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No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Sea una varilla rígida (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo OX_1Y_1\, (sólido "1"), de tal modo que está obligada a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto O\,, y además se halla articulada en su extremo A\, a un deslizador que recorre un aro fijo (sólido "1") de radio R\, y centro en el punto C\, (de posición \overrightarrow{OC}=R\,\vec{\imath}_1\,).

Se define también la escuadra auxiliar OX_0Y_0\, (sólido "0") de la figura, cuyo eje OX_0\, es colineal con la varilla en todo instante, y en cuya base asociada \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0\}\, deberán expresarse todas las magnitudes vectoriales solicitadas en este ejercicio.

Denominando \theta\, al ángulo que forma la varilla con el eje OX_1\, (ver figura), y sabiendo que \dot{\theta}=\Omega\,\mathrm{(cte)}\,, se pide:

  1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación I_{20}\,, I_{01}\, e I_{21}.\,
  2. Cálculo de las velocidades \vec{v}^{\,A}_{20}(\theta)\,, \vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\, y \vec{v}^{\,A}_{21}(\theta).\,
  3. Cálculo de las aceleraciones \vec{a}^{\,A}_{20}(\theta)\,, \vec{a}^{\,A}_{01}(\theta)\, y \vec{a}^{\,A}_{21}(\theta).\,
  4. Cálculo de la velocidad \vec{v}^{\,O}_{21}(\theta)\, y la aceleración \vec{a}^{\,O}_{21}(\theta).\,
  5. Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación I_{21}\,, es decir, \overrightarrow{
OI_{21}}(\theta).\,

2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

La escuadra auxiliar OX_0Y_0\, (sólido "0") y la escuadra fija OX_1Y_1\, (sólido "1") comparten el punto O\, como origen. Por tanto, O\, es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento \{01\}\,:


I_{01}\equiv O

El eje OX_0\, (sólido "0") se define colineal en todo instante con la varilla (sólido "2"), lo cual implica que el movimiento \{20\}\, es una traslación permanente en dirección paralela a dicho eje OX_0\,. Y como el centro instantáneo de rotación de una traslación plana se halla en el infinito en la dirección perpendicular a la dirección de la traslación, se concluye que:


I_{20}\rightarrow\infty\parallel OY_0\perp OX_0

En lo que se refiere al movimiento \{21\}\,, conocemos a priori las direcciones de las velocidades de dos puntos de la varilla: \vec{v}^{A}_{21}\, es tangente al aro fijo (porque el extremo A\, de la varilla está obligado a recorrer dicho aro), y \vec{v}^{\, O}_{21}\, es tangente a la varilla (porque la misma está obligada a deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto O\,). Trazando sendas perpendiculares a dichas velocidades en sus respectivos puntos, hallaremos el punto I_{21}\, en la intersección de ambas rectas:


\left.\begin{array}{l}
\vec{v}_{21}^{\, A}\perp\overrightarrow{I_{21}A} \\ \\
\vec{v}_{21}^{\, O}\perp\overrightarrow{I_{21}O} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
I_{21}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{recta}\perp\vec{v}_{21}^{\, A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \,\, A
\end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{recta}\perp\vec{v}_{21}^{\, O} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \,\, O
\end{array}\right\}

Nótese que la recta perpendicular a \vec{v}^{\, O}_{21}\, que pasa por el punto O\, también podría haberse trazado apelando al cumplimiento del teorema de los tres centros, según el cual el punto I_{21}\, tiene que estar alineado con los puntos I_{20}\, e I_{01}.\,

3 Cálculo de las tres velocidades del punto A

Al ser \theta\, el ángulo formado por la varilla (sólido "2") y el eje OX_1\, (sólido "1"), la velocidad angular \vec{\omega}_{21}\, es igual a \dot{\theta}\,\vec{k}_0\, (con signo positivo porque a \dot{\theta}>0\, correspondería una rotación antihoraria). Pero \theta\, es también el ángulo formado por el eje OX_0\, (sólido "0") y el eje OX_1\, (sólido "1"), de tal modo que la velocidad angular \vec{\omega}_{01}\, tiene el mismo valor que la \vec{\omega}_{21}\,, lo cual es coherente (conforme a la ley de composición de velocidades angulares) con el hecho de que la velocidad angular \vec{\omega}_{20}\, es nula (porque el movimiento \{20\}\, es una traslación). Así que, teniendo en cuenta que \dot{\theta}=\Omega\,\mathrm{(cte)}\,, se concluye:


\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\omega}_{20}=\vec{0}

La velocidad \vec{v}^{\, A}_{20}\, se puede obtener a partir de su definición:


\vec{v}^{A}_{20}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{r}^{\, A}_{20}}{d t}\right|_0=\left.\frac{d\left[\,2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,\right]}{d t}\right|_0=-2R\,\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0=-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0

donde la expresión del vector \vec{r}^{\, A}_{20}=\overrightarrow{OA}=2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\, se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo I_{21}OA\, (cuyo ángulo interno en el vértice A\, sabemos que vale \theta\, por ser isósceles el triángulo OCA\,).

Por otra parte, conocidos el valor de \vec{\omega}_{01}\, y la posición del C.I.R.\{01\}\, (I_{01}\equiv O\,), la velocidad \vec{v}^{\, A}_{01}\, se obtiene mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento \{01\}\,:


\vec{v}^{A}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times
\overrightarrow{OA}=\Omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0=
2\,\Omega R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0

Finalmente, la ley de composición de velocidades permite deducir el valor de la velocidad \vec{v}^{\, A}_{21}\,:


\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=2\,\Omega R\left[-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]

4 Cálculo de las tres aceleraciones del punto A

La aceleración \vec{a}^{\, A}_{20}\, se puede obtener a partir de su definición:


\vec{a}^{\, A}_{20}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}^{\, A}_{20}}{d t}\right|_0=\left.\frac{d\left[-2\,\Omega
R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,\right]}{d t}\right|_0=-2\,\Omega R\,\dot{\theta}\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0=-2\,\Omega^2
R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0

Deducimos la aceleración \vec{a}^{\, A}_{01} relacionándola con la \vec{a}^{\, O}_{01} mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}:


\vec{a}^{\, A}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{OA}-|\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OA}=-\Omega^2\,[\,2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]=-2\,\Omega^2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0

donde se ha tenido en cuenta que \vec{a}^{\, O}_{01}\, es nula por ser O\, un punto fijo en el movimiento \{01\}\,, y \vec{\alpha}_{01}\, es nula por ser \vec{\omega}_{01}\, constante en el tiempo.

Por último, calculamos el término de Coriolis:


2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}=2\,\Omega\,\vec{k}_0\times[-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]=-\,4\,\Omega^2
R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0

y determinamos la aceleración \vec{a}^{\, A}_{21}\, aplicando la ley de composición de aceleraciones:


\vec{a}^{\, A}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{20}+\vec{a}^{\, A}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}=-\,4\,\Omega^2 R\left[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]

5 Cálculo de la velocidad y la aceleración del punto O en el movimiento {21}

Obtenemos la velocidad \vec{v}^{\, O}_{21}\, relacionándola con la \vec{v}^{\, A}_{21}\, mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento \{21\}\,:


\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{21}\,+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO}=2\,\Omega R\left[-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]+\,\Omega\,\vec{k}_0\,\times[-2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]=
-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0

donde se ha utilizado que \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}=-2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0.\,

Obtenemos la aceleración \vec{a}^{\, O}_{21}\, relacionándola con la \vec{a}^{\, A}_{21}\, mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento \{21\}\,:


\vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{21}\,+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AO}\,-\,|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AO}=-4\,\Omega^2 R\left[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]\,+\,2\,\Omega^2R
\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0=-2\,\Omega^2R\left[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+2\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]

donde se ha tenido en cuenta que \vec{\alpha}_{21}\, es nula por ser \vec{\omega}_{21}\, constante en el tiempo.

6 Determinación analítica del C.I.R.{21}

La posición del centro instantáneo de rotación I_{21}\, respecto al punto O\, se determina mediante la fórmula:


\overrightarrow{OI_{21}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{2}}=\frac{\Omega\,\vec{k}_0\times[-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]}{\Omega^2}=-2R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_{0}

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