No Boletín - Disco y varilla guiada (Ex.Ene/15)

Enunciado

El mecanismo de la figura está formado por un disco rígido (sólido "2") de radio $R\,$, que rueda sin deslizar (punto $D\,$) sobre el eje horizontal $OX_{1}\,$ de la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), y cuyo centro $C\,$ avanza con velocidad constante ${\vec {v}}_{21}^{\,C}=v\,{\vec {\imath }}_{1}\,$; y por una varilla rígida (sólido "0") de grosor despreciable y longitud indefinida, la cual rueda sin deslizar (punto $B\,$) sobre el citado disco, mientras que su extremo $A\,$ está obligado a recorrer una guía horizontal fija de ecuación $y_{1}=R\,$.

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del mecanismo, se define el ángulo $\theta \,$ de la figura. Se pide:

1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{21}\,$, $I_{02}\,$ e $I_{01}\,$.
2. Reducción cinemática del movimiento $\{21\}\,$ en el punto $B\,$, es decir, $\{{\vec {\omega }}_{21}(\theta );\,{\vec {v}}_{21}^{\,B}(\theta )\}\,$.
3. Reducción cinemática del movimiento $\{01\}\,$ en el punto $A\,$, es decir, $\{{\vec {\omega }}_{01}(\theta );\,{\vec {v}}_{01}^{\,A}(\theta )\}\,$.
4. Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación $I_{01}\,$, es decir,${\overrightarrow {AI_{01}}}(\theta )\,$.

Aviso: Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de $\theta \,$, $R\,$ y/o $v\,$, pero NO en función de ${\dot {\theta }}\,$.

Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

Sabemos que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $OX_{1}\,$ de la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}\,$ coincide con el punto de contacto disco-eje (punto $D\,$):

$I_{21}\equiv D$

También sabemos que la varilla (sólido "0") rueda sin deslizar sobre el disco (sólido "2"). Esta otra ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento $\{02\}\,$ coincide con el punto de contacto varilla-disco (punto $B\,$):

$I_{02}\equiv B$

En cuanto al movimiento $\{01\}\,$, se nos indica que el extremo $A\,$ de la varilla está obligado a recorrer una guía horizontal fija (paralela al eje $OX_{1}\,$), lo cual nos permite saber que la dirección de la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,A}\,$ es necesariamente horizontal. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto $A\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{02}\,$ e $I_{21}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{01}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.{\begin{array}{r}{\vec {v}}_{01}^{A}\perp {\overrightarrow {I_{01}A}}\\\\\{I_{01},\,I_{02},\,I_{21}\}\,\,\mathrm {alineados} \end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,I_{01}\,\equiv \,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{01}^{A}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,A\end{array}}\right\}\,\,\bigcap \,\,\,{\overline {I_{21}I_{02}}}$

Reducción cinemática (en B) del movimiento {21}

El vector velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{0}\,$ (de dirección perpendicular al plano director $OX_{1}Y_{1}\,$) se determina relacionando, mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento $\{21\}\,$, las velocidades (conocidas) del punto $C\,$ y del punto $D\equiv I_{21}\,$:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{\,C}=v\,{\vec {\imath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {0}}\end{array}}\right\}\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{\,D}\,+\,\,{\vec {\omega }}_{21}\times \,{\overrightarrow {DC}}\,\,\Rightarrow \,\,v\,{\vec {\imath }}_{1}={\vec {0}}\,\,+\,\,\omega _{21}{\vec {k}}_{1}\times R\,{\vec {\jmath }}_{1}\,\,\Rightarrow \,\,v=-\,\omega _{21}R\,\,\Rightarrow \,\,{\vec {\omega }}_{21}=-\,\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {k}}_{1}$

Y utilizando de nuevo la ecuación del campo de velocidades del movimiento $\{21\}\,$, obtenemos la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$ a partir de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$ (también podría calcularse a partir de ${\vec {v}}_{21}^{\,D}\,$):

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CB}}=v\,{\vec {\imath }}_{1}+\left(-\,\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {k}}_{0}\right)\times R\,{\vec {\jmath }}_{0}=v\,{\vec {\imath }}_{1}+v\,{\vec {\imath }}_{0}$

Finalmente, sustituyendo ${\vec {\imath }}_{0}=\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\,$ en la expresión obtenida para ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$, se llega a:

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=v\left[1+\mathrm {cos} (\theta )\right]\,{\vec {\imath }}_{1}+v\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Reducción cinemática (en A) del movimiento {01}

Una vez conocida ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$, y teniendo en cuenta que ${\vec {v}}_{02}^{B}={\vec {0}}\,$ (ya que $B\equiv I_{02}\,$), la ley de composición de velocidades permite determinar la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,B}\,$:

${\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{02}^{\,B}+{\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {0}}+{\vec {v}}_{21}^{\,B}=v\left[1+\mathrm {cos} (\theta )\right]\,{\vec {\imath }}_{1}+v\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Por otra parte, y tal como se explicó en el primer apartado, sabemos a priori que la dirección de la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,A}\,$ es necesariamente horizontal, es decir, ${\vec {v}}_{01}^{\,A}=v_{01}^{A}\,{\vec {\imath }}_{1}\,$.

Entonces, los vectores ${\vec {\omega }}_{\,01}=\omega _{\,01}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{\,01}\,{\vec {k}}_{0}\,$ (de dirección perpendicular al plano director $OX_{1}Y_{1}\,$) y ${\vec {v}}_{01}^{A}=v_{01}^{A}\,{\vec {\imath }}_{1}\,$ se podrán determinar exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades del movimiento $\{01\}\,$ para los puntos $B\,$ y $A\,$:

${\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{01}^{\,A}+\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AB}}$

Pero antes debemos calcular el último término de esta ecuación:

${\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AB}}=\omega _{01}{\vec {k}}_{0}\times R\,\mathrm {cotg} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=\omega _{01}R\,\mathrm {cotg} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}=\omega _{01}R\left[-\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+\displaystyle {\frac {\mathrm {cos} ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\right]$

donde la expresión del vector ${\overrightarrow {AB}}\,$ en función de $\theta \,$ se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $ABC\,$, y donde además se ha tenido en cuenta que ${\vec {\jmath }}_{0}=-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\,$.

Volviendo a la ecuación del campo de velocidades del movimiento $\{01\}\,$, e igualando componente a componente los dos miembros de dicha ecuación vectorial, se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas $\omega _{01}\,$ y $v_{01}^{A}\,$:

${\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{01}^{\,A}+\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AB}}\,\,\longrightarrow \,\,\left\{{\begin{array}{l}v\left[1+\mathrm {cos} (\theta )\right]=v_{01}^{A}-\omega _{01}R\,\mathrm {cos} (\theta )\\\\v\,\mathrm {sen} (\theta )=\omega _{01}R\,\displaystyle {\frac {\mathrm {cos} ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} (\theta )}}\end{array}}\right.$

Resolviendo este sistema de ecuaciones, y sustituyendo el valor de las incógnitas en las correspondientes expresiones vectoriales, se obtiene:

${\vec {\omega }}_{01}=\displaystyle {\frac {v}{R}}\,\mathrm {tg} ^{2}(\theta )\,{\vec {k}}_{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{01}^{\,A}=v\left[1+\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {cos} (\theta )}}\right]{\vec {\imath }}_{1}$

Determinación analítica del C.I.R.{01}

La posición del centro instantáneo de rotación $I_{01}\,$ respecto al punto $A\,$ se determina mediante la fórmula:

${\overrightarrow {AI_{01}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{01}^{\,A}}{|\,{\vec {\omega }}_{01}|^{2}}}=R\,\displaystyle {\frac {\mathrm {cos} (\theta )}{1-\mathrm {cos} (\theta )}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$