{1}=-6\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Una vez comprobado que el campo de velocidades $\{23\}\,$ es uniforme y no nulo, podemos clasificar el movimiento $\{23\}\,$ como una TRASLACIÓN de velocidad ${\vec {v}}_{23}^{\,\mathrm {tras} }=-6\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1}\,$.

Centro instantáneo de rotación del movimiento {42}

Determinaremos la posición del centro instantáneo de rotación $I_{42}\,$ aplicando el procedimiento analítico, es decir, calcularemos la reducción cinemática del movimiento $\{42\}\,$ en algún punto (por ejemplo, en el punto $B\,$) y después utilizaremos la fórmula deducida en la teoría para determinar la posición de $I_{42}\,$ respecto a dicho punto.

Así pues, calculamos en primer lugar la reducción cinemática del movimiento $\{42\}\,$ en el punto $B\,$ (aplicando para ello la ley de composición de velocidades angulares y la ley de composición de velocidades):

${\begin{array}{lll}{\vec {\omega }}_{41}={\vec {\omega }}_{42}+{\vec {\omega }}_{21}&\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {\omega }}_{42}=\underbrace {{\vec {\omega }}_{41}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}-\,\,{\vec {\omega }}_{21}=2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}\\\\{\vec {v}}_{41}^{\,B}={\vec {v}}_{42}^{\,B}+{\vec {v}}_{21}^{\,B}&\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{42}^{\,B}=\underbrace {{\vec {v}}_{41}^{\,B}} _{\displaystyle ={\vec {v}}_{41}^{\,\mathrm {tras} }}\!\!-\,\,\underbrace {{\vec {v}}_{21}^{\,B}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}=-4\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

donde se ha tenido en cuenta que la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{41}\,$ es nula por ser el movimiento $\{41\}\,$ una traslación.

Y a continuación aplicamos la fórmula que nos da la posición de $I_{42}\,$ respecto al punto $B\,$:

${\overrightarrow {BI_{42}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{42}\times {\vec {v}}_{42}^{\,B}}{|\,{\vec {\omega }}_{42}|^{\,2}}}={\frac {2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}\times (-4\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1})}{4\;\!\omega ^{\,2}}}=2\;\!R\,{\vec {\imath }}_{1}$

Por tanto, a la vista de este resultado y tras inspeccionar la figura del enunciado, llegamos a la conclusión de que el centro instantáneo de rotación del movimiento $\{42\}\,$ coincide con el punto $D\,$:

$I_{42}\equiv D$

Aceleración {32} del punto C de contacto entre ambos discos

Aplicando la ley de composición de aceleraciones en el punto $C\,$ y despejando ${\vec {a}}_{32}^{\,C}\,$, se obtiene:

${\vec {a}}_{31}^{\,C}={\vec {a}}_{32}^{\,C}+{\vec {a}}_{21}^{\,C}+2\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{32}^{\,C}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {a}}_{32}^{\,C}={\vec {a}}_{31}^{\,C}-\,{\vec {a}}_{21}^{\,C}-2\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{32}^{\,C}$

A continuación, calculamos los tres términos que necesitamos para determinar ${\vec {a}}_{32}^{\,C}\,$:

${\begin{array}{l}{\vec {a}}_{31}^{\,C}=\underbrace {{\vec {a}}_{31}^{\,E}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{31}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {EC}}-|\;\!{\vec {\omega }}_{31}|^{2}{\overrightarrow {EC}}=-(2\;\!\omega )^{2}(-2\;\!R\,{\vec {\imath }}_{1})=8\,\omega ^{2}R\,\;\!{\vec {\imath }}_{1}\\\\{\vec {a}}_{21}^{\,C}=\underbrace {{\vec {a}}_{21}^{\,B}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{21}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {BC}}-|\;\!{\vec {\omega }}_{21}|^{2}{\overrightarrow {BC}}=-(2\;\!\omega )^{2}R\,{\vec {\imath }}_{1}=-\;\!4\,\omega ^{2}R\,\;\!{\vec {\imath }}_{1}\\\\2\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{32}^{\,C}=2\,(-2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1})\times 6\;\!\omega \;\!R\,{\vec {\jmath }}_{1}=24\,\omega ^{2}R\,\;\!{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}$

donde se ha tenido presente que $E\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{31\}\,$ (por eso ${\vec {a}}_{31}^{\,E}\,$ es nula), que $B\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{21\}\,$ (por eso ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$ es nula), que las velocidades angulares ${\vec {\omega }}_{31}\,$ y ${\vec {\omega }}_{21}\,$ son constantes (por eso ${\vec {\alpha }}_{31}\,$ y ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ son nulas), y que las velocidades recíprocas son opuestas (por eso ${\vec {v}}_{32}^{\,C}=-\;\!{\vec {v}}_{23}^{\,C}=-\;\!{\vec {v}}_{23}^{\,\mathrm {tras} }=6\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1}\,$).

Sustituyendo el valor de los tres términos en la expresión de ${\vec {a}}_{32}^{\,C}\,$ deducida arriba, se obtiene:

${\vec {a}}_{32}^{\,C}=8\,\omega ^{2}R\,\;\!{\vec {\imath }}_{1}-(-\;\!4\,\omega ^{2}R\,\;\!{\vec {\imath }}_{1})-24\,\omega ^{2}R\,\;\!{\vec {\imath }}_{1}=-12\,\omega ^{2}R\,\;\!{\vec {\imath }}_{1}$

Procedimiento alternativo para determinar la aceleración {32} del punto C

Según se comprobó anteriormente, el movimiento $\{23\}\,$ es una traslación permanente de velocidad ${\vec {v}}_{23}^{\,\mathrm {tras} }=-\;\!6\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1}\,$. Por consiguiente, su movimiento recíproco $\{32\}\,$ es otra traslación permanente de velocidad ${\vec {v}}_{32}^{\,\mathrm {tras} }=-{\vec {v}}_{23}^{\,\mathrm {tras} }=6\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1}\,$.

Ahora bien, el campo de aceleraciones de una traslación permanente es uniforme (esto se debe a que el campo de velocidades de una traslación permanente es uniforme en todo instante). Así que llegamos a la conclusión de que todos los puntos tienen la misma aceleración en el movimiento $\{32\}\,$, y además esta aceleración puede calcularse a partir de su propia definición, es decir, derivando respecto al tiempo la velocidad de traslación del movimiento $\{32\}\,$:

${\vec {a}}_{32}^{\,C}={\vec {a}}_{32}^{\,\mathrm {tras} }=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \;\!{\vec {v}}_{32}^{\,\mathrm {tras} }}{\mathrm {d} \;\!t}}\right|_{2}=\underbrace {\left.{\frac {\mathrm {d} \;\!{\vec {v}}_{32}^{\,\mathrm {tras} }}{\mathrm {d} \;\!t}}\right|_{1}\,\,} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{12}\times \,{\vec {v}}_{32}^{\,\mathrm {tras} }=2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}\times \,6\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{1}=-12\,\omega ^{2}R\,\;\!{\vec {\imath }}_{1}$

donde se ha aplicado la fórmula de Poisson para la derivación, y se ha tenido en cuenta que las velocidades angulares recíprocas son opuestas (por eso ${\vec {\omega }}_{12}=-\;\!{\vec {\omega }}_{21}=2\;\!\omega \,{\vec {k}}_{1}\,$).