No Boletín - Varilla ortogonal en manivela (Ex.Ene/13)

Enunciado

El plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos rígidos en movimiento vinculados entre sí: la manivela ranurada $OA\,$ (sólido "0"), que realiza una rotación de eje permanente alrededor de $OZ_{1}\,$; y la varilla $BD\,$ (sólido "2"), de longitud $2R\,$, la cual se mantiene siempre perpendicular a la manivela $OA\,$ mientras su centro $C\,$ recorre la ranura de la misma y su extremo $B\,$ se apoya y desliza sobre el eje $OX_{1}\,$ permanentemente.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo $\theta \,$ que forma la manivela $OA\,$ con respecto al eje $OX_{1}\,$ (ver figura). Se pide:

1. Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I_{01}\,$, $I_{20}\,$ e $I_{21}\,$.
2. Calcular todas las reducciones cinemáticas en el punto $B\,$, es decir, $\{{\vec {\omega }}_{01}(\theta ,{\dot {\theta }});\,{\vec {v}}_{01}^{\,B}(\theta ,{\dot {\theta }})\}\,$, $\{{\vec {\omega }}_{20}(\theta ,{\dot {\theta }});\,{\vec {v}}_{20}^{\,B}(\theta ,{\dot {\theta }})\}\,$ y $\{{\vec {\omega }}_{21}(\theta ,{\dot {\theta }});\,{\vec {v}}_{21}^{\,B}(\theta ,{\dot {\theta }})\}\,$.
3. Determinar analíticamente la posición de $I_{21}\,$ (en función de $\theta \,$).

Determinación gráfica: C.I.R.{01}, C.I.R.{20} y C.I.R.{21}

La manivela ranurada (sólido "0") se halla articulada en su extremo $O\,$ al origen de la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). Por tanto, dicho punto $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:

$I_{01}\equiv O$

Se nos indica que la varilla $BD\,$ (sólido "2") se mantiene siempre perpendicular a la manivela $OA\,$ (sólido "0") mientras su centro $C\,$ recorre la ranura de la misma. El hecho de que varilla y manivela mantengan entre sí un ángulo constante ($\pi /2\,\,\mathrm {rad} \,$) implica que el movimiento {20} es una traslación permanente. Por tanto, el centro instantáneo de rotación de este movimiento se halla en el infinito en la dirección perpendicular a la dirección de la traslación. La dirección de la velocidad de traslación {20} coincide con la dirección de la ranura, ya que en ella se encuentra confinado el centro $C\,$ de la varilla $BD\,$ (ver figura). Así pues, se concluye que:

$I_{20}\rightarrow \infty \parallel {\overline {BD}}\perp {\overline {OA}}$

Dado que el extremo $B$ de la varilla (sólido "2") desliza permanentemente sobre el eje $OX_{1}$ (sólido "1"), la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{B}$ tiene necesariamente la dirección del eje $OX_{1}$. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto $B$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{01}$ e $I_{20}$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{21}$ en la intersección de ambas rectas (ver $I_{21}$ en la figura adjunta).

Cálculo de las reducciones cinemáticas (en el punto B)

Comenzaremos determinando todas las velocidades angulares.

Al ser $\theta$ el ángulo formado por la manivela $OA$ (sólido "0") y el eje $OX_{1}$ (sólido "1"), la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}$ es igual a ${\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1}$ (con signo positivo porque a ${\dot {\theta }}>0$ correspondería una rotación antihoraria).

Por otra parte, sabemos que la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}$ es nula (ya que {20} es una traslación).

Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$.

En resumen:

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}={\vec {0}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1}$

Deduzcamos ahora las tres velocidades del punto $B\,$.

Conocidos el valor de ${\vec {\omega }}_{01}$ y la posición del C.I.R.{01} ($I_{01}\equiv O$), la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,B}$ se obtiene mediante la correspondiente ecuación del campo de velocidades:

${\vec {v}}_{01}^{\,B}=\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,O}} _{={\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}={\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1}\times {\frac {R}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\imath }}_{1}={\frac {R{\dot {\theta }}}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

donde la expresión del vector ${\overrightarrow {OB}}$ en función de $\theta$ se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $OBC\,$.

Por otra parte, la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$ se puede obtener a partir de su definición:

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=\left.{\frac {d{\vec {r}}_{21}^{\,B}}{dt}}\right|_{1}=\left.{\frac {d\left({\frac {R}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\imath }}_{1}\right)}{dt}}\right|_{1}=-\displaystyle {\frac {R{\dot {\theta }}\,\mathrm {cos} (\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Finalmente, la ley de composición de velocidades permite deducir el valor de la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,B}$:

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+{\vec {v}}_{01}^{\,B}\,\,\Rightarrow \,\,{\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,B}-{\vec {v}}_{01}^{\,B}=-{\frac {R{\dot {\theta }}}{{\mbox{sen}}^{2}(\theta )}}\left[\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\right]$

Determinación analítica del C.I.R.{21}

Para determinar analíticamente el vector de posición de $I_{21}\,$, sumamos al vector ${\overrightarrow {OB}}\,$ el vector ${\overrightarrow {BI_{21}}}\,$ calculado mediante la fórmula deducida en la teoría:

${\overrightarrow {OI_{21}}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BI_{21}}}={\overrightarrow {OB}}+{\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{\,B}}{|\,{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}={\frac {R}{{\mbox{sen}}(\theta )}}\,{\vec {\imath }}_{1}-{\frac {R\,\mathrm {cos} (\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$