No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo $OXY\,$ (sólido "1"), está constituido por un disco de centro $A\,$ y radio $R\,$ (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$, y por otro disco de centro $B\,$ y radio $r\,$ (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje $OY\,$ a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(a)} \,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\times {\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,{\vec {v}}_{02}^{\,E}={\vec {v}}_{01}^{\,E}$

1. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,\,$?

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(a)} \,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,I_{20}\equiv F$

Solución

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$ de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

$I_{01}\equiv D$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $D\,$, se obtiene:

${\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}+\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,D}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}$

resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje $OY\,$ de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

$I_{21}\equiv E$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $E\,$, se obtiene:

${\vec {v}}_{01}^{\,E}={\vec {v}}_{02}^{\,E}+\underbrace {{\vec {v}}_{21}^{\,E}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{02}^{\,E}={\vec {v}}_{01}^{\,E}$

resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto $C\,\,$), siendo ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$ y $C\,$ no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque $C\,$ no está alineado con $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:

${\vec {v}}_{20}^{\,C}\perp {\overrightarrow {AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0$

resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\neq {\vec {0}}\,$ y que ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\perp {\overrightarrow {AB}}\,$, llegamos a la conclusión de que:

$|{\vec {v}}_{20}^{\,C}\times {\overrightarrow {AB}}|=|{\vec {v}}_{20}^{\,C}||{\overrightarrow {AB}}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\times {\overrightarrow {AB}}\neq {\vec {0}}$

resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (por tanto, es la que hay que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ en el punto $C\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{20}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.{\begin{array}{r}{\vec {v}}_{20}^{\,C}\perp {\overrightarrow {I_{20}C}}\\\\\{I_{20},\,I_{21},\,I_{01}\}\,\,\mathrm {alineados} \end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,I_{20}\,\equiv \,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{20}^{\,C}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,C\end{array}}\right\}\,\,\bigcap \,\,\,{\overline {I_{21}I_{01}}}\,\equiv \,F$

Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) $\,\,\,I_{20}\equiv F\,$.