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No Boletín - Disco y varilla guiada (Ex.Ene/15)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El mecanismo de la figura está formado por un disco rígido (sólido "2") de radio R\,, que rueda sin deslizar (punto D\,) sobre el eje horizontal OX_1\, de la escuadra fija OX_1Y_1\, (sólido "1"), y cuyo centro C\, avanza con velocidad constante \vec{v}^{\,C}_{21}=v\,\vec{\imath}_1\,; y por una varilla rígida (sólido "0") de grosor despreciable y longitud indefinida, la cual rueda sin deslizar (punto B\,) sobre el citado disco, mientras que su extremo A\, está obligado a recorrer una guía horizontal fija de ecuación y_{1}=R\,.

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del mecanismo, se define el ángulo \theta\, de la figura. Se pide:

  1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación I_{21}\,, I_{02}\, e I_{01}\,.
  2. Reducción cinemática del movimiento \{21\}\, en el punto B\,, es decir, \{\vec{\omega}_{21}(\theta);\,\vec{v}^{\,B}_{21}(\theta)\}\,.
  3. Reducción cinemática del movimiento \{01\}\, en el punto A\,, es decir, \{\vec{\omega}_{01}(\theta);\,\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\}\,.
  4. Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación I_{01}\,, es decir,\overrightarrow{AI_{01}}(\theta)\,.

Aviso: Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de \theta\,, R\, y/o v\,, pero NO en función de \dot{\theta}\,.

2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

Sabemos que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje horizontal OX_1\, de la escuadra fija OX_1Y_1\, (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento \{21\}\, coincide con el punto de contacto disco-eje (punto D\,):


I_{21}\equiv D

También sabemos que la varilla (sólido "0") rueda sin deslizar sobre el disco (sólido "2"). Esta otra ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento \{02\}\, coincide con el punto de contacto varilla-disco (punto B\,):


I_{02}\equiv B

En cuanto al movimiento \{01\}\,, se nos indica que el extremo A\, de la varilla está obligado a recorrer una guía horizontal fija (paralela al eje OX_1\,), lo cual nos permite saber que la dirección de la velocidad \vec{v}^{\, A}_{01}\, es necesariamente horizontal. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto A\, y trazando la recta que pasa por los puntos I_{02}\, e I_{21}\, (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto I_{01}\, en la intersección de ambas rectas:


\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{01}^{A}\perp\overrightarrow{I_{01}A} \\ \\ \{I_{01},\, I_{02},\, I_{21}\} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, I_{01}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{01}^{A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, A \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{02}}

3 Reducción cinemática (en B) del movimiento {21}

El vector velocidad angular \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1=\omega_{21}\,\vec{k}_0\, (de dirección perpendicular al plano director OX_1Y_1\,) se determina relacionando, mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento \{21\}\,, las velocidades (conocidas) del punto C\, y del punto D\equiv I_{21}\,:


\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, C}_{21}=v\,\vec{\imath}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{0}
\end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{21}\,+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\,
\overrightarrow{DC}\,\,\Rightarrow\,\,
v\,\vec{\imath}_1=\vec{0}\,\,+\,\,\omega_{21}\vec{k}_1\times
R\,\vec{\jmath}_1\,\,\Rightarrow\,\,v=-\,\omega_{21}R
\,\,\Rightarrow\,\,\omega_{21}=-\,\frac{v}{R}\,\,\Rightarrow\,\,
\vec{\omega}_{21}=-\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{k}_1

Y utilizando de nuevo la ecuación del campo de velocidades del movimiento \{21\}\,, obtenemos la velocidad \vec{v}^{\,
B}_{21}\, a partir de la velocidad \vec{v}^{\, C}_{21}\, (también podría calcularse a partir de \vec{v}^{\, D}_{21}\,):


\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{21}+\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{CB}=v\,\vec{\imath}_1+\left(-\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{k}_0\right)\times R\,\vec{\jmath}_0=v\,\vec{\imath}_1+v\,\vec{\imath}_0

Finalmente, sustituyendo \vec{\imath}_0=\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\, en la expresión obtenida para \vec{v}^{\, B}_{21}\,, se llega a:


\vec{v}^{\, B}_{21}=v\left[1+\mathrm{cos}(\theta)\right]\,\vec{\imath}_1+
v\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1

4 Reducción cinemática (en A) del movimiento {01}

Una vez conocida \vec{v}^{\, B}_{21}\,, y teniendo en cuenta que \vec{v}^{B}_{02}=\vec{0}\, (ya que B\equiv I_{02}\,), la ley de composición de velocidades permite determinar la velocidad \vec{v}^{\, B}_{01}\,:


\vec{v}^{\, B}_{01}=\vec{v}^{\, B}_{02}+\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{0}+\vec{v}^{\, B}_{21}=
v\left[1+\mathrm{cos}(\theta)\right]\,\vec{\imath}_1+v\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1

Por otra parte, y tal como se explicó en el primer apartado, sabemos a priori que la dirección de la velocidad \vec{v}^{\, A}_{01}\, es necesariamente horizontal, es decir, \vec{v}^{\, A}_{01}=v^{A}_{01}\,\vec{\imath}_1\,.

Entonces, los vectores \vec{\omega}_{\,01}=\omega_{\,01}\,\vec{k}_{1}=\omega_{\,01}\,\vec{k}_{0}\, (de dirección perpendicular al plano director OX_1Y_1\,) y \vec{v}^{A}_{01}=v^{A}_{01}\,\vec{\imath}_1\, se podrán determinar exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades del movimiento \{01\}\, para los puntos B\, y A\,:


\vec{v}^{\, B}_{01}=\vec{v}^{\, A}_{01}+\,\vec{\omega}_{01}\times \overrightarrow{AB}

Pero antes debemos calcular el último término de esta ecuación:


\vec{\omega}_{01}\times \overrightarrow{AB}=\omega_{01}\vec{k}_0\times
R\,\mathrm{cotg}(\theta)\,\vec{\imath}_0=\omega_{01}R\,\mathrm{cotg}(\theta)\,\vec{\jmath}_0=
\omega_{01}R\left[-\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1+
\displaystyle\frac{\mathrm{cos}^2(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\jmath}_1\right]

donde la expresión del vector \overrightarrow{AB}\, en función de \theta\, se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo ABC\,, y donde además se ha tenido en cuenta que \vec{\jmath}_0=-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\,.

Volviendo a la ecuación del campo de velocidades del movimiento \{01\}\,, e igualando componente a componente los dos miembros de dicha ecuación vectorial, se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas \omega_{01}\, y v^{A}_{01}\,:


\vec{v}^{\, B}_{01}=\vec{v}^{\, A}_{01}+\,\vec{\omega}_{01}\times \overrightarrow{AB}\,\,\longrightarrow\,\,
\left\{\begin{array}{l} v\left[1+\mathrm{cos}(\theta)\right]=v^{A}_{01}-\omega_{01}R\,\mathrm{cos}(\theta)
\\ \\ v\,\mathrm{sen}(\theta)=\omega_{01}R\,\displaystyle\frac{\mathrm{cos}^2(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}
\end{array}\right.

Resolviendo este sistema de ecuaciones, y sustituyendo el valor de las incógnitas en las correspondientes expresiones vectoriales, se obtiene:


\vec{\omega}_{01}=\displaystyle\frac{v}{R}\,
\mathrm{tg}^2(\theta)\,\vec{k}_{1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\, A}_{01}=v\left[1+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{cos}(\theta)}\right]\vec{\imath}_{1}

5 Determinación analítica del C.I.R.{01}

La posición del centro instantáneo de rotación I_{01}\, respecto al punto A\, se determina mediante la fórmula:


\overrightarrow{AI_{01}}=\frac{\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{01}}{|\,\vec{\omega}_{01}|^{2}}=
R\,\displaystyle\frac{\mathrm{cos}(\theta)}{1-\mathrm{cos}(\theta)}\,\vec{\jmath}_{1}

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