Movimiento de un aro en un pasador

Enunciado

Sea un aro de centro $C$ y radio $R$ (sólido “2”) que se mueve, en un plano fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido $1$), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto $O$, y además se halla articulado en su punto $A$ a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal $OX_{1}$ (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes $AX_{2}Y_{2}$ (sólido $2$) solidario con el aro en su movimiento.

1. Determine gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
2. Sabiendo que el ángulo $\theta$, que forman los ejes $OX_{1}$ y $AX_{2}$, verifica la ley horaria $\theta (t)=\Omega t$ (donde $\Omega$ es una constante conocida), calcule ${\vec {v}}_{21}^{A}(t)$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,C}(t)$.

Posición del CIR

En la mayoría de los problemas de movimiento plano, existe más de una forma de determinar geométricamente la posición del centro instantáneo de rotación.

El procedimiento habitual suele ser buscar dos puntos para los cuales se conoce la dirección de la velocidad, trazar las perpendiculares a estas direcciones en dichos puntos y localizar la intersección de estas rectas.

Alternativamente, con ayuda del teorema de los tres centros, puede sustituirse alguna (o las dos) de las rectas perpendiculares anteriores por una recta que pasa por dos CCIIR conocidos.

Así para este caso, tenemos entre otras, las siguientes posibilidades:

Usando las velocidades de A y O

Si buscamos dos puntos cuya dirección de movimiento sea conocida, un candidato es inmediato: el punto A del aro se encuentra obligado a deslizarse sobre el eje $OX_{1}$. Por tanto la velocidad de este punto puede escribirse

${\vec {v}}_{21}^{A}=v^{A}{\vec {\imath }}_{1}$

y la perpendicular a su velocidad es una recta paralela al eje $OY_{1}$ que pasa por A.

Un segundo candidato no es tan obvio. En esta situación lo mas productivo suele ser analizar los pares cinemáticos: puntos de articulación, de contacto, etc. y ver qué limitaciones imponen al movimiento de los sólidos.

En este caso tenemos que el anillo está obligado a pasar por el punto O. El vínculo bilateral que establece el pasador implica que el punto O del aro en el movimiento {21} no puede moverse perpendicularmente al propio aro, sino que se ve obligado a deslizarse tangencialmente a él. La perpendicular a este movimiento es una recta radial que pasa por O y C.

Esta recta corta a la anterior en el punto D, diametralmente opuesto a O y situado en la vertical de A, que será el centro instantáneo de rotación $I_{21}$.

Usando las velocidades de A y C

En lugar del punto O, cuya dirección de movimiento puede no ser intuitiva, podemos usar el punto C, centro del anillo como segundo punto. Dado que el aro se ve en todo momento obligado a pasar por el punto O, la distancia $|{\overrightarrow {OC}}|$ debe ser igual a R en todo momento. Esto quiere decir que el punto C, considerado parte del sólido “2” se mueve según un arco de circunferencia centrado en O. Su velocidad es tangente a esta circunferencia y la perpendicular será de nuevo la recta radial que pasa por O y C.

Llegamos así de nuevo al punto D como centro instantáneo de rotación $I_{21}$.

A partir del movimiento de un diámetro

Consideremos el diámetro AB del aro como parte del sólido “2”. Tenemos aquí un diámetro AB y un punto O situado sobre la misma circunferencia. Por el teorema del arco capaz, la recta OA es perpendicular a la OB. Esto quiere decir que el punto B, diametralmente opuesto a A, se mueve en todo momento a lo largo del eje $OY_{1}$:

${\vec {v}}_{21}^{B}=v^{B}{\vec {\jmath }}_{1}$

La perpendicular a esta velocidad de B es una recta horizontal que corta a la perpendicular que pasa por A en el punto D, cuarto vértice del rectángulo OADB.

Vemos que aunque el problema habla de un aro, su movimiento es equivalente al de una escalera AB que se mueve deslizándose por el suelo y una pared vertical.

Reduciéndolo a un sistema biela-manivela

Cuando en un movimiento de un sólido apreciamos que la distancia entre dos puntos se mantiene constante en el tiempo, podemos introducir un sólido adicional (o añadido a uno de los ya existentes) en forma de barra que une dichos puntos.

En este caso tenemos que la distancia OC es siempre igual a $R$ y lo mismo ocurre con AC. Por ello, podemos considerar una barra “0” que une a O y a C, articulada en C con otra barra que une a C y a A. Esta segunda barra estará unida solidariamente al aro “2”.

Al hacer esto, hemos reducido el problema al movimiento de un sistema biela-manivela en el que ambos elementos tienen la misma longitud $R$, siendo la manivela la barra OC y la biela la barra CA y el aro solidario con ella.

En el caso de un sistema biela-manivela el CIR $I_{21}$ se encuentra en la intersección de la recta que pasa por A y es perpendicular a la velocidad de A, con la recta que pasa por el CIR $I_{01}$ (que es O en este caso) y por el CIR $I_{20}$ (que es C). Llegamos de nuevo a la recta OC, cuya intersección con la primera nos vuelve a producir el punto D como CIR $I_{21}$.

Determinación analítica

Los procedimientos anteriores constituyen diferentes métodos gráficos. Para obtener analíticamente la posición del CIR podemos emplear la fórmula

${\overrightarrow {AI}}_{21}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{21}^{A}}{\omega _{21}}}$

Dado que este cálculo precisa de la velocidad del punto A, lo postergamos hasta el apartado siguiente, en que hallamos dicha velocidad.

Velocidad y aceleración

Velocidad de A

Puesto que conocemos la posición de A en todo instante, podemos hallar su velocidad simplemente derivando respecto al tiempo.

Tenemos que si $\theta$ es el ángulo que forma $AX_{2}$ con $AX_{1}$, el eje $AY_{2}$ forma con $OX_{1}$ un ángulo $\varphi =\pi /2-\theta$ (ver figura). Por ello, el vector de posición del punto A es:

${\vec {r}}_{21}^{A}={\overrightarrow {OA}}=2R\cos(\varphi ){\vec {\imath }}_{1}=2R\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\imath }}_{1}=2R\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}_{1}$

Derivando respecto al tiempo:

${\vec {v}}_{21}^{A}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{21}^{A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=2R\Omega \cos(\Omega t){\vec {\imath }}_{1}$

Determinación analítica del CIR

Para hallar analíticamente la posición del CIR aplicamos la fórmula:

${\overrightarrow {AI}}_{21}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{21}^{A}}{\omega _{21}}}$

donde la velocidad de A la acabamos de calcular. De aquí:

${\overrightarrow {AI}}_{21}={\frac {{\vec {k}}\times (2R\Omega \cos(\Omega t){\vec {\imath }}_{1})}{\Omega }}=2R\cos(\Omega t){\vec {\jmath }}_{1}$

Vemos que efectivamente resulta un punto en la misma vertical (paralela al eje $OY_{1}$) que A. Para hallar la posición relativa al origen, sumamos los vectores de posición relativos:

${\overrightarrow {OI}}_{21}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AI}}_{21}=2R\left(\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}_{1}+\cos(\Omega t){\vec {\jmath }}_{1}\right)$

A medida que pasa el tiempo, la posición del CIR va cambiando, estando siempre situado sobre un arco de circunferencia de radio 2R alrededor de O.

Aceleración de C

La posición de C en cada instante también es fácil de determinar. El ángulo que forma ${\overrightarrow {OC}}$ con el eje $OX_{1}$ es también $\pi /2-\theta$, con lo que el vector de posición relativo vale:

${\overrightarrow {OC}}=R\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right){\vec {\jmath }}_{1}\right)=R\left(\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}_{1}+\cos(\Omega t){\vec {\jmath }}_{1}\right)$

Vemos que el punto C describe un movimiento circular con velocidad angular constante. Por tanto, su aceleración es:

${\vec {a}}_{21}^{C}=-\Omega ^{2}{\overrightarrow {OC}}=-\Omega ^{2}R\left(\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}_{1}+\cos(\Omega t){\vec {\jmath }}_{1}\right)$

A este resultado se puede llegar también de otras formas alternativas. Por ejemplo, si no se conoce la posición instantánea de C pero sí la de A, puede emplearse la expresión del campo de aceleraciones:

${\vec {a}}_{21}^{C}={\vec {a}}_{21}^{A}+\alpha _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AC}}-\omega _{21}^{2}{\overrightarrow {AC}}$

siendo la aceleración de A

${\vec {a}}_{21}^{A}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-2R\Omega ^{2}\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}_{1}$

las magnitudes angulares

$\omega _{21}={\dot {\theta }}=\Omega \,\,;\qquad \qquad \qquad \alpha _{21}={\ddot {\theta }}=0$

y

${\overrightarrow {AC}}=R{\vec {\jmath }}_{2}$

lo que nos da la aceleración:

${\vec {a}}_{21}^{C}=-2R\Omega ^{2}\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}_{1}-R\Omega ^{2}{\vec {\jmath }}_{2}$

Este resultado es insatisfactorio ya que mezcla los vectores de dos bases diferentes. Lo expresamos en la base “1” empleando la relación entre las bases:

${\vec {\imath }}_{2}=\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\,\,;$        ${\vec {\jmath }}_{2}=-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

lo que nos da:

${\vec {a}}_{21}^{C}=-2R\Omega ^{2}\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}_{1}-R\Omega ^{2}\left(-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\right)$

y, agrupando términos, llegamos al resultado ya conocido:

${\vec {a}}_{21}^{C}=-\Omega ^{2}R\left(\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}_{1}+\cos(\Omega t){\vec {\jmath }}_{1}\right)$