Movimiento de dos varillas articuladas

Enunciado

El mecanismo de la figura está constituido por dos varillas rígidas (sólidos “2” y “0”), de grosor despreciable y longitud indefinida, que se mueven en el plano fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”). La varilla “2” se desplaza verticalmente hacia arriba con velocidad constante $v$, manteniéndose siempre paralela al eje $OY_{\!1}$ y a una distancia $c$ de éste; mientras que la varilla “0”, articulada a la anterior en su extremo común A, desliza por el interior de un pasador giratorio ubicado en el punto O del sólido “1”. Utilizando el ángulo $\theta$ (definido en la figura) como parámetro descriptivo del movimiento, se pide:

1. Reducción cinemática de los movimientos {21}, {20} y {01} en el punto O, es decir: $\{{\vec {\omega }}_{21};\;{\vec {v}}_{21}^{\,O}\}$, $\{{\vec {\omega }}_{20};\;{\vec {v}}_{20}^{\,O}\}$ y $\{{\vec {\omega }}_{01};\;{\vec {v}}_{01}^{\,O}\}$.
2. Determinación gráfica y determinación analítica de la posición del punto $I_{01}$, centro instantáneo de rotación del movimiento {01}.
3. Cálculo de las aceleraciones ${\vec {a}}_{01}^{A}$ y ${\vec {a}}_{01}^{\,O}$.

Nota: Para resolver el ejercicio, se propone el uso de la base vectorial asociada al sistema de ejes $AX_{0}Y_{0}$ de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla “0” y cuyo eje $AX_{0}$ es colineal con ella.

Reducciones cinemáticas

Las reducciones cinemáticas pueden hallarse sucesivamente, empezando por el movimiento más simple y empleando los resultados calculados para analizar los siguientes movimientos, más complejos. No obstante, en este caso, también pueden determinarse las tres reducciones simultáneamente considerando qué tipo de movimiento ocurre en cada caso.

Las tres simultáneamente

Debemos determinar tres velocidades angulares y tres velocidades lineales. Para determinarlas observamos que los tres movimientos se pueden clasificar como

Movimiento {21}

Este movimiento es una traslación, con una velocidad paralela al eje $OY_{1}$ y de rapidez $v$.

Movimiento {20}

Se trata de una rotación en torno al punto de articulación, A.

Movimiento {01}

Es una rotación en torno a un CIR cuya posición hemos de determinar.

Por tratarse de una traslación, la velocidad angular del movimiento {21} es nula. La del movimiento {01} la da la derivada del ángulo que forman los ejes respectivos

$\omega _{21}=0\qquad \qquad \omega _{01}={\dot {\theta }}$

Más adelante relacionaremos ${\dot {\theta }}$ con la rapidez $v$ dada en el enunciado.

La tercera velocidad angular la obtenemos empleando la fórmula de composición de velocidades angulares

$\omega _{20}=\omega _{21}+\omega _{10}=\omega _{21}-\omega _{01}=-{\dot {\theta }}$

También puede llegarse a ella derivando el ángulo que forman las dos barras, que es igual a $\pi /2-\theta$.

Para las velocidades lineales observamos que, por tratarse de una traslación, la velocidad de O en el movimiento {21} es la misma que la de A en dicho movimiento

${\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {v}}_{21}^{A}=v{\vec {\jmath }}_{1}$

En el movimiento {20} el punto O se encuentra rotando en torno al punto A, por lo que su velocidad es perpendicular al vector de posición relativo

${\vec {v}}_{20}^{O}=\overbrace {\omega _{20}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AO}}} ^{\perp {\overrightarrow {AO}}}$

Puesto que el vector ${\overrightarrow {AO}}$ apunta en la dirección de $OX_{0}$ esto nos da la dirección para la velocidad

${\vec {v}}_{20}^{O}=v_{20}^{O}{\vec {\jmath }}_{0}$

En el movimiento {01}, en cambio, el vínculo en el punto O obliga a que en este movimiento O se mueva a lo largo de la barra “0”, que es el eje $OX_{0}$. Por ello

${\vec {v}}_{01}^{O}=v_{01}^{O}{\vec {\imath }}_{0}$

Por otro lado, debe cumplirse la ley de composición de velocidades

${\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {v}}_{20}^{O}+{\vec {v}}_{01}^{O}$

Sustituyendo los resultados anteriores

$v{\vec {\jmath }}_{1}=v_{20}^{O}{\vec {\jmath }}_{0}+v_{01}^{O}{\vec {\imath }}_{0}$

Podremos igualar las componentes respectivas si expresamos los dos miembros en la misma base.

$\left\{{\begin{array}{lcr}{\vec {\imath }}_{0}&=&\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {\jmath }}_{0}&=&-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{lcr}{\vec {\imath }}_{1}&=&\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{0}-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{0}\\{\vec {\jmath }}_{1}&=&\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}\right.$

Llevando esto a la ley de composición de velocidades

$v(\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0})=v_{20}^{O}{\vec {\jmath }}_{0}+v_{01}^{O}{\vec {\imath }}_{0}$ ⇒  $\left\{{\begin{array}{lcr}v_{20}^{O}&=&v\,\mathrm {cos} (\theta )\\v_{01}^{O}&=&v\,\mathrm {sen} (\theta )\end{array}}\right.$

y ya tenemos las tres velocidades.

Queda el relacionar ${\dot {\theta }}$ con $v$. Esto lo hacemos empleando trigonometría. La posición del punto A tiene la expresión

${\vec {r}}_{21}^{A}={\overrightarrow {OA}}=c{\vec {\imath }}_{1}+c\,\mathrm {tg} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Derivando esto respecto al tiempo e igualando con la velocidad que conocemos

$v{\vec {\jmath }}_{1}={\vec {v}}_{21}^{A}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{21}^{A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\frac {c{\dot {\theta }}}{\cos ^{2}(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}$

Despejamos de aquí

${\dot {\theta }}={\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta )$

y con esto ya tenemos las tres reducciones cinemáticas.

Movimiento {21}

$\left\{{\vec {\omega }}_{21},{\vec {v}}_{21}^{O}\right\}=\left\{{\vec {0}},v{\vec {\jmath }}_{1}\right\}$

Movimiento {01}

$\left\{{\vec {\omega }}_{01},{\vec {v}}_{01}^{O}\right\}=\left\{{\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta ){\vec {k}},v\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}\right\}$

Movimiento {20}

$\left\{{\vec {\omega }}_{20},{\vec {v}}_{20}^{O}\right\}=\left\{-{\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta ){\vec {k}},v\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0}\right\}$

Las tres sucesivamente

Alternativamente, podemos analizar los movimientos en orden y obtener la reducción cinemática de cada uno

Movimiento {21}

La varilla “2” realiza una traslación respecto al sólido “1”, por tanto

$\omega _{21}=0\,$

La velocidad de esta traslación nos la da el enunciado, puesto que se nos dice que la barra sube con rapidez constante

${\vec {v}}_{21}^{A}=v{\vec {\jmath }}_{1}$

Esta velocidad la podemos obtener también derivando la posición de uno de los puntos del sólido “2”. El punto A, extremo de la barra, tiene un vector de posición instantáneo

${\vec {r}}_{21}^{A}={\overrightarrow {OA}}=c{\vec {\imath }}_{1}+c\,\mathrm {tg} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Derivando en esta expresión

${\vec {v}}_{21}^{A}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{21}^{A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\frac {c{\dot {\theta }}}{\cos ^{2}(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}$

Igualando las dos expresiones obtenemos la relación

${\dot {\theta }}={\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta )$

En el punto O la reducción es idéntica a la del punto A, por tratarse de una traslación. Por tanto

$\left\{{\vec {\omega }}_{21},{\vec {v}}_{21}^{O}\right\}=\left\{{\vec {0}},v{\vec {\jmath }}_{1}\right\}$

Movimiento {01}

La velocidad angular del movimiento {01} la da la derivada del ángulo que forma el eje $OX_{0}$ con el $OX_{1}$

$\omega _{01}={\dot {\theta }}$

En términos de $v$, la rapidez de la barra

$\omega _{01}={\dot {\theta }}={\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta )$

La velocidad del punto O en este movimiento la obtenemos a partir de la velocidad del punto A, ya que, por tratarse de una articulación entre el sólido “2” y el “0”

${\vec {v}}_{01}^{A}=\overbrace {{\vec {v}}_{02}^{A}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {v}}_{21}^{A}=v{\vec {\jmath }}_{1}$

La velocidad de O es entonces

${\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {v}}_{01}^{A}+\omega _{01}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AO}}=v{\vec {\jmath }}_{1}+{\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta ){\vec {k}}\times \left(-c{\vec {\imath }}_{1}-c\,\mathrm {tg} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\right)=v\,\mathrm {sen} (\theta )\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+v\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Sacando factor común

${\vec {v}}_{01}^{O}=v\,\mathrm {sen} (\theta )\left(\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\right)$

El vector entre paréntesis no es otro que ${\vec {\imath }}_{0}$, el unitario en la dirección del eje $OX_{0}$, por lo cual

${\vec {v}}_{01}^{O}=v\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}$

Esto está de acuerdo con que el par cinemático debido al pasador obliga a que la velocidad de O sea en la dirección de la propia barra en el movimiento {01}.

La reducción cinemática la escribimos reuniendo los dos resultados

$\left\{{\vec {\omega }}_{01},{\vec {v}}_{01}^{O}\right\}=\left\{{\dot {\theta }}{\vec {k}},v\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}\right\}$

Movimiento {20}

Una vez que tenemos las otros dos reducciones cinemáticas, la del tercer movimiento se halla simplemente aplicando la ley de composición de velocidades angulares

$\omega _{20}=\omega _{21}+\omega _{10}=\omega _{21}-\omega _{01}=-{\dot {\theta }}=-{\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta )$

y la ley de composición de velocidades

${\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {v}}_{10}^{O}={\vec {v}}_{21}^{O}-{\vec {v}}_{01}^{O}=v{\vec {\jmath }}_{1}-v\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}$

Esta expresión es correcta, pero no es muy informativa en cuanto a que mezcla vectores de dos bases diferentes. Pasando todo a la base “0”

${\vec {v}}_{20}^{O}=v\left(\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0}\right)-v\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}=v\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0}$

y, en la base “1”

${\vec {v}}_{20}^{O}=-v\,\mathrm {sen} (\theta )\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+v\cos ^{2}(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

lo que nos da la reducción cinemática

$\left\{{\vec {\omega }}_{20},{\vec {v}}_{20}^{O}\right\}=\left\{-{\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta ){\vec {k}},v\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0}\right\}$

Podemos llegar a esta reducción directamente, sin emplear la composición de movimientos.

El ángulo que forman las dos barras es $\pi /2-\theta$ por lo que la velocidad angular es

$\omega _{20}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=-{\dot {\theta }}$

El movimiento {20} es una rotación en torno a la articulación A, que es el CIR $I_{20}$. Por tanto

${\vec {v}}_{20}^{O}=\omega _{20}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AO}}$

siendo el vector de posición relativo

${\overrightarrow {AO}}=-c{\vec {\imath }}_{1}-c\,\mathrm {tg} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}=-{\frac {c}{\cos(\theta )}}{\vec {\imath }}_{0}$

Sustituyendo este vector de posición y la velocidad angular reobtenemos el resultado anterior.

Posición del CIR

Gráficamente

Conocidas las direcciones de las velocidades ${\vec {v}}_{01}^{A}$ y ${\vec {v}}_{01}^{O}$ podemos localizar el CIR $I_{01}$.

En el movimiento {01}, el punto A, según hemos visto, se mueve en la dirección del eje $OY_{1}$. Por tanto, el CIR $I_{01}$ se encuentra en la recta paralela a $OX_{1}$ que pasa por A.

El punto O se encuentra obligado por el pasador a moverse longitudinalmente a lo largo del sólido “0”. Por ello, el CIR se encontrará en la perpendicular a la barra “0” que pasa por este punto.

La intersección de estas dos rectas nos da el CIR $I_{01}$.

Su vector de posición lo obtenemos observando que se encuentra sobre el eje $OY_{0}$

${\overrightarrow {OI}}_{01}=y_{0}{\vec {\jmath }}_{0}$

La distancia sobre este eje es un cateto opuesto de un triángulo cuyo ángulo es $\theta$ y cuyo cateto contiguo es $|{\overrightarrow {OA}}|$. A su vez, esta distancia es una hipotenusa de otro triángulo cuyo cateto contiguo mide $c$:

$\mathrm {tg} (\theta )={\frac {y_{0}}{|{\overrightarrow {OA}}|}}\,\,;$        $\cos(\theta )={\frac {c}{|{\overrightarrow {OA}}|}}$

Despejando de aquí

${\overrightarrow {OI}}_{01}={\frac {c\,\mathrm {sen} (\theta )}{\cos ^{2}(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{0}$

Si expresamos este vector en la base ligada al sólido “1” nos da

${\overrightarrow {OI}}_{01}=-c\,\mathrm {tg} ^{2}(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+c\,\mathrm {tg} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Analíticamente

También podemos obtener la posición del CIR conocida la reducción cinemática en O

${\overrightarrow {OI}}_{01}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{01}^{O}}{\omega _{01}}}={\frac {c}{v\cos ^{2}(\theta )}}{\vec {k}}\times \left(v\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}\right)={\frac {c\,\mathrm {sen} (\theta )}{\cos ^{2}(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{0}$

que naturalmente coincide con el resultado anterior.

Aceleraciones

Del punto A

La aceleración del punto A es inmediata ya que, por tratarse de una articulación entre el sólido “2” y el “0” su movimiento {01} coincide con el {21}. En todo instante

${\vec {v}}_{01}^{A}=\overbrace {{\vec {v}}_{02}^{A}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{21}^{A}=v{\vec {\jmath }}_{1}$

y derivando aquí

${\vec {a}}_{01}^{A}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}_{01}^{A}\right|_{1}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\vec {\jmath }}_{1}={\vec {0}}$

El movimiento de A es rectilíneo y uniforme tanto en el movimiento {21} como en el {01}.

Del punto O

Para hallar la aceleración de O en el movimiento {01} empleamos la expresión del campo de aceleraciones de un sólido, aprovechando que ya conocemos la de A

${\vec {a}}_{01}^{O}={\vec {a}}_{01}^{A}+\alpha _{01}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AO}}-\omega _{01}^{2}{\overrightarrow {AO}}$

donde

$\omega _{01}={\dot {\theta }}={\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta )$

Derivando en esta expresión

$\alpha _{01}={\ddot {\theta }}=-2{\frac {v}{c}}\cos(\theta )\mathrm {sen} (\theta ){\dot {\theta }}=-2{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cos ^{3}(\theta )\mathrm {sen} (\theta )$

El vector de posición relativo, en el sistema “0” posee solo componente en $OX_{0}$

${\overrightarrow {AO}}=-{\frac {c}{\cos(\theta )}}{\vec {\imath }}_{0}\,\,;$        ${\vec {k}}\times {\overrightarrow {AO}}=-{\frac {c}{\cos(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{0}$

Llevando esto a la aceleración

$\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{01}^{O}={\vec {0}}+\left(-2{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cos ^{3}(\theta )\mathrm {sen} (\theta )\right)\left(-{\frac {c}{\cos(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{0}\right)-\left({\frac {v}{c}}\cos ^{2}(\theta )\right)^{2}\left(-{\frac {c}{\cos(\theta )}}{\vec {\imath }}_{0}\right)=$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {v^{2}}{c}}\cos ^{3}(\theta ){\vec {\imath }}_{0}+2{\frac {v^{2}}{c}}\cos ^{2}(\theta )\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{0}$

Extrayendo factores comunes

${\vec {a}}_{01}^{O}={\frac {v^{2}}{c}}\cos ^{2}(\theta )\left(\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{0}+2\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{0}\right)$