No Boletín - Barra oblicua apoyada en disco (Ex.Dic/11)

Enunciado

Se tiene un sistema de tres sólidos: una superficie horizontal fija (sólido "1"), una barra (sólido "0") articulada en un punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} de la superficie horizontal, y un disco (sólido "2") de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} . La barra se encuentra apoyada en el disco. El disco rueda sin deslizar sobre el suelo, moviéndose hacia la izquierda, empujando a la barra en su movimiento, de forma que el ángulo $\theta (t)\,$ va aumentando (ver figura). Localice gráficamente las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{21}\,$, $I_{20}\,$ e $I_{01.}\,$

Suponga que el disco tiene radio $R=20\,\mathrm {cm}$ y que en un instante dado su punto de contacto con el suelo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} se encuentra a una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D=20\,\mathrm{cm}} de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,.} En ese momento el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} crece con derivada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=0.5\,\mathrm{rad/s}\,.} Para ese instante:

1. Calcule las velocidades angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01.}\,}
2. Indique los vectores de posición, respecto al sistema de ejes "1", de los centros instantáneos de rotación.
3. Halle la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra en el punto de contacto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,.}

Localización gráfica de los centros instantáneos de rotación

Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1\,} (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto disco-eje:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\equiv A }

La barra (sólido "0") tiene un extremo articulado al origen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1\,} (sólido "1"). Por tanto, dicho punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\equiv O }

Dado que la barra (sólido "0") se halla apoyada en todo instante en el disco (sólido "2"), es obvio que el disco va a deslizar sobre la barra. La velocidad de deslizamiento disco-barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{P}_{20}\,} es necesariamente tangente al contacto, y tiene por tanto la dirección de la propia barra. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} y trazando la recta que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} en la intersección de ambas rectas (ver Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} en la figura adjunta).

Particularización al instante en el que D=R

El resto del problema se refiere al instante concreto en el que el valor de la distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\,} entre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} y el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} coincide exactamente con el valor del radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} del disco, en particular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D=R=20\,\mathrm{cm}\,} . Es obvio (ver figura) que estamos hablando del instante en el que la barra se halla completamente vertical (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=(\pi/2)\,\mathrm{rad}\,} ). Nos dan también como dato el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\,} correspondiente a dicho instante (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=0.5\,\mathrm{rad/s}\,} ).

Se nos piden los vectores de posición de los tres centros instantáneos de rotación para este instante particular. A eso podemos contestar ya, particularizando para el instante que ahora nos ocupa lo discutido en el apartado anterior:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{OI_{01}}=\vec{0} \\ \\ \overrightarrow{OI_{21}}=D\,\vec{\imath}_1=20\,\vec{\imath}_1\,\mathrm{cm} \\ \\ \overrightarrow{OI_{20}}\,\,\longrightarrow\,\,\infty\,\vec{\imath}_1\end{array}\right. }

Para responder a las demás preguntas (las tres velocidades angulares y la velocidad de deslizamiento disco-barra), vamos ahora a plantear cuáles son las reducciones cinemáticas en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} de los movimientos {01}, {20} y {21}, y las incógnitas que nos veamos obligados a introducir se resolverán después exigiendo el cumplimiento de las leyes de composición de velocidades angulares y de velocidades.

La reducción cinemática de {01} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} se puede determinar sin introducir ninguna incógnita:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1=0.5\,\vec{k}_1\,\mathrm{rad/s}\,}   ;    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, P}_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1\times R\,\vec{\jmath}_1=-R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1=-10\,\vec{\imath}_1\,\mathrm{cm/s} }

donde se ha tenido en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\,} describe la rotación {01} al ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} el ángulo formado por la barra (sólido "0") y el suelo (sólido "1"), y que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} es el C.I.R.{01}.

La reducción cinemática de {20} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} introduce dos incógnitas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_1\,}   ;    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, P}_{20}=v^{\, P}_{20}\,\vec{\jmath}_1 }

Por último, la reducción cinemática de {21} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} introduce una incógnita más:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\,}   ;    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, P}_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AP}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\times (-R\,\vec{\imath}_1+R\,\vec{\jmath}_1)=-\omega_{21}R\,(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1) }

donde se ha tenido en cuenta que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} es el C.I.R.{21}.

Y aplicando las leyes de composición, obtenemos tres ecuaciones para las tres incógnitas (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21},\, \omega_{20},\, \,v^{\, P}_{20}} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_{21}=\omega_{20}+\dot{\theta} \\ \\ \vec{v}^{\, P}_{21}=\vec{v}^{\, P}_{20}+\vec{v}^{\, P}_{01} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \left\{\begin{array}{l} -\omega_{21} R =-R\dot{\theta} \\ \\ -\omega_{21} R = v^{\, P}_{20} \end{array}\right.\end{array} }

Resolviendo el sistema, se obtienen las soluciones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}=\dot{\theta}\,}   ;    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}=0\,}   ;    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^{\, P}_{20}=-R\dot{\theta} }

las cuales nos permiten, finalmente, responder al resto de las preguntas que nos hace el enunciado.

Las velocidades angulares son:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1=0.5\,\vec{k}_1\,\mathrm{rad/s}\,}   ;    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\vec{0}\,}   ;    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1=0.5\,\vec{k}_1\,\mathrm{rad/s} }

y la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, P}_{20}=-R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1=-10\,\vec{\jmath}_1\,\mathrm{cm/s} }

Obsérvese que la nulidad de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} y la no nulidad de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, P}_{20}\,} nos indican que {20} es en este instante particular una traslación, circunstancia que nos hace comprender que el C.I.R.{20} se escape hacia el infinito.