No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)

Enunciado

El plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1\,} (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos en movimiento: una guía horizontal ranurada (sólido "0"), que se traslada verticalmente hacia abajo con celeridad constante $v_{0}\,$; y la manivela $OC\,$ (sólido "2") de longitud $L\,$, que rota alrededor del eje fijo $OZ_{1}\,$. Los movimientos de los sólidos "2" y "0" se hallan vinculados entre sí porque el extremo $C\,$ de la manivela está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la guía.

Utilizando el ángulo $\theta \,$ definido en la figura como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se pide:

1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{01}\,$, $I_{21}\,$ e $I_{20}.\,$
2. Reducciones cinemáticas de los movimientos $\{01\}\,$, $\{20\}\,$ y $\{21\}\,$ en el punto $C.\,$
3. Determinación de la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$, las aceleraciones ${\vec {a}}_{20}^{\,O}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$, y la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}.\,$

Aviso: Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de $\,\theta \,$, $L\,\,$ y/o $\,v_{0}\,$, pero NO en función de $\,{\dot {\theta }}\,\,$ ni de $\,{\ddot {\theta }}.\,$

Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

La manivela $OC\,$ (sólido "2") se halla articulada en su extremo $O\,$ al origen de la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). Por tanto, dicho punto $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento $\{21\}\,$:

$I_{21}\equiv O$

La guía horizontal ranurada (sólido "0") se traslada verticalmente respecto a la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). En consecuencia, el centro instantáneo de rotación del movimiento $\{01\}\,$ se halla en el infinito en la dirección horizontal (perpendicular a la dirección de traslación):

$I_{01}\rightarrow \infty \parallel OX_{1}\perp {\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }$

Dado que el extremo $C\,$ de la manivela (sólido "2") está obligado a deslizar a lo largo de la ranura de la guía horizontal (sólido "0"), la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ tiene necesariamente dirección paralela al eje $OX_{1}\,$. Pues bien, tal como puede verse en la figura adjunta, el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$ se halla en el punto donde se cortan la recta perpendicular a ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ que pasa por $C\,$ y la recta que pasa por $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$ (esta última coincide con el eje $OX_{1}\,$ y se debe al teorema de los tres centros).

Determinación de las tres reducciones cinemáticas en el punto C

La reducción cinemática del movimiento $\{01\}\,$ se deduce directamente del enunciado. Al ser $\{01\}\,$ una traslación, la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}\,$ es nula, y la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,C}\,$ es la velocidad de dicha traslación:

${\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{01}^{\,C}={\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }=-v_{0}{\vec {\jmath }}_{1}$

De la reducción cinemática del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} , sabemos a priori la dirección de la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} (perpendicular al plano director Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1\,} , como corresponde a un movimiento plano de rotación) y la dirección de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{20}\,} (horizontal como la guía, ya que el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} de la manivela se encuentra confinado en la ranura de la guía):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{20}=v^{C}_{20}\vec{\imath}_1 }

En cuanto a la reducción cinemática del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} , también conocemos a priori la dirección de la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} (perpendicular al plano director Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1\,} ), y podemos relacionar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{21}\,} con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} utilizando la ecuación del campo de velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} y teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\equiv O\,} (por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}\,} es nula):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{k}_1\,\,;\,\, \vec{v}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}+\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{OC}=\omega_{21}\vec{k}_1\times L\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1]=\omega_{21}L\,[-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_1] }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=L\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\,]\,} se deduce por inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OI_{20}C.\,}

Planteadas las tres reducciones cinemáticas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} , se exige el cumplimiento de la ley de composición de velocidades angulares y de la ley de composición de velocidades, obteniéndose un sistema de tres ecuaciones para tres incógnitas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{lcr} \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} & \longrightarrow & \omega_{21}=\omega_{20}\,\,\, \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{v}^{\, C}_{01} & \longrightarrow & \left|\begin{array}{r} -\omega_{21}L\,\mathrm{sen}(\theta)=v^{C}_{20} \\ \\ \omega_{21}L\,\mathrm{cos}(\theta)=-v_0 \end{array}\right. \end{array}\right\} }

cuya solución es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}=\omega_{20}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v^{C}_{20}=v_0\,\mathrm{tg}(\theta) }

Y sustituyendo en las expresiones de las reducciones cinemáticas de los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=-\displaystyle\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\mathrm{tg}(\theta)\,\vec{\imath}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{21}=-\displaystyle\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{21}=v_0\,[\,\mathrm{tg}(\theta)\,\vec{\imath}_1-\,\vec{\jmath}_1] }

Cálculo de las demás magnitudes cinemáticas solicitadas

La velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}\,} se puede deducir aplicando la ley de composición de velocidades en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \underbrace{\vec{v}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01} \,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, O}_{20}=-\,\vec{v}^{\, O}_{01}=-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=v_0\,\vec{\jmath}_1 }

La aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{20}\,} se puede deducir aplicando la ley de composición de aceleraciones en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \underbrace{\vec{a}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}=\vec{a}^{\, O}_{20}+ \underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+2\underbrace{\vec{\omega}_{01}}_{=\,\vec{0}}\!\times\vec{v}^{\, O}_{20} \,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \vec{a}^{\, O}_{20}=\vec{0} }

donde se ha tenido en cuenta que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} es un punto fijo en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} (por eso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{21}} es nula), y que la traslación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}} es de velocidad constante (por eso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{01}} es nula).

La aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} se puede obtener a partir de su definición:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\left.\displaystyle\frac{\mbox{d}\,\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}\,t}\right|_1= -\frac{v_0\,\mathrm{sen}(\theta)}{L\,\mathrm{cos}^2(\theta)}\,\dot{\theta}\,\vec{k}_1 }

Pero el enunciado del problema nos dice que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\,} no debe aparecer en los resultados finales. Así que, teniendo en cuenta la definición del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} , relacionaremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\,} con la velocidad angular del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} (ya determinada en el apartado anterior):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{k}_1=\dot{\theta}\,\vec{k}_1 \,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\dot{\theta}= \omega_{21}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)} }

Y sustituyendo esta expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\,} , completamos la determinación de la aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}= -\frac{v_0\,\mathrm{sen}(\theta)}{L\,\mathrm{cos}^2(\theta)}\left[-\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\right] \vec{k}_1=\displaystyle\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}(\theta)}{L^2\,\mathrm{cos}^3(\theta)}\,\vec{k}_1 }

Por último, la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{21}\,} se puede obtener a partir de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{21}\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}\,+\,\,\vec{\alpha}_{21}\,\times\,\overrightarrow{OC}-|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{OC}=-\displaystyle\frac{v_0^2}{L\,\mathrm{cos}^3(\theta)}\,\vec{\imath}_1 }