No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)

Enunciado

Sea una varilla rígida (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), de tal modo que está obligada a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto $O\,$, y además se halla articulada en su extremo $A\,$ a un deslizador que recorre un aro fijo (sólido "1") de radio $R\,$ y centro en el punto $C\,$ (de posición ${\overrightarrow {OC}}=R\,{\vec {\imath }}_{1}\,$).

Se define también la escuadra auxiliar $OX_{0}Y_{0}\,$ (sólido "0") de la figura, cuyo eje $OX_{0}\,$ es colineal con la varilla en todo instante, y en cuya base asociada $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0}\}\,$ deberán expresarse todas las magnitudes vectoriales solicitadas en este ejercicio.

Denominando $\theta \,$ al ángulo que forma la varilla con el eje $OX_{1}\,$ (ver figura), y sabiendo que ${\dot {\theta }}=\Omega \,\mathrm {(cte)} \,$, se pide:

1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{20}\,$, $I_{01}\,$ e $I_{21}.\,$
2. Cálculo de las velocidades ${\vec {v}}_{20}^{\,A}(\theta )\,$, ${\vec {v}}_{01}^{\,A}(\theta )\,$ y ${\vec {v}}_{21}^{\,A}(\theta ).\,$
3. Cálculo de las aceleraciones ${\vec {a}}_{20}^{\,A}(\theta )\,$, ${\vec {a}}_{01}^{\,A}(\theta )\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,A}(\theta ).\,$
4. Cálculo de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}(\theta )\,$ y la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}(\theta ).\,$
5. Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación $I_{21}\,$, es decir, ${\overrightarrow {OI_{21}}}(\theta ).\,$

Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

La escuadra auxiliar $OX_{0}Y_{0}\,$ (sólido "0") y la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") comparten el punto $O\,$ como origen. Por tanto, $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento $\{01\}\,$:

$I_{01}\equiv O$

El eje $OX_{0}\,$ (sólido "0") se define colineal en todo instante con la varilla (sólido "2"), lo cual implica que el movimiento $\{20\}\,$ es una traslación permanente en dirección paralela a dicho eje $OX_{0}\,$. Y como el centro instantáneo de rotación de una traslación plana se halla en el infinito en la dirección perpendicular a la dirección de la traslación, se concluye que:

$I_{20}\rightarrow \infty \parallel OY_{0}\perp OX_{0}$

En lo que se refiere al movimiento $\{21\}\,$, conocemos a priori las direcciones de las velocidades de dos puntos de la varilla: ${\vec {v}}_{21}^{A}\,$ es tangente al aro fijo (porque el extremo $A\,$ de la varilla está obligado a recorrer dicho aro), y ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ es tangente a la varilla (porque la misma está obligada a deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto $O\,$). Trazando sendas perpendiculares a dichas velocidades en sus respectivos puntos, hallaremos el punto $I_{21}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{\,A}\perp {\overrightarrow {I_{21}A}}\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,O}\perp {\overrightarrow {I_{21}O}}\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,I_{21}\,\equiv \,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{21}^{\,A}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,\,A\end{array}}\right\}\,\,\bigcap \,\,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{21}^{\,O}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,\,O\end{array}}\right\}$

Nótese que la recta perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ que pasa por el punto $O\,$ también podría haberse trazado apelando al cumplimiento del teorema de los tres centros, según el cual el punto $I_{21}\,$ tiene que estar alineado con los puntos $I_{20}\,$ e $I_{01}.\,$

Cálculo de las tres velocidades del punto A

Al ser $\theta \,$ el ángulo formado por la varilla (sólido "2") y el eje $OX_{1}\,$ (sólido "1"), la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$ es igual a ${\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}\,$ (con signo positivo porque a ${\dot {\theta }}>0\,$ correspondería una rotación antihoraria). Pero $\theta \,$ es también el ángulo formado por el eje $OX_{0}\,$ (sólido "0") y el eje $OX_{1}\,$ (sólido "1"), de tal modo que la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}\,$ tiene el mismo valor que la ${\vec {\omega }}_{21}\,$, lo cual es coherente (conforme a la ley de composición de velocidades angulares) con el hecho de que la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$ es nula (porque el movimiento $\{20\}\,$ es una traslación). Así que, teniendo en cuenta que ${\dot {\theta }}=\Omega \,\mathrm {(cte)} \,$, se concluye:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}={\vec {0}}$

La velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,A}\,$ se puede obtener a partir de su definición:

${\vec {v}}_{20}^{A}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {r}}_{20}^{\,A}}{dt}}\right|_{0}=\left.{\frac {d\left[\,2R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,\right]}{dt}}\right|_{0}=-2R\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=-2\,\Omega R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}$

donde la expresión del vector ${\vec {r}}_{20}^{\,A}={\overrightarrow {OA}}=2R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,$ se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $I_{21}OA\,$ (cuyo ángulo interno en el vértice $A\,$ sabemos que vale $\theta \,$ por ser isósceles el triángulo $OCA\,$).

Por otra parte, conocidos el valor de ${\vec {\omega }}_{01}\,$ y la posición del C.I.R.$\{01\}\,$ ($I_{01}\equiv O\,$), la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,A}\,$ se obtiene mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento $\{01\}\,$:

${\vec {v}}_{01}^{A}=\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,O}} _{=\,{\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times 2R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=2\,\Omega R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Finalmente, la ley de composición de velocidades permite deducir el valor de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {v}}_{01}^{\,A}=2\,\Omega R\left[-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,\right]$

Cálculo de las tres aceleraciones del punto A

La aceleración ${\vec {a}}_{20}^{\,A}\,$ se puede obtener a partir de su definición:

${\vec {a}}_{20}^{\,A}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {v}}_{20}^{\,A}}{dt}}\right|_{0}=\left.{\frac {d\left[-2\,\Omega R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,\right]}{dt}}\right|_{0}=-2\,\Omega R\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=-2\,\Omega ^{2}R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}$

Deducimos la aceleración ${\vec {a}}_{01}^{\,A}$ relacionándola con la ${\vec {a}}_{01}^{\,O}$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento $\{01\}$:

${\vec {a}}_{01}^{\,A}=\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,O}} _{=\,{\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{=\,{\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {OA}}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}\,{\overrightarrow {OA}}=-\Omega ^{2}\,[\,2R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,]=-2\,\Omega ^{2}R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}$

donde se ha tenido en cuenta que ${\vec {a}}_{01}^{\,O}\,$ es nula por ser $O\,$ un punto fijo en el movimiento $\{01\}\,$, y ${\vec {\alpha }}_{01}\,$ es nula por ser ${\vec {\omega }}_{01}\,$ constante en el tiempo.

Por último, calculamos el término de Coriolis:

$2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,A}=2\,\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times [-2\,\Omega R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,]=-\,4\,\Omega ^{2}R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}$

y determinamos la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$ aplicando la ley de composición de aceleraciones:

${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {a}}_{20}^{\,A}+{\vec {a}}_{01}^{\,A}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,A}=-\,4\,\Omega ^{2}R\left[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,\right]$

Cálculo de la velocidad y la aceleración del punto O en el movimiento {21}

Obtenemos la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ relacionándola con la ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$ mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento $\{21\}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{21}^{\,A}\,+\,\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AO}}=2\,\Omega R\left[-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,\right]+\,\Omega \,{\vec {k}}_{0}\,\times [-2R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,]=-2\,\Omega R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}$

donde se ha utilizado que ${\overrightarrow {AO}}=-{\overrightarrow {OA}}=-2R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}.\,$

Obtenemos la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$ relacionándola con la ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento $\{21\}\,$:

$\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{21}^{\,O}={\vec {a}}_{21}^{\,A}\,+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{21}} _{=\,{\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {AO}}\,-\,|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}\,{\overrightarrow {AO}}=-4\,\Omega ^{2}R\left[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,\right]\,+\,2\,\Omega ^{2}R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2\,\Omega ^{2}R\left[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}+2\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,\right]$

donde se ha tenido en cuenta que ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ es nula por ser ${\vec {\omega }}_{21}\,$ constante en el tiempo.

Determinación analítica del C.I.R.{21}

La posición del centro instantáneo de rotación $I_{21}\,$ respecto al punto $O\,$ se determina mediante la fórmula:

${\overrightarrow {OI_{21}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{\,O}}{|\,{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}={\frac {\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times [-2\,\Omega R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,]}{\Omega ^{2}}}=-2R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}$