No Boletín - Dos discos II (Ex.Ene/15)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo $OXY\,$ (sólido "1"), está constituido por un disco de centro $A\,$ y radio $R\,$ (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$, y por otro disco de centro $B\,$ y radio $r\,$ (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el disco anterior a la vez que se mantiene en contacto tangente con el eje $OY\,$.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? $\mathrm {(a)} \,{\vec {v}}_{21}^{\,B}\times {\vec {\jmath }}={\vec {0}}\,\,\mathrm {(b)} \,{\vec {v}}_{21}^{\,E}\cdot {\vec {\jmath }}=0\,\,\mathrm {(c)} \,{\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}\,\,\mathrm {(d)} \,{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{01}^{\,C}$
2. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{21}\,\,$? $\mathrm {(a)} \,I_{21}\equiv E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,I_{21}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,I_{21}\equiv G\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,I_{21}\equiv H$

Solución

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$ de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

$I_{01}\equiv D$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $D\,$, se obtiene:

${\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}+\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,D}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}$

resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el disco "0". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} coincide con el punto de contacto entre ambos discos:

$I_{20}\equiv C$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $C\,$, se obtiene:

${\vec {v}}_{21}^{\,C}=\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,C}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {v}}_{01}^{\,C}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{01}^{\,C}$

resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {21}, se sabe que el disco "2" mantiene siempre contacto puntual con el eje $OY\,$ de la escuadra "1". Esto obliga al centro $B\,$ del disco "2" a realizar un movimiento rectilíneo paralelo al eje $OY\,$ y, por tanto, la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$ es paralela a dicho eje:

${\vec {v}}_{21}^{\,B}\parallel OY\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,B}\parallel {\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,B}\times {\vec {\jmath }}={\vec {0}}$

resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Trazando la perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$ en el punto $B\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{20}\,$ e $I_{01}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{21}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.{\begin{array}{r}{\vec {v}}_{21}^{\,B}\perp {\overrightarrow {I_{21}B}}\\\\\{I_{21},\,I_{20},\,I_{01}\}\,\,\mathrm {alineados} \end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,I_{21}\,\equiv \,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{21}^{\,B}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,B\end{array}}\right\}\,\,\bigcap \,\,\,{\overline {I_{20}I_{01}}}\,\equiv \,G$

Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (c) $\,\,\,I_{21}\equiv G\,$.

Y en cuanto a la primera pregunta, habiéndose visto ya que son verdaderas las igualdades (a), (c) y (d), sólo falta comprobar que la igualdad falsa (la que hay que marcar) es la igualdad (b).

Al ser $E\,$ el punto de contacto entre el disco "2" y el eje $OY\,$ de la escuadra "1", la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,E}\,$ es la velocidad de deslizamiento entre ambos sólidos (sabemos que ${\vec {v}}_{21}^{\,E}\neq {\vec {0}}\,$ porque $I_{21}\not \equiv E\,$). Pero la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Por tanto, podemos asegurar que:

${\vec {v}}_{21}^{\,E}\parallel OY\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,E}\parallel {\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,E}\not \perp {\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,E}\cdot {\vec {\jmath }}\neq 0$

resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta.