No Boletín - Barra oblicua apoyada en disco (Ex.Dic/11)

Enunciado

Se tiene un sistema de tres sólidos: una superficie horizontal fija (sólido "1"), una barra (sólido "0") articulada en un punto $O\,$ de la superficie horizontal, y un disco (sólido "2") de radio $R\,$. La barra se encuentra apoyada en el disco. El disco rueda sin deslizar sobre el suelo, moviéndose hacia la izquierda, empujando a la barra en su movimiento, de forma que el ángulo $\theta (t)\,$ va aumentando (ver figura). Localice gráficamente las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{21}\,$, $I_{20}\,$ e $I_{01.}\,$

Suponga que el disco tiene radio $R=20\,\mathrm {cm}$ y que en un instante dado su punto de contacto con el suelo $A\,$ se encuentra a una distancia $D=20\,\mathrm {cm}$ de $O\,.$ En ese momento el ángulo $\theta \,$ crece con derivada ${\dot {\theta }}=0.5\,\mathrm {rad/s} \,.$ Para ese instante:

1. Calcule las velocidades angulares ${\vec {\omega }}_{21}\,$, ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y ${\vec {\omega }}_{01.}\,$
2. Indique los vectores de posición, respecto al sistema de ejes "1", de los centros instantáneos de rotación.
3. Halle la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra en el punto de contacto $P\,.$

Localización gráfica de los centros instantáneos de rotación

Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje $OX_{1}\,$ (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto disco-eje:

$I_{21}\equiv A$

La barra (sólido "0") tiene un extremo articulado al origen $O\,$ del eje $OX_{1}\,$ (sólido "1"). Por tanto, dicho punto $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:

$I_{01}\equiv O$

Dado que la barra (sólido "0") se halla apoyada en todo instante en el disco (sólido "2"), es obvio que el disco va a deslizar sobre la barra. La velocidad de deslizamiento disco-barra ${\vec {v}}_{20}^{P}\,$ es necesariamente tangente al contacto, y tiene por tanto la dirección de la propia barra. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto $P\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{01}\,$ y $I_{21}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{20}\,$ en la intersección de ambas rectas (ver $I_{20}$ en la figura adjunta).

Particularización al instante en el que D=R

El resto del problema se refiere al instante concreto en el que el valor de la distancia $D\,$ entre el punto $O\,$ y el punto $A\,$ coincide exactamente con el valor del radio $R\,$ del disco, en particular $D=R=20\,\mathrm {cm} \,$. Es obvio (ver figura) que estamos hablando del instante en el que la barra se halla completamente vertical ($\theta =(\pi /2)\,\mathrm {rad} \,$). Nos dan también como dato el valor de ${\dot {\theta }}\,$ correspondiente a dicho instante (${\dot {\theta }}=0.5\,\mathrm {rad/s} \,$).

Se nos piden los vectores de posición de los tres centros instantáneos de rotación para este instante particular. A eso podemos contestar ya, particularizando para el instante que ahora nos ocupa lo discutido en el apartado anterior:

$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow {OI_{01}}}={\vec {0}}\\\\{\overrightarrow {OI_{21}}}=D\,{\vec {\imath }}_{1}=20\,{\vec {\imath }}_{1}\,\mathrm {cm} \\\\{\overrightarrow {OI_{20}}}\,\,\longrightarrow \,\,\infty \,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}\right.$

Para responder a las demás preguntas (las tres velocidades angulares y la velocidad de deslizamiento disco-barra), vamos ahora a plantear cuáles son las reducciones cinemáticas en el punto $P\,$ de los movimientos {01}, {20} y {21}, y las incógnitas que nos veamos obligados a introducir se resolverán después exigiendo el cumplimiento de las leyes de composición de velocidades angulares y de velocidades.

La reducción cinemática de {01} en $P\,$ se puede determinar sin introducir ninguna incógnita:

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}=0.5\,{\vec {k}}_{1}\,\mathrm {rad/s} \,$  ;    ${\vec {v}}_{01}^{\,P}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OP}}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\times R\,{\vec {\jmath }}_{1}=-R{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{1}=-10\,{\vec {\imath }}_{1}\,\mathrm {cm/s}$

donde se ha tenido en cuenta que ${\dot {\theta }}\,$ describe la rotación {01} al ser $\theta \,$ el ángulo formado por la barra (sólido "0") y el suelo (sólido "1"), y que el punto $O\,$ es el C.I.R.{01}.

La reducción cinemática de {20} en $P\,$ introduce dos incógnitas:

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{1}\,$  ;    ${\vec {v}}_{20}^{\,P}=v_{20}^{\,P}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Por último, la reducción cinemática de {21} en $P\,$ introduce una incógnita más:

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}\,$  ;    ${\vec {v}}_{21}^{\,P}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AP}}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}\times (-R\,{\vec {\imath }}_{1}+R\,{\vec {\jmath }}_{1})=-\omega _{21}R\,({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})$

donde se ha tenido en cuenta que el punto $A\,$ es el C.I.R.{21}.

Y aplicando las leyes de composición, obtenemos tres ecuaciones para las tres incógnitas ($\omega _{21},\,\omega _{20},\,\,v_{20}^{\,P}$):

${\begin{array}{lll}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}&\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega _{21}=\omega _{20}+{\dot {\theta }}\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,P}={\vec {v}}_{20}^{\,P}+{\vec {v}}_{01}^{\,P}&\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,&\left\{{\begin{array}{l}-\omega _{21}R=-R{\dot {\theta }}\\\\-\omega _{21}R=v_{20}^{\,P}\end{array}}\right.\end{array}}$

Resolviendo el sistema, se obtienen las soluciones:

$\omega _{21}={\dot {\theta }}\,$  ;    $\omega _{20}=0\,$  ;    $v_{20}^{\,P}=-R{\dot {\theta }}$

las cuales nos permiten, finalmente, responder al resto de las preguntas que nos hace el enunciado.

Las velocidades angulares son:

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}=0.5\,{\vec {k}}_{1}\,\mathrm {rad/s} \,$  ;    ${\vec {\omega }}_{20}={\vec {0}}\,$  ;    ${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}=0.5\,{\vec {k}}_{1}\,\mathrm {rad/s}$

y la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra es:

${\vec {v}}_{20}^{\,P}=-R{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{1}=-10\,{\vec {\jmath }}_{1}\,\mathrm {cm/s}$

Obsérvese que la nulidad de ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y la no nulidad de ${\vec {v}}_{20}^{\,P}\,$ nos indican que {20} es en este instante particular una traslación, circunstancia que nos hace comprender que el C.I.R.{20} se escape hacia el infinito.