No Boletín - Disco y varilla sobre un escalón (Ex.Jun/13)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano $OX_{1}Y_{1}\,$, está constituido por un disco de radio $R\,$ (sólido "0") y una varilla de longitud indefinida (sólido "2"), ambos vinculados y moviéndose sobre un escalón (sólido "1"). El disco rueda sin deslizar sobre la parte superior del escalón (eje $OX_{1}\,$), mientras que su centro $C\,$ avanza con una velocidad linealmente creciente con el tiempo ${\vec {v}}_{01}^{\,C}(t)=at\,{\vec {\imath }}_{1}\,$ (siendo $a\,$ una constante positiva conocida). La varilla tiene uno de sus extremos articulado al centro $C\,$ del disco, y se mantiene apoyada en todo instante sobre el borde del escalón (punto $O\,$).

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo $\theta \,$ que forma la varilla con respecto al eje $OX_{1}\,$. Para un instante genérico $t\,$, determine:

1. Posición gráfica de los centros instantáneos de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}.
2. Aceleración ${\vec {a}}_{01}^{D}\,$ del punto del disco en contacto con la parte superior del escalón.
3. Velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ del punto de la varilla en contacto con el borde del escalón, velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$ de la varilla respecto al disco, y aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ de la varilla.

Posición gráfica de los centros instantáneos de rotación

Se nos indica que el disco (sólido "0") rueda sin deslizar sobre el eje $OX_{1}\,$ (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto disco-eje:

$I_{01}\equiv D$

Por otra parte, el extremo $C\,$ de la varilla (sólido "2") se halla articulado al centro del disco (sólido "0"). Por tanto, dicho punto $C\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:

$I_{20}\equiv C$

Nos dice también el enunciado que la varilla (sólido "2") se mantiene apoyada en todo instante sobre el borde (punto $O\,$) del escalón (sólido "1"), lo cual equivale a decir que la varilla está obligada a deslizar en todo instante sobre el borde del escalón. Esto nos permite saber que la dirección de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto $O\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{20}\,$ e $I_{01}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{21}\,$ en la intersección de ambas rectas:

                     (ver $I_{21}$ en la figura adjunta)

Aceleración del punto D del disco

En cuanto al movimiento {01}, conocemos dos velocidades: la del centro $C\,$ del disco (dato del enunciado) y la de su punto $D\,$ de contacto con el escalón (nula porque $I_{01}\equiv D\,$). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {01}, podemos deducir el valor de la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{1}\,$ (recuerde que en un movimiento plano la velocidad angular es perpendicular al plano director, de modo que en este ejercicio todas las velocidades angulares van a tener dirección paralela a ${\vec {k}}_{1}\,$):

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{01}^{\,D}={\vec {0}}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,C}=at\,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}\right\}\,\,{\vec {v}}_{01}^{\,C}={\vec {v}}_{01}^{\,D}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {DC}}\,\,\Rightarrow \,\,at\,{\vec {\imath }}_{1}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{1}\times R\,{\vec {\jmath }}_{1}\,\,\Rightarrow \,\,at=-\,\omega _{01}R\,\,\Rightarrow \,\,{\vec {\omega }}_{01}=-{\frac {at}{R}}\,{\vec {k}}_{1}$

Derivando esta velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}\,$ respecto al tiempo, obtenemos la correspondiente aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{01}\,$:

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{01}}{dt}}\right|_{1}=\left.{\frac {d(-at/R)\,{\vec {k}}_{1}}{dt}}\right|_{1}=-{\frac {a}{R}}\,{\vec {k}}_{1}$

Por otra parte, también es inmediato calcular la aceleración del centro del disco ${\vec {a}}_{01}^{\,C}\,$ derivando respecto al tiempo su velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,C}\,$:

${\vec {a}}_{01}^{\,C}=\left.{\frac {d{\vec {v}}_{01}^{\,C}}{dt}}\right|_{1}=\left.{\frac {d(at\,{\vec {\imath }}_{1})}{dt}}\right|_{1}=a\,{\vec {\imath }}_{1}$

Finalmente, deducimos la aceleración ${\vec {a}}_{01}^{\,D}\,$ relacionándola con la aceleración ${\vec {a}}_{01}^{\,C}\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}:

${\vec {a}}_{01}^{\,D}={\vec {a}}_{01}^{\,C}+\,{\vec {\alpha }}_{01}\times \,{\overrightarrow {CD}}\,-\,|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}\,{\overrightarrow {CD}}=a\,{\vec {\imath }}_{1}+\left(-{\frac {a}{R}}\,{\vec {k}}_{1}\right)\times (-R\,{\vec {\jmath }}_{1})-{\frac {a^{2}t^{2}}{R^{2}}}(-R\,{\vec {\jmath }}_{1})={\frac {a^{2}t^{2}}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Velocidad del punto O de la varilla y velocidad angular de la varilla respecto al disco

Para determinar dos de las magnitudes que se nos piden en el tercer apartado del problema (${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ y ${\vec {\omega }}_{20}\,$), trataremos de calcular todas las velocidades del punto $O\,$ (es decir, sus velocidades {21}, {20} y {01}). Al hacerlo, habremos de admitir algunas incógnitas, pero éstas serán posteriormente determinadas resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido de exigir la ley de composición de velocidades.

Tal como se ha comentado en un apartado anterior, el hecho de que la varilla esté obligada a deslizar en todo instante sobre el borde del escalón nos permite saber que la dirección de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}\parallel {\overrightarrow {OC}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,O}=v_{21}^{\,O}\,{\vec {u}}_{OC}=v_{21}^{O}[\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}]$

donde hemos denominado ${\vec {u}}_{OC}\,$ al vector unitario en la dirección y sentido del vector ${\overrightarrow {OC}}\,$.

Por otra parte, el saber que $I_{20}\equiv C\,$ nos permite relacionar la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$ con la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{1}\,$ utilizando la ecuación del campo de velocidades {20}:

${\vec {v}}_{20}^{\,O}=\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,C}} _{={\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{20}\times \,{\overrightarrow {CO}}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{1}\times \left[-R\,\mathrm {cotg} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}-R\,{\vec {\jmath }}_{1}\right]=\omega _{20}R\,{\vec {\imath }}_{1}-\,\omega _{20}R\,\mathrm {cotg} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

donde la expresión del vector ${\overrightarrow {CO}}\,$ en función de $\theta \,$ se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $ODC\,$.

Por último, el saber que $I_{01}\equiv D\,$ nos permite determinar -utilizando la ecuación del campo de velocidades {01}- la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,O}\,$ a partir de la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}\,$ ya calculada:

${\vec {v}}_{01}^{\,O}=\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,D}} _{={\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {DO}}=\left(-{\frac {at}{R}}\,{\vec {k}}_{1}\right)\times \left[-R\,\mathrm {cotg} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}\right]=at\,\mathrm {cotg} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

A continuación, exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades para el punto $O\,$, se obtiene un sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas $v_{21}^{\,O}\,$ y $\omega _{20}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,O}+{\vec {v}}_{01}^{\,O}\,\,\longrightarrow \,\,\left\{{\begin{array}{l}v_{21}^{\,O}\,\mathrm {cos} (\theta )=\omega _{20}R\\\\v_{21}^{\,O}\,\mathrm {sen} (\theta )=-\omega _{20}R\,\mathrm {cotg} (\theta )+at\,\mathrm {cotg} (\theta )\end{array}}\right.$

y la resolución de este sistema nos permite finalmente determinar la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ y la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$:

${\begin{array}{lcl}v_{21}^{\,O}=at\,\mathrm {cos} (\theta )&\,\,\Rightarrow \,\,&{\vec {v}}_{21}^{\,O}=at\,\mathrm {cos} (\theta )[\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}]\\\\\omega _{20}=\displaystyle {\frac {at}{R}}\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )&\,\,\Rightarrow \,\,&{\vec {\omega }}_{20}=\displaystyle {\frac {at}{R}}\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\,{\vec {k}}_{1}\end{array}}$

Aceleración angular de la varilla

La ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta, es decir, ${\vec {\omega }}_{21}\,$:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+\,{\vec {\omega }}_{01}=\displaystyle {\frac {at}{R}}\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\,{\vec {k}}_{1}+\left(-{\frac {at}{R}}\,{\vec {k}}_{1}\right)=-\displaystyle {\frac {at}{R}}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )\,{\vec {k}}_{1}$

Derivando esta velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$ respecto al tiempo, obtenemos la correspondiente aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$:

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{21}}{dt}}\right|_{1}=\left.{\frac {d(-at\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )/R)\,{\vec {k}}_{1}}{dt}}\right|_{1}=-{\frac {a}{R}}\,[\mathrm {sen} ^{2}(\theta )+2t\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )\,\mathrm {cos} (\theta )]\,{\vec {k}}_{1}$

Pero teniendo en cuenta que el ángulo $\theta \,$ es el que forma la varilla (sólido "2") con respecto al eje $OX_{1}\,$ (sólido "1"), es obvio que podemos relacionar ${\dot {\theta }}\,$ con la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$ ya determinada:

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\dot {\theta }}=-\displaystyle {\frac {at}{R}}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )$

y sustituyendo ${\dot {\theta }}\,$ en la anterior expresión de ${\vec {\alpha }}_{21}\,$:

${\vec {\alpha }}_{21}=-{\frac {a}{R}}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )\left[1-2\,{\frac {at^{2}}{R}}\,\mathrm {sen} (\theta )\,\mathrm {cos} (\theta )\right]\,{\vec {k}}_{1}$