No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)

Enunciado

Sea una varilla rígida (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), de tal modo que está obligada a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto $O\,$, y además se halla articulada en su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} a un deslizador que recorre un aro fijo (sólido "1") de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} y centro en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} (de posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=R\,\vec{\imath}_1\,} ).

Se define también la escuadra auxiliar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0\,} (sólido "0") de la figura, cuyo eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0\,} es colineal con la varilla en todo instante, y en cuya base asociada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0\}\,} deberán expresarse todas las magnitudes vectoriales solicitadas en este ejercicio.

Denominando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} al ángulo que forma la varilla con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1\,} (ver figura), y sabiendo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=\Omega\,\mathrm{(cte)}\,} , se pide:

1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} , $I_{01}\,$ e $I_{21}.\,$
2. Cálculo de las velocidades ${\vec {v}}_{20}^{\,A}(\theta )\,$, ${\vec {v}}_{01}^{\,A}(\theta )\,$ y ${\vec {v}}_{21}^{\,A}(\theta ).\,$
3. Cálculo de las aceleraciones ${\vec {a}}_{20}^{\,A}(\theta )\,$, ${\vec {a}}_{01}^{\,A}(\theta )\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,A}(\theta ).\,$
4. Cálculo de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}(\theta )\,$ y la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}(\theta ).\,$
5. Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación $I_{21}\,$, es decir, ${\overrightarrow {OI_{21}}}(\theta ).\,$

Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

La escuadra auxiliar $OX_{0}Y_{0}\,$ (sólido "0") y la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") comparten el punto $O\,$ como origen. Por tanto, $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento $\{01\}\,$:

$I_{01}\equiv O$

El eje $OX_{0}\,$ (sólido "0") se define colineal en todo instante con la varilla (sólido "2"), lo cual implica que el movimiento $\{20\}\,$ es una traslación permanente en dirección paralela a dicho eje $OX_{0}\,$. Y como el centro instantáneo de rotación de una traslación plana se halla en el infinito en la dirección perpendicular a la dirección de la traslación, se concluye que:

$I_{20}\rightarrow \infty \parallel OY_{0}\perp OX_{0}$

En lo que se refiere al movimiento $\{21\}\,$, conocemos a priori las direcciones de las velocidades de dos puntos de la varilla: ${\vec {v}}_{21}^{A}\,$ es tangente al aro fijo (porque el extremo $A\,$ de la varilla está obligado a recorrer dicho aro), y ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ es tangente a la varilla (porque la misma está obligada a deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto $O\,$). Trazando sendas perpendiculares a dichas velocidades en sus respectivos puntos, hallaremos el punto $I_{21}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{\,A}\perp {\overrightarrow {I_{21}A}}\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,O}\perp {\overrightarrow {I_{21}O}}\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,I_{21}\,\equiv \,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{21}^{\,A}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,\,A\end{array}}\right\}\,\,\bigcap \,\,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{21}^{\,O}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,\,O\end{array}}\right\}$

Nótese que la recta perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ que pasa por el punto $O\,$ también podría haberse trazado apelando al cumplimiento del teorema de los tres centros, según el cual el punto $I_{21}\,$ tiene que estar alineado con los puntos $I_{20}\,$ e $I_{01}.\,$

Cálculo de las tres velocidades del punto A

Al ser $\theta \,$ el ángulo formado por la varilla (sólido "2") y el eje $OX_{1}\,$ (sólido "1"), la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$ es igual a ${\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}\,$ (con signo positivo porque a ${\dot {\theta }}>0\,$ correspondería una rotación antihoraria). Pero $\theta \,$ es también el ángulo formado por el eje $OX_{0}\,$ (sólido "0") y el eje $OX_{1}\,$ (sólido "1"), de tal modo que la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}\,$ tiene el mismo valor que la ${\vec {\omega }}_{21}\,$, lo cual es coherente (conforme a la ley de composición de velocidades angulares) con el hecho de que la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$ es nula (porque el movimiento $\{20\}\,$ es una traslación). Así que, teniendo en cuenta que ${\dot {\theta }}=\Omega \,\mathrm {(cte)} \,$, se concluye:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}={\vec {0}}$

La velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{20}\,} se puede obtener a partir de su definición:

${\vec {v}}_{20}^{A}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {r}}_{20}^{\,A}}{dt}}\right|_{0}=\left.{\frac {d\left[\,2R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,\right]}{dt}}\right|_{0}=-2R\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=-2\,\Omega R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}$

donde la expresión del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{\, A}_{20}=\overrightarrow{OA}=2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,} se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $I_{21}OA\,$ (cuyo ángulo interno en el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} sabemos que vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} por ser isósceles el triángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OCA\,} ).

Por otra parte, conocidos el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\,} y la posición del C.I.R.Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}\,} (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\equiv O\,} ), la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{01}\,} se obtiene mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{A}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times \overrightarrow{OA}=\Omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0= 2\,\Omega R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0 }

Finalmente, la ley de composición de velocidades permite deducir el valor de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=2\,\Omega R\left[-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right] }

Cálculo de las tres aceleraciones del punto A

La aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{20}\,} se puede obtener a partir de su definición:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{20}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}^{\, A}_{20}}{d t}\right|_0=\left.\frac{d\left[-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,\right]}{d t}\right|_0=-2\,\Omega R\,\dot{\theta}\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0=-2\,\Omega^2 R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0 }

Deducimos la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{01}} relacionándola con la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{01}} mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{OA}-|\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OA}=-\Omega^2\,[\,2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]=-2\,\Omega^2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0 }

donde se ha tenido en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{01}\,} es nula por ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} un punto fijo en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}\,} , y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}\,} es nula por ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\,} constante en el tiempo.

Por último, calculamos el término de Coriolis:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}=2\,\Omega\,\vec{k}_0\times[-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]=-\,4\,\Omega^2 R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0 }

y determinamos la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{21}\,} aplicando la ley de composición de aceleraciones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{20}+\vec{a}^{\, A}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}=-\,4\,\Omega^2 R\left[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right] }

Cálculo de la velocidad y la aceleración del punto O en el movimiento {21}

Obtenemos la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}\,} relacionándola con la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{21}\,} mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{21}\,+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO}=2\,\Omega R\left[-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]+\,\Omega\,\vec{k}_0\,\times[-2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]= -2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0 }

donde se ha utilizado que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}=-2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0.\,}

Obtenemos la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{21}\,} relacionándola con la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{21}\,} mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{21}\,+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AO}\,-\,|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AO}=-4\,\Omega^2 R\left[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]\,+\,2\,\Omega^2R \,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0=}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2\,\Omega^2R\left[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+2\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right] }

donde se ha tenido en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} es nula por ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} constante en el tiempo.

Determinación analítica del C.I.R.{21}

La posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} se determina mediante la fórmula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI_{21}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{2}}=\frac{\Omega\,\vec{k}_0\times[-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]}{\Omega^2}=-2R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_{0} }