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No Boletín - Placa cuadrada deslizando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/18)

De Laplace

1 Enunciado

Una placa cuadrada (sólido "2"), contenida en el plano OX_0Y_0\,, desliza sobre el eje OX_0\, (sólido "0") con velocidad relativa constante \vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{20}(t)=v\,\vec{\imath}_0\,. Al mismo tiempo, la escuadra OX_0Y_0\, (sólido "0"), articulada en el punto O\, a la escuadra fija y coplanaria OX_1Y_1\, (sólido "1"), rota alrededor del eje fijo OZ_1\, con velocidad angular constante \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_1\,.

  1. Determine el vector de posición del C.I.R. del movimiento \{21\}\,.
  2. Determine la aceleración del punto O\, en el movimiento \{21\}\,.

2 Determinación analítica de la posición del C.I.R.{21}

Determinamos primero la velocidad angular \vec{\omega}_{21}\, mediante la ley de composición de velocidades angulares:


\vec{\omega}_{21}=\underbrace{\vec{\omega}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0

donde se ha tenido en cuenta que \vec{\omega}_{20}\, es nula por ser el movimiento \{20\}\, una traslación, y que \vec{\omega}_{01}\, es un dato del ejercicio.

A continuación, determinamos la velocidad \vec{v}^{\, O}_{21}\, mediante la ley de composición de velocidades:


\vec{v}^{\, O}_{21}=\!\!\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\displaystyle =\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{20}}\!\!+\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}=v\,\vec{\imath}_0

donde se ha tenido en cuenta que el campo de velocidades del movimiento \{20\}\, es uniforme (traslación) y de valor conocido (dato), y que \vec{v}^{\, O}_{01}\, es nula por ser O\, un punto fijo en el movimiento \{01\}\,.

Sustituyendo el valor de estas magnitudes en la fórmula deducida en la teoría, se obtiene el vector de posición del C.I.R.{21}:


\overrightarrow{OI_{21}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{\, 2}}=\frac{\Omega\,\vec{k}_0\times v\,\vec{\imath}_0}{\Omega^{\, 2}}=\frac{v}{\Omega}\,\vec{\jmath}_0

3 Aceleración del punto O en el movimiento {21}

Calculamos primero la aceleración \vec{a}^{\, O}_{20}\, a partir de su definición:


\vec{a}^{\, O}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\left.\frac{\mathrm{d}(v\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\vec{0}

Por otra parte, la aceleración \vec{a}^{\, O}_{01}\, también es nula por ser O\, un punto fijo en el movimiento \{01\}\,:


\vec{a}^{\, O}_{01}=\vec{0}

Por último, determinamos la aceleración \vec{a}^{\, O}_{21}\, aplicando la ley de composición de aceleraciones:


\vec{a}^{\, O}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\,2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\!\!\!\!\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\displaystyle =\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{20}}=2\,\Omega\,\vec{k}_0\times v\,\vec{\imath}_0=2\,\Omega\, v\vec{\jmath}_0

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