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No Boletín - Barra oblicua apoyada en disco (Ex.Dic/11)

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un sistema de tres sólidos: una superficie horizontal fija (sólido "1"), una barra (sólido "0") articulada en un punto O\, de la superficie horizontal, y un disco (sólido "2") de radio R\,. La barra se encuentra apoyada en el disco. El disco rueda sin deslizar sobre el suelo, moviéndose hacia la izquierda, empujando a la barra en su movimiento, de forma que el ángulo \theta(t)\, va aumentando (ver figura). Localice gráficamente las posiciones de los centros instantáneos de rotación I_{21}\,, I_{20}\, e I_{01.}\,

Suponga que el disco tiene radio R=20\,\mathrm{cm} y que en un instante dado su punto de contacto con el suelo A\, se encuentra a una distancia D=20\,\mathrm{cm} de O\,. En ese momento el ángulo \theta\, crece con derivada \dot{\theta}=0.5\,\mathrm{rad/s}\,. Para ese instante:

  1. Calcule las velocidades angulares \vec{\omega}_{21}\,, \vec{\omega}_{20}\, y \vec{\omega}_{01.}\,
  2. Indique los vectores de posición, respecto al sistema de ejes "1", de los centros instantáneos de rotación.
  3. Halle la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra en el punto de contacto P\,.

2 Localización gráfica de los centros instantáneos de rotación

Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje OX_1\, (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto disco-eje:


I_{21}\equiv A

La barra (sólido "0") tiene un extremo articulado al origen O\, del eje OX_1\, (sólido "1"). Por tanto, dicho punto O\, es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:


I_{01}\equiv O

Dado que la barra (sólido "0") se halla apoyada en todo instante en el disco (sólido "2"), es obvio que el disco va a deslizar sobre la barra. La velocidad de deslizamiento disco-barra \vec{v}^{P}_{20}\, es necesariamente tangente al contacto, y tiene por tanto la dirección de la propia barra. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto P\, y trazando la recta que pasa por los puntos I_{01}\, y I_{21}\, (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto I_{20}\, en la intersección de ambas rectas (ver I20 en la figura adjunta).

3 Particularización al instante en el que D=R

El resto del problema se refiere al instante concreto en el que el valor de la distancia D\, entre el punto O\, y el punto A\, coincide exactamente con el valor del radio R\, del disco (D=R=20\,\mathrm{cm}\,). Es obvio (ver figura) que estamos hablando del instante en el que la barra se halla completamente vertical (\theta=(\pi/2)\,\mathrm{rad}\,). Nos dan también como dato el valor de \dot{\theta}\, correspondiente a dicho instante (\dot{\theta}=0.5\,\mathrm{rad/s}\,).

Se nos piden los vectores de posición de los tres centros instantáneos de rotación para este instante particular. A eso podemos contestar ya, particularizando para el instante que ahora nos ocupa lo discutido en el apartado anterior:

\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{OI_{01}}=\vec{0} \\ \\ \overrightarrow{OI_{21}}=D\,\vec{\imath}_1=20\,\vec{\imath}_1\,\mathrm{cm} \\ \\ \overrightarrow{OI_{20}}\,\,\longrightarrow\,\,\infty\,\vec{\imath}_1\end{array}\right.

Para responder a las demás preguntas (las tres velocidades angulares y la velocidad de deslizamiento disco-barra), vamos ahora a plantear cuáles son las reducciones cinemáticas en el punto P\, de los movimientos {01}, {20} y {21}, y las incógnitas que nos veamos obligados a introducir se resolverán después exigiendo el cumplimiento de las leyes de composición de velocidades angulares y de velocidades.

La reducción cinemática de {01} en P\, se puede determinar sin introducir ninguna incógnita:


\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1=0.5\,\vec{k}_1\,\mathrm{rad/s}\,    ;        \vec{v}^{\, P}_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1\times R\,\vec{\jmath}_1=-R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1=-10\,\vec{\imath}_1\,\mathrm{cm/s}

donde se ha tenido en cuenta que \dot{\theta}\, describe la rotación {01} al ser \theta\, el ángulo formado por la barra (sólido "0") y el suelo (sólido "1"), y que el punto O\, es el C.I.R.{01}.

La reducción cinemática de {20} en P\, introduce dos incógnitas:


\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_1\,    ;        \vec{v}^{\, P}_{20}=v^{\, P}_{20}\,\vec{\jmath}_1

Por último, la reducción cinemática de {21} en P\, introduce una incógnita más:


\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\,    ;        \vec{v}^{\, P}_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AP}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\times (-R\,\vec{\imath}_1+R\,\vec{\jmath}_1)=-\omega_{21}R\,(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)

donde se ha tenido en cuenta que el punto A\, es el C.I.R.{21}.

Y aplicando las leyes de composición, obtenemos tres ecuaciones para las tres incógnitas (\omega_{21},\, \omega_{20},\, \,v^{\, P}_{20}):

\begin{array}{lll}
\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_{21}=\omega_{20}+\dot{\theta} \\ \\
\vec{v}^{\, P}_{21}=\vec{v}^{\, P}_{20}+\vec{v}^{\, P}_{01} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \left\{\begin{array}{l} -\omega_{21} R =-R\dot{\theta} \\ \\ -\omega_{21} R = v^{\, P}_{20} \end{array}\right.\end{array}

Resolviendo el sistema, se obtienen las soluciones:


\omega_{21}=\dot{\theta}\,    ;        \omega_{20}=0\,    ;        v^{\, P}_{20}=-R\dot{\theta}

las cuales nos permiten, finalmente, responder al resto de las preguntas que nos hace el enunciado.

Las velocidades angulares son:


\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1=0.5\,\vec{k}_1\,\mathrm{rad/s}\,    ;        \vec{\omega}_{20}=\vec{0}\,    ;        \vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1=0.5\,\vec{k}_1\,\mathrm{rad/s}

y la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra es:


\vec{v}^{\, P}_{20}=-R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1=-10\,\vec{\jmath}_1\,\mathrm{cm/s}

Obsérvese que la nulidad de \vec{\omega}_{20}\, y la no nulidad de \vec{v}^{\, P}_{20}\, nos indican que {20} es en este instante particular una traslación, circunstancia que nos hace comprender que el C.I.R.{20} se escape hacia el infinito.

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