No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} (sólido "1"), está constituido por un disco de centro $A\,$ y radio $R\,$ (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$, y por otro disco de centro $B\,$ y radio $r\,$ (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje $OY\,$ a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(a)} \,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\times {\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,{\vec {v}}_{02}^{\,E}={\vec {v}}_{01}^{\,E}$

1. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,\,$?

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(a)} \,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,I_{20}\equiv F$

Solución

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$ de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

$I_{01}\equiv D$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $D\,$, se obtiene:

${\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}+\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,D}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,D}={\vec {v}}_{20}^{\,D}$

resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje $OY\,$ de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

$I_{21}\equiv E$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\,} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01} }

resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto $C\,\,$), siendo ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{20}\,} es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} no está alineado con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\,} ). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0 }

resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,} y que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,} , llegamos a la conclusión de que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0} }

resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (por tanto, es la que hay que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{20}\,} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} y trazando la recta que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\,} (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} en la intersección de ambas rectas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{r} \vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F }

Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,I_{20}\equiv F\,} .