Barra apoyada en placa

Enunciado

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado $a$ (sólido ``0"), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo $OX_{1}$ (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}$. Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “2”), que gira con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{21}=\Omega {\vec {k}}_{1}$, alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). Se pide:

1. Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I_{21}$, $I_{02}$ e $I_{01}$.
2. Calcular: i) La velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos (movimiento {01}), expresada en función de la posición del sistema: ${\vec {v}}_{\!01}^{A}={\vec {v}}_{01}^{A}(\theta )$. ii) La velocidad angular ${\vec {\omega }}_{02}$, correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {02}).
3. Determinar analíticamente la posición del CIR del movimiento {02} (en función del ángulo $\theta$).

Centros instantáneos de rotación

Del movimiento {01}

La placa realiza un movimiento de traslación horizontal, por lo que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} será un punto del infinito situado según la dirección vertical.

Del movimiento {21}

La barra efectúa un movimiento de rotación en torno al punto en el cual se encuentra articulada. Este punto será el CIR $I_{21}$, que de hecho en este caso se trata de un centro permanente y no solo instantáneo.

Del movimiento {20}

Por el teorema de los tres centros, el CIR $I_{20}$ (coincidente con el CIR $I_{02}$) estará alineado con los otros dos. Puesto que $I_{01}$ está en el infinito según la dirección vertical, el CIR $I_{20}$ debe encontrarse en la vertical del punto $O=I_{21}$, esto es, se trata de un punto del eje $OY_{1}$.

Queda por determinar la posición sobre este eje. Para ello necesitamos la dirección de la velocidad de algún punto en el movimiento {20} o el {02}. El más simple es el punto A, donde contactan la barra y la placa. Este contacto impone un vínculo sobre las posibles velocidades de A. En particular, impide que A, en el movimiento {02}, tenga una componente perpendicular a la propia barra, ya que de ser así atravesaría ésta.

Por tanto, ${\vec {v}}_{20}^{A}$ es tangente a la propia barra. Ello implica que $I_{20}$ se encuentra en la intersección de la perpendicular a la barra por A con el eje $OY_{1}$.

Podemos obtener las coordenadas de este punto empleando trigonometría. Si la altura de la placa es $a$, la distancia OA es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por lo que

$L=\left|{\overrightarrow {OA}}\right|={\frac {a}{\mathrm {sen} (\theta )}}$

La altura $h$ es la hipotenusa de otro triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es OA. Por ello

$h={\frac {L}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}}={\frac {a}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}$

En forma vectorial

${\overrightarrow {OI}}_{20}={\frac {a}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}$

Velocidades

Conociendo la posición del CIR {20}

Para hallar la velocidad de traslación de A (que es la misma de cualquier otro punto de la placa), podemos usar la ley de composición de velocidades

${\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {v}}_{02}^{A}+{\vec {v}}_{21}^{A}$

Cada una de estas velocidades es una rotación alrededor de su correspondiente CIR

${\vec {v}}_{01}^{A}=\omega _{02}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{02}A}}+\omega _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{21}A}}$

La velocidad angular $\omega _{21}$ la da la derivada temporal del ángulo que forma el $OX_{1}$ con el $OX_{2}$, que suponemos ligado a la propia barra:

$\omega _{21}={\dot {\theta }}=\Omega$

donde se ha tenido en cuenta que, según el enunciado del ejercicio, ${\vec {\omega }}_{21}=\Omega {\vec {k}}_{1}$.

La del movimiento {02} la obtenemos por composición de velocidades angulares, teniendo en cuenta que el movimiento {01} es una traslación

$0=\omega _{01}=\omega _{02}+\omega _{21}\qquad \Rightarrow \qquad \omega _{02}=-\omega _{21}=-\Omega \qquad \Rightarrow \qquad {\vec {\omega }}_{02}=-\Omega {\vec {k}}_{1}$

Resulta una velocidad angular igual y opuesta a la primera. De aquí llegamos a la velocidad de traslación

${\vec {v}}_{01}^{A}=\Omega \left(-{\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{02}A}}+{\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{21}A}}\right)=\Omega {\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{21}I_{02}}}$

El vector de posición relativo entre los dos centros instantáneos de rotación es

${\overrightarrow {I_{21}I_{02}}}={\overrightarrow {OI_{02}}}=h{\vec {\jmath }}_{1}={\frac {a}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}$

y llegamos a la velocidad de traslación

${\vec {v}}_{01}^{A}=\Omega {\vec {k}}\times \left({\frac {a}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}\right)=-{\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}$

Mediante derivación

La velocidad de traslación de la placa puede obtenerse también derivando respecto al tiempo la posición de cualquiera de sus puntos. Así, la posición instantánea de A la podemos escribir

${\vec {r}}_{01}^{A}={\overrightarrow {OA}}=x{\vec {\imath }}_{1}+a{\vec {\jmath }}_{1}$

y su velocidad de traslación será

${\vec {v}}_{01}^{A}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{01}^{A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\dot {x}}{\vec {\imath }}_{1}$

El valor de la coordenada x lo obtenemos aplicando trigonometría, se trata del cateto contiguo de un triángulo rectángulo, de forma que

${\frac {a}{x}}=\mathrm {tg} (\theta )\,\,\,$ ⇒  $\,\,\,x=a\,\mathrm {cotg} (\theta )$

y su derivada, por la regla de la cadena, vale

${\dot {x}}=-{\frac {a{\dot {\theta }}}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}=-{\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}$

lo que nos da la velocidad de traslación

${\vec {v}}_{01}^{A}=-{\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}$

que coincide con lo que ya sabíamos.

Por composición de velocidades

Alternativamente, supongamos que en el primer apartado no hemos sido capaces de localizar el centro instantáneo de rotación $I_{20}$, ni tampoco estamos seguros de si la posición de A se puede derivar o no. ¿Cómo podemos hallar en ese caso la velocidad de traslación?

Recurrimos de nuevo a la fórmula de composición de velocidades

${\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {v}}_{02}^{A}+{\vec {v}}_{21}^{A}$

Para la velocidad de A en el movimiento {21} tenemos que se trata de una rotación en torno al punto O, por lo que

${\vec {v}}_{21}^{A}=\omega _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OA}}$

La velocidad angular $\omega _{21}$ ya la hemos indicado

$\omega _{21}={\dot {\theta }}=\Omega$

El vector de posición lo podemos escribir tanto en el sistema “1” como en el “2” (considere un eje $OX_{2}$ coincidente con la varilla)

${\overrightarrow {OA}}=L{\vec {\imath }}_{2}=x{\vec {\imath }}_{1}+a{\vec {\jmath }}_{1}$

siendo

$L={\frac {a}{\mathrm {sen} (\theta )}}\,\,;$      $x=a\,\mathrm {cotg} (\theta )$

Así obtenemos la velocidad

${\vec {v}}_{21}^{A}=\Omega L{\vec {\jmath }}_{2}={\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\jmath }}_{2}$

Para el movimiento relativo {20} desconocemos la rapidez de A (si no sabemos dónde se halla el CIR), pero sí conocemos la dirección. El par cinemático asociado al contacto entre la placa y la barra exige que la velocidad sea puramente tangente a la barra, esto es

${\vec {v}}_{02}^{A}=v_{02}^{A}{\vec {\imath }}_{2}$

Sumando las dos componentes obtenemos la velocidad

${\vec {v}}_{01}^{A}=v_{02}^{A}{\vec {\imath }}_{2}+{\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\jmath }}_{2}$

Aunque esta velocidad posee dos componentes no nulas en la base “2”, debe tener una sola en la base “1”; ha de ser de la forma

${\vec {v}}_{01}^{A}=v_{01}^{A}{\vec {\imath }}_{1}$

Tenemos ahora varias posibilidades de acción:

• Sustituir los vectores de una base e igualar las componentes resultantes.
• Proyectar sobre el vector ${\vec {\jmath }}_{1}$ e imponer que el resultado sea nulo.
• Proyectar sobre ${\vec {\jmath }}_{2}$ para eliminar la cantidad $v_{02}^{A}$ desconocida.

Si elegimos este último camino, igualamos las dos expresiones para la velocidad de A

$v_{02}^{A}{\vec {\imath }}_{2}+{\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\jmath }}_{2}=v_{01}^{A}{\vec {\imath }}_{1}$

Multiplicando los dos miembros por el vector unitario ${\vec {j}}_{2}$ nos queda

${\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} (\theta )}}=v_{01}^{A}{\vec {\imath }}_{1}\cdot {\vec {\jmath }}_{2}$

El último producto escalar vale

${\vec {\imath }}_{1}\cdot {\vec {\jmath }}_{2}={\vec {\imath }}_{1}\cdot \left(-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\right)=-\mathrm {sen} (\theta )$

y llegamos finalmente al resultado conocido

${\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} (\theta )}}=-v_{01}^{A}\mathrm {sen} (\theta )\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{01}^{A}=-{\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}$

Determinación analítica del CIR

La posición del CIR $I_{20}$ también puede hacerse analíticamente si, por cualquier método, somos capaces de determinar la velocidad de un punto en este movimiento y sabemos también la velocidad angular.

Así para el punto O tenemos, despejando en la fórmula de composición de velocidades,

${\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {v}}_{21}^{O}-{\vec {v}}_{01}^{O}$

La primera es la velocidad de rotación en torno al propio punto O (que será nula por tanto); la segunda es la de la traslación {01}, que será igual a la del punto A. Por tanto

${\vec {v}}_{20}^{O}=\overbrace {{\vec {v}}_{21}^{O}} ^{={\vec {0}}}-\overbrace {{\vec {v}}_{01}^{O}} ^{={\vec {v}}_{01}^{A}}={\frac {a\Omega }{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}$

La velocidad angular fue calculada previamente como

$\omega _{20}=\omega _{21}-\omega _{01}={\dot {\theta }}-0={\dot {\theta }}=\Omega$

Hallamos ahora la posición relativa del CIR aplicando

${\overrightarrow {OI}}_{20}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{20}^{O}}{\omega _{20}}}={\frac {a}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {k}}\times {\vec {\imath }}_{1}={\frac {a}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}$

que, por supuesto, coincide con lo obtenido de forma geométrica en el primer apartado.