No Boletín - Disco y varilla sobre un escalón (Ex.Jun/13)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_{1}Y_{1}\,} , está constituido por un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} (sólido "0") y una varilla de longitud indefinida (sólido "2"), ambos vinculados y moviéndose sobre un escalón (sólido "1"). El disco rueda sin deslizar sobre la parte superior del escalón (eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_{1}\,} ), mientras que su centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} avanza con una velocidad linealmente creciente con el tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{01}(t)=at\,\vec{\imath}_1\,} (siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a\,} una constante positiva conocida). La varilla tiene uno de sus extremos articulado al centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} del disco, y se mantiene apoyada en todo instante sobre el borde del escalón (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} ).

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} que forma la varilla con respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_{1}\,} . Para un instante genérico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t\,} , determine:

1. Posición gráfica de los centros instantáneos de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}.
2. Aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{D}_{01}\,} del punto del disco en contacto con la parte superior del escalón.
3. Velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ del punto de la varilla en contacto con el borde del escalón, velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} de la varilla respecto al disco, y aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} de la varilla.

Posición gráfica de los centros instantáneos de rotación

Se nos indica que el disco (sólido "0") rueda sin deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_{1}\,} (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto disco-eje:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\equiv D }

Por otra parte, el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} de la varilla (sólido "2") se halla articulado al centro del disco (sólido "0"). Por tanto, dicho punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\equiv C }

Nos dice también el enunciado que la varilla (sólido "2") se mantiene apoyada en todo instante sobre el borde (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} ) del escalón (sólido "1"), lo cual equivale a decir que la varilla está obligada a deslizar en todo instante sobre el borde del escalón. Esto nos permite saber que la dirección de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}\,} coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} y trazando la recta que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\,} (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} en la intersección de ambas rectas:

                     (ver Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} en la figura adjunta)

Aceleración del punto D del disco

En cuanto al movimiento {01}, conocemos dos velocidades: la del centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} del disco (dato del enunciado) y la de su punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\,} de contacto con el escalón (nula porque Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\equiv D\,} ). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {01}, podemos deducir el valor de la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}_1\,} (recuerde que en un movimiento plano la velocidad angular es perpendicular al plano director, de modo que en este ejercicio todas las velocidades angulares van a tener dirección paralela a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_1\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l} \vec{v}^{\, D}_{01}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{01}=at\,\vec{\imath}_1 \end{array}\right\}\,\,\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{\, D}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{DC}\,\,\Rightarrow\,\, at\,\vec{\imath}_1=\omega_{01}\,\vec{k}_1\times R\,\vec{\jmath}_1 \,\,\Rightarrow\,\, at=-\,\omega_{01}R \,\,\Rightarrow\,\, \vec{\omega}_{01}=-\frac{at}{R}\,\vec{k}_1 }

Derivando esta velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\,} respecto al tiempo, obtenemos la correspondiente aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}=\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1=\left.\frac{d(-at/R)\,\vec{k}_1}{dt}\right|_1=-\frac{a}{R}\,\vec{k}_1 }

Por otra parte, también es inmediato calcular la aceleración del centro del disco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{01}\,} derivando respecto al tiempo su velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{01}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{01}=\left.\frac{d\vec{v}^{\, C}_{01}}{dt}\right|_1=\left.\frac{d(at\,\vec{\imath}_1)}{dt}\right|_1=a\,\vec{\imath}_1 }

Finalmente, deducimos la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, D}_{01}\,} relacionándola con la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{01}\,} mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, D}_{01}=\vec{a}^{\, C}_{01}+\,\vec{\alpha}_{01}\times\,\overrightarrow{CD}\,-\,|\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{CD}=a\,\vec{\imath}_1+\left(-\frac{a}{R}\,\vec{k}_1\right)\times(-R\,\vec{\jmath}_1)-\frac{a^2t^2}{R^2}(-R\,\vec{\jmath}_1)=\frac{a^2t^2}{R}\,\vec{\jmath}_1 }

Velocidad del punto O de la varilla y velocidad angular de la varilla respecto al disco

Para determinar dos de las magnitudes que se nos piden en el tercer apartado del problema (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} ), trataremos de calcular todas las velocidades del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} (es decir, sus velocidades {21}, {20} y {01}). Al hacerlo, habremos de admitir algunas incógnitas, pero éstas serán posteriormente determinadas resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido de exigir la ley de composición de velocidades.

Tal como se ha comentado en un apartado anterior, el hecho de que la varilla esté obligada a deslizar en todo instante sobre el borde del escalón nos permite saber que la dirección de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}\,} coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}\parallel\overrightarrow{OC}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, O}_{21}=v^{\, O}_{21}\,\vec{u}_{OC}=v^{O}_{21}[\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1] }

donde hemos denominado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_{OC}\,} al vector unitario en la dirección y sentido del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}\,} .

Por otra parte, el saber que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\equiv C\,} nos permite relacionar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}\,} con la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_1\,} utilizando la ecuación del campo de velocidades {20}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{=\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\,\overrightarrow{CO}=\omega_{20}\,\vec{k}_1\times \left[-R\,\mathrm{cotg}(\theta)\,\vec{\imath}_1-R\,\vec{\jmath}_1\right]=\omega_{20}R\,\vec{\imath}_1-\,\omega_{20}R\,\mathrm{cotg}(\theta)\,\vec{\jmath}_1 }

donde la expresión del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CO}\,} en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ODC\,} .

Por último, el saber que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\equiv D\,} nos permite determinar -utilizando la ecuación del campo de velocidades {01}- la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{01}\,} a partir de la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\,} ya calculada:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{=\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{DO}=\left(-\frac{at}{R}\,\vec{k}_1\right)\times\left[-R\,\mathrm{cotg}(\theta)\,\vec{\imath}_1\right]=at\,\mathrm{cotg}(\theta)\,\vec{\jmath}_1 }

A continuación, exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades para el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , se obtiene un sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^{\, O}_{21}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}\,\,\longrightarrow\,\, \left\{\begin{array}{l} v^{\, O}_{21}\,\mathrm{cos}(\theta)=\omega_{20} R \\ \\ v^{\, O}_{21}\,\mathrm{sen}(\theta)=-\omega_{20} R\,\mathrm{cotg}(\theta)+at\,\mathrm{cotg}(\theta) \end{array}\right. }

y la resolución de este sistema nos permite finalmente determinar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}\,} y la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} v^{\, O}_{21}=at\,\mathrm{cos}(\theta) & \,\,\Rightarrow\,\, & \vec{v}^{\, O}_{21}=at\,\mathrm{cos}(\theta)[\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1] \\ \\ \omega_{20}=\displaystyle\frac{at}{R}\,\mathrm{cos}^2(\theta) & \,\,\Rightarrow\,\, & \vec{\omega}_{20}=\displaystyle\frac{at}{R}\,\mathrm{cos}^2(\theta)\,\vec{k}_1 \end{array} }

Aceleración angular de la varilla

La ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta, es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\,\vec{\omega}_{01}=\displaystyle\frac{at}{R}\,\mathrm{cos}^2(\theta)\,\vec{k}_1+\left(-\frac{at}{R}\,\vec{k}_1\right)=-\displaystyle\frac{at}{R}\,\mathrm{sen}^2(\theta)\,\vec{k}_1 }

Derivando esta velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} respecto al tiempo, obtenemos la correspondiente aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{d\vec{\omega}_{21}}{dt}\right|_1=\left.\frac{d(-at\,\mathrm{sen}^2(\theta)/R)\,\vec{k}_1}{dt}\right|_1=-\frac{a}{R}\,[\mathrm{sen}^2(\theta)+2t\,\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{cos}(\theta)]\,\vec{k}_1 }

Pero teniendo en cuenta que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} es el que forma la varilla (sólido "2") con respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_{1}\,} (sólido "1"), es obvio que podemos relacionar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\,} con la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} ya determinada:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \dot{\theta}=-\displaystyle\frac{at}{R}\,\mathrm{sen}^2(\theta) }

y sustituyendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\,} en la anterior expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=-\frac{a}{R}\,\mathrm{sen}^2(\theta)\left[1-2\,\frac{at^2}{R}\,\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{cos}(\theta)\right]\,\vec{k}_1 }