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No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El plano fijo OX_1Y_1\, (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos en movimiento: una guía horizontal ranurada (sólido "0"), que se traslada verticalmente hacia abajo con celeridad constante v_0\,; y la manivela OC\, (sólido "2") de longitud L\,, que rota alrededor del eje fijo OZ_1\,. Los movimientos de los sólidos "2" y "0" se hallan vinculados entre sí porque el extremo C\, de la manivela está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la guía.

Utilizando el ángulo \theta\, definido en la figura como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se pide:

  1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación I_{01}\,, I_{21}\, e I_{20}.\,
  2. Reducciones cinemáticas de los movimientos \{01\}\,, \{20\}\, y \{21\}\, en el punto C.\,
  3. Determinación de la velocidad \vec{v}^{\, O}_{20}\,, las aceleraciones \vec{a}^{\, O}_{20}\, y \vec{a}^{\, C}_{21}\,, y la aceleración angular \vec{\alpha}_{21}.\,

Aviso: Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de \,\theta\,, L\,\, y/o \,v_0\,, pero NO en función de \,\dot{\theta}\,\, ni de \,\ddot{\theta}.\,

2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

La manivela OC\, (sólido "2") se halla articulada en su extremo O\, al origen de la escuadra fija OX_1Y_1\, (sólido "1"). Por tanto, dicho punto O\, es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento \{21\}\,:


I_{21}\equiv O

La guía horizontal ranurada (sólido "0") se traslada verticalmente respecto a la escuadra fija OX_1Y_1\, (sólido "1"). En consecuencia, el centro instantáneo de rotación del movimiento \{01\}\, se halla en el infinito en la dirección horizontal (perpendicular a la dirección de traslación):


I_{01}\rightarrow\infty\parallel OX_1\perp \vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}

Dado que el extremo C\, de la manivela (sólido "2") está obligado a deslizar a lo largo de la ranura de la guía horizontal (sólido "0"), la velocidad \vec{v}^{\, C}_{20}\, tiene necesariamente dirección paralela al eje OX_{1}\,. Pues bien, tal como puede verse en la figura adjunta, el centro instantáneo de rotación I_{20}\, se halla en el punto donde se cortan la recta perpendicular a \vec{v}^{\, C}_{20}\, que pasa por C\, y la recta que pasa por I_{21}\, e I_{01}\, (esta última coincide con el eje OX_{1}\, y se debe al teorema de los tres centros).

3 Determinación de las tres reducciones cinemáticas en el punto C

La reducción cinemática del movimiento \{01\}\, se deduce directamente del enunciado. Al ser \{01\}\, una traslación, la velocidad angular \vec{\omega}_{01}\, es nula, y la velocidad \vec{v}^{\, C}_{01}\, es la velocidad de dicha traslación:


\vec{\omega}_{01}=\vec{0}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=-v_0\,\vec{\jmath}_1

De la reducción cinemática del movimiento \{20\}\,, sabemos a priori la dirección de la velocidad angular \vec{\omega}_{20}\, (perpendicular al plano director OX_1Y_1\,, como corresponde a un movimiento plano de rotación) y la dirección de la velocidad \vec{v}^{\, C}_{20}\, (horizontal como la guía, ya que el extremo C\, de la manivela se encuentra confinado en la ranura de la guía):


\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\, C}_{20}=v^{C}_{20}\,\vec{\imath}_1

En cuanto a la reducción cinemática del movimiento \{21\}\,, también conocemos a priori la dirección de la velocidad angular \vec{\omega}_{21}\, (perpendicular al plano director OX_1Y_1\,), y podemos relacionar la velocidad \vec{v}^{\, C}_{21}\, con \vec{\omega}_{21}\, utilizando la ecuación del campo de velocidades \{21\}\, y teniendo en cuenta que I_{21}\equiv O\, (por tanto, \vec{v}^{\, O}_{21}\, es nula):


\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\,\times\,
\overrightarrow{OC}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\,\times\, L\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1\,+\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\,]=\omega_{21}L\,[-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_1\,+\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\,]

donde \overrightarrow{OC}=L\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\,]\, se deduce por inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo OI_{20}C.\,

Planteadas las tres reducciones cinemáticas en C\,, se exige el cumplimiento de la ley de composición de velocidades angulares y de la ley de composición de velocidades, obteniéndose un sistema de tres ecuaciones para tres incógnitas:


\left.\begin{array}{lcr}
\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} &
\longrightarrow & \omega_{21}=\omega_{20}\,\,\, \\ \\
\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{v}^{\, C}_{01} &
\longrightarrow & \left|\begin{array}{r}
-\omega_{21}L\,\mathrm{sen}(\theta)=v^{C}_{20} \\ \\
\omega_{21}L\,\mathrm{cos}(\theta)=-v_0 \end{array}\right.
\end{array}\right\}

cuya solución es:


\omega_{21}=\omega_{20}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
v^{C}_{20}=v_0\,\mathrm{tg}(\theta)

Y sustituyendo en las expresiones de las reducciones cinemáticas de los movimientos \{20\}\, y \{21\}\,, se obtiene:


\vec{\omega}_{20}=-\displaystyle\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\mathrm{tg}(\theta)\,\vec{\imath}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\omega}_{21}=-\displaystyle\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\, C}_{21}=v_0\,[\,\mathrm{tg}(\theta)\,\vec{\imath}_1-\,\vec{\jmath}_1]

4 Cálculo de las demás magnitudes cinemáticas solicitadas

La velocidad \vec{v}^{\, O}_{20}\, se puede deducir aplicando la ley de composición de velocidades en el punto O\,:


\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}
\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\, O}_{20}=-\,\vec{v}^{\, O}_{01}=-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=v_0\,\vec{\jmath}_1

La aceleración \vec{a}^{\, O}_{20}\, se puede deducir aplicando la ley de composición de aceleraciones en el punto O\,:


\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}=\vec{a}^{\, O}_{20}+
\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,2\underbrace{\vec{\omega}_{01}}_{=\,\vec{0}}\times\,\vec{v}^{\, O}_{20}
\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,
\vec{a}^{\, O}_{20}=\vec{0}

donde se ha tenido en cuenta que el punto O\, es un punto fijo en el movimiento \{21\}\, (por eso \vec{a}^{\, O}_{21}\, es nula), y que la traslación \{01\}\, es de velocidad constante (por eso \vec{a}^{\,
O}_{01}\, es nula).

La aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\, se puede obtener a partir de su definición:


\vec{\alpha}_{21}=\left.\displaystyle\frac{\mbox{d}\,\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}\,t}\right|_1=
-\frac{v_0\,\mathrm{sen}(\theta)}{L\,\mathrm{cos}^2(\theta)}\,\dot{\theta}\,\vec{k}_1

Pero el enunciado del problema nos dice que \dot{\theta}\, no debe aparecer en los resultados finales. Así que, teniendo en cuenta la definición del ángulo \theta\,, relacionaremos \dot{\theta}\, con la velocidad angular del movimiento \{21\}\, (ya determinada en el apartado anterior):


\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1=\dot{\theta}\,\vec{k}_1
\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\dot{\theta}=
\omega_{21}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}

Y sustituyendo esta expresión de \dot{\theta}\,, completamos la determinación de la aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\,:


\vec{\alpha}_{21}=
-\frac{v_0\,\mathrm{sen}(\theta)}{L\,\mathrm{cos}^2(\theta)}\left[-\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\right]
\vec{k}_1=\displaystyle\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}(\theta)}{L^2\,\mathrm{cos}^3(\theta)}\,\vec{k}_1

Por último, la aceleración \vec{a}^{\, C}_{21}\, se puede obtener a partir de \vec{a}^{\, O}_{21}\,, \vec{\alpha}_{21}\, y \vec{\omega}_{21}\, mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento \{21\}\,:


\vec{a}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}\,+\,\,\vec{\alpha}_{21}\,\times\,\overrightarrow{OC}-|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{OC}=-\displaystyle\frac{v_0^2}{L\,\mathrm{cos}^3(\theta)}\,\vec{\imath}_1

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