Problemas de Cinemática del punto (G.I.C.)

Problemas del boletín

Movimientos en 2D y 3D

Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes horarias siguientes

1. ${\vec {r}}(t)=R\cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}$, con $R$ y $\omega$ constantes.
2. ${\vec {r}}(t)=A\cos \alpha \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} \,\alpha \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}$, con $A$, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} constantes.
3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = At\,\vec{\imath} + Bt^2\,\vec{\jmath} } , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} constantes.
4. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\,\vec{\imath} + \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\,\vec{\jmath} } , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} constantes.
5. ${\vec {r}}(t)=T\cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}+h\omega t\,{\vec {k}}$ con $R$, $h$ y $\omega$ constantes.

Tiro oblicuo

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial $v_{0}$ y un ángulo $\alpha$ con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

Movimiento instantáneo de una partícula

Una partícula $P$ se mueve respecto de un sistema de referencia cartesiano $OXYZ$ de manera que en un cierto instante $t_{0}$, su velocidad ${\vec {v}}$ y su aceleración ${\vec {a}}$ están descritas por los vectores

${\vec {v}}={\vec {\imath }}+{\sqrt {3}}\!\ {\vec {k}}\quad \mathrm {y} \quad {\vec {a}}={\vec {\imath }}+{\sqrt {5}}{\vec {\jmath }}-{\sqrt {3}}\!\ {\vec {k}}\mathrm {,}$

con sus componentes medidas en $\mathrm {m} /\mathrm {s}$ y $\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$, respectivamente. Determine, en el instante considerado, las siguientes magnitudes cinemáticas:

1. Módulo de la velocidad (celeridad) y su derivada.
2. Componente normal de la aceleración y radio de curvatura de la trayectoria.
3. Vector aceleración normal.
4. Triedro intrínseco.
5. La localización del centro de curvatura si en ese instante la partícula se halla en el origen.

Velocidad de un punto en la superficie de la Tierra

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular $\omega$ constante. Encuentra en función de la latitud $\lambda$, la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: $R=6.37\times 10^{6}$ m.)

Disco girando con partícula suspendida de cuerda

El mecanismo de la figura consiste en un disco de radio $R$, siempre contenido en el plano vertical $OXY$, que se mueve girando alrededor de un punto de su perímetro que coincide con el origen $O$ del sistema de referencia. El movimiento del disco está descrito por la ley horaria $\theta (t)$ para el ángulo (medido en radianes) que forma el diámetro ${\overline {OD}}$ con la dirección horizontal $OX$. Se considera que el sistema parte de la posición inicial $\theta =0$. En el punto $D$ hay conectada una cuerda flexible e inextensible de longitud $L=\pi R$ que, cuando el disco gira, se va enrollando sobre su contorno, finalizando el proceso cuando $\theta =\pi$. Además, un punto material pesado $P$ hace que el tramo de cuerda no enrollado siempre penda verticalmente.

1. Obtenga la ecuación paramétrica de la trayectoria $\Gamma$.
2. El extremo $D$ del diámetro realiza un movimiento circular uniforme, siendo su aceleración $8R\omega _{0}^{2}$. ¿Cómo es la correspondiente ley horaria para el ángulo $\theta$?
3. Calcule la expresión de la componente intrínseca de la velocidad de la partícula $P$.
4. Aceleración tangencial del punto $P$.
5. Radio de curvatura de la trayectoria de $P$ en el punto de inicial.

Ecuaciones de curvas

Expresa en forma parámetrica e implícita las siguientes curvas

1. El eje $OY$
2. Una circunferencia de radio $a$, contenida en el plano $XY$ y con centro en el origen.
3. Una parábola contenida en el plano $YZ$ y con ecuación $z=y^{2}$.

Parámetro arco y triedro intrínseco de una hélice

Sea la hélice $\Gamma$ descrita en un sistema de referencia cartesiano $OXYZ$ por las siguientes ecuaciones paramétricas:

$\Gamma \,:\,\mathbf {r} =\mathbf {r} (\lambda )\left\{{\begin{array}{l}x(\lambda )=a\cos \lambda \\y(\lambda )=a\,\mathrm {sen} \,\lambda \\z(\lambda )=h\lambda \end{array}}\right.$

donde $a$ y $h$ son constantes conocidas.

1. Determina la longitud recorrida sobre la hélice (parámetro arco) en función del parámetro $\lambda$
2. Obtén los vectores del triedro intrínseco en cada punto de dicha curva.
3. Calcula su radio de curvatura.

Otros problemas

Trayectoria de una partícula

La trayectoria de una partícula viene dada por la ley horaria

${\vec {r}}(t)={\dfrac {A(T^{2}-t^{2})}{T^{2}+t^{2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {2ATt}{T^{2}+t^{2}}}\,{\vec {\jmath }}$

Determina la velocidad y aceleración de la partícula, los vectores del triedro intrínseco, así como la ecuación de la trayectoria. Calcula también las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración ¿Cual es la expresión de un desplazamiento elemental $\mathrm {d} {\vec {r}}$? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar al punto medio de la trayectoria?. ¿Y al punto final? Describe cualitativamente la evolución temporal de la posición de la partícula.

Partícula en movimiento rectilíneo sometida a fuerza dependiente de la velocidad

Una partícula realiza un movimiento rectilíneo de modo que, en cada instante, su aceleración es $a=-kv^{2}$. En el instante inicial su velocidad es $v_{0}>0$ y está situada en el origen. Calcula su velocidad y posición en cada instante.

Barra con extremos sobre los ejes

Dos partículas, $A$ y $B$, de masa $m$, están unidas por una barra rígida de longitud $L$ y masa despreciable. La partícula $A$ se mueve sobre el eje $OX$ con velocidad uniforme $v_{0}$, mientras que la partícula $B$ está obligada a moverse sobre el eje $OY$. Si en el instante $t=0$ la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se encontraba en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O}

1. Encuentra la posición, velocidad y aceleración de la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} y del tiempo.
2. ¿Cuál es el vector de posición y la velocidad del punto medio de la barra (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} ) en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0} ?
3. Describe la curva que corresponde a la trayectoria del punto medio de la barra.
4. ¿Que tipo de movimiento describe el punto medio de la barra? Razona tu respuesta.

Dos partículas unidas por una barra

Las partículas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , ambas con masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , están unidas por una barra rígida de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2L} y masa despreciable. El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} es el punto medio de la barra. La partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} está obligada a moverse en el eje fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} , como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra que une las partículas forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} . La partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se mueve con velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0 = v_0\,\vec{\imath}} . En el instante inicial la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se encontraba en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(0)=0} . El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

1. Encuentra la expresión de los vectores de posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_A} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_C} en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} .
2. Si el ángulo varía como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\dfrac{v_0}{L}t} , calcula la velocidad y aceleración de las partículas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y del centro de masas del sistema.
3. El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_A} aplicada sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
4. Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1=\pi L/2v_0} .
5. Supongamos ahora que la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} es constante e igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2v_0} . Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} para que esto sea posible.

Partícula en aro con movimiento uniforme

Una partícula se mueve sobre un aro de modo que su velocidad angular respecto al aro es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=\omega_0=\mathrm{cte}} . A su vez, el aro tiene un movimiento de traslación, de modo que su centro se mueve sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} con rapidez constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} . La gravedad actúa como se indica en la figura. En el instante inicial el centro del aro coincidía con el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y la partícula estaba sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY} . Se cumple la condición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0>R\omega_0} .

1. Encuentra la expresión de los vectores posición y velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo.
2. Encuentra la fuerza que el aro ejerce sobre la partícula durante el movimiento, así como la potencia que aporta. ¿El contacto es liso? Razona la respuesta.
3. Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración, así como el radio de curvatura de la trayectoria de la partícula, en el instante en que la partícula ha dado una vuelta completa al aro, empezando a contar desde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} .

Barra girando en un plano

Una barra rígida Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB} de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ a\ } se mueve en un plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} , manteniendo su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}= a \vec{\imath}} , y verificando la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta (t) = 2 \omega t} , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 \leq \theta \leq \pi} y siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega=} cte. Un hilo inextensible de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2a} tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} ), mientras que del otro cuelga una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} de la barra, de forma que el tramo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{BP}} permanece siempre paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY} (ver figura). Se pide:

1. Ecuaciones horarias del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P: \ \overrightarrow{OP} = \mathbf{r} (t) =x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}} .
2. Instante del tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_M} en que la partícula alcanza su altura máxima.
3. Radio de curvatura de la trayectoria seguida por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , en el instante considerado en el apartado anterior.

Barra deslizando sobre una circunferencia

En un plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} , se define el sistema cinemático formado por los dos siguientes elementos geométricos:

1. una circunferencia fija, de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} y centrada en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_C=R,\, y_C=0)} ;
2. un segmento rectilíneo móvil Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A'A} , de longitud superior a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4R} , el cual gira con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} (en sentido antihorario) alrededor de un eje fijo que pasa por su punto medio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y es normal al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} (eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ} ).

Sabiendo que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} ( que forman Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} ) es nulo en el instante inicial $(t=0)$; y considerando como móvil problema el punto $P$ en el que se cortan el segmento $A'A$ y la circunferencia , se pide:

1. item Determinar las ecuaciones horarias, $\mathbf {r} (t)={\overrightarrow {OP}}(t)=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}$, del punto $P$, así como sus vectores velocidad, $\mathbf {v} (t)$, y aceleración, $\mathbf {a} (t)$.
2. Calcular las aceleraciones tangencial y normal de dicho punto $P$.

Cuerda enrollándose

Una partícula se mueve en el plano $OXY$ mientras permanece conectada a uno de los extremos de un hilo inextensible de longitud $\ l=\pi R\$. El otro extremo está unido a un punto fijo $A$ de una circunferencia de radio $R$ y centro $O$, cuyas coordenadas en el sistema cartesiano $OXY$ son ${\overrightarrow {OA}}=R{\vec {\imath }}$. Partiendo de la posición inicial $\left.{\overrightarrow {OP}}\right|_{t=0}=R\left({\vec {\imath }}+\pi {\vec {\jmath }}\right)$, el movimiento de la partícula con velocidad de módulo constante $v_{0}$ da lugar a que el hilo, que permanece siempre tenso, se enrolle en dicha circunferencia. Utilizando como parámetro el ángulo $\theta$ correspondiente al punto $C$ donde desaparece el contacto hilo--circunferencia, calcula:

1. Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria seguida por la partícula.
2. La ley horaria del movimiento $\theta =\theta (t)$ y tiempo que tarda el hilo en enrollarse completamente sobre la circunferencia.
3. La aceleración de la partícula.
4. El triedro intrínseco de la trayectoria seguida por la partícula

Cuerda sobre disco de radio variable

Un punto material $P$ pende verticalmente del extremo de un hilo inextensible y permanentemente tenso. Este se apoya y desliza sobre una circunferencia de radio variable con el tiempo $R(t)=R_{0}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$ en el intervalo $0\leq t\leq \pi /2\omega$ (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} son constantes conocidas), y centrada en el origen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} de un sistema de referencia cartesiano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} . La longitud total del hilo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l = \pi R_0 /2} , y su otro extremo se halla fijo en un punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , tal que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA} = R_0 \,\vec{\jmath}} (ver figura). Determina:

1. Las ecuaciones horarias cartesianas del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , y su posición final en el instante final Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_f = \pi/2\omega} .
2. Los vectores velocidad y aceleración de dicho punto en todo instante de tiempo.
3. La aceleración normal de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} y el radio de curvatura de su trayectoria en todo instante de tiempo, así como la posición del centro de curvatura de la trayectoria en el instante inicial.

Partícula con cuerda deslizando sobre punto de una circunferencia

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} cuelga de una cuerda inextensible sin masa. La cuerda desliza sobre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . A su vez, este punto se mueve sobre una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . La longitud de la cuerda cambia en el tiempo según la ley Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l(t) = 2R(1-\Omega t)} . En el instante inicial el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se encontraba sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} , a la derecha del origen.

1. Escribe vector de posición de la partícula
2. El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} realiza un movimiento circular uniforme con una aceleración que cumple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{a}_A| = 9R\Omega^2} . Encuentra la velocidad de la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} .
3. Calcula el vector normal de la trayectoria de la partícula y su curvatura en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} .

Cuestión sobre cinemática de la partícula

Una partícula se mueve con velocidad y aceleración instantáneas, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}(t)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{a}(t)} , tales que su producto escalar tiene un valor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k^2} , constante en el tiempo, y su producto vectorial es un vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{c}} , también constante. Considerando que el móvil parte del reposo, determine las siguientes magnitudes:

1. Ángulo que forman en cada instante las direcciones de la velocidad y la aceleración.
2. Ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t)} que verifica el módulo de la velocidad instantánea (celeridad).
3. Radio de curvatura de la trayectoria en función de la distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s} recorrida por la partícula, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_\kappa(s)} .

Partícula moviéndose sobre una parábola

Una partícula recorre una parábola de ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = x^2/k} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} una constante. La partícula se mueve de modo que la velocidad sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} es constante e igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} . En el instante inicial la partícula se encontraba en el origen de coordenadas.

1. Determina las unidades base de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} en el S.I.
2. Calcula el vector de posición de la partícula.
3. Determina la aceleración de la partícula.
4. Calcula el vector aceleración normal en el instante de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0=k/v_0} .
5. En ese mismo instante, calcula el valor del radio de curvatura.

Punto moviéndose sobre una parábola

Un punto inicialmente en reposo en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=a} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=b} ,

describe la parábola Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ \Gamma: y^2 = (b^2/a) x} . Se conoce la componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} de la aceleración: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_y =- k^2 y} , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=cte} . Determina en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

Tiro parabólico sobre un plano inclinado

Se tiene el plano inclinado de la figura que forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/4} con la horizontal. se dispara una partícula desde el punto más bajo, con una velocidad inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0} , de módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} y con un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} con la horizontal.

1. Calcula la distancia entre el punto de partida y el de impacto sobre el plano inclinado, así como la velocidad (vector) con la que impacta.
2. Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria a lo largo de la trayectoria de la partícula, así como la potencia que la fuerza gravitatoria transmite a la partícula en cada instante.
3. Para el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\pi/3} , calcula las componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de impacto y el radio de curvatura.

Partícula recorriendo una espiral

Una partícula recorre una espiral logarítmica con coordenadas polares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r(t) = a\,e^{\theta(t)}} , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) = \omega t} , Aquí, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} es el tiempo y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} son constantes. Encuentra la expresión del vector de posición en coordenadas polares y del triedro intrínseco en cada punto de la trayectoria en función del tiempo. Determina la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} que da la distancia recorrida por la partícula en función del tiempo.

Partícula moviéndose sobre una parábola

Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria descrita por la curva de ecuaciones implícitas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=A(1-x^2/A^2)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0} , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es una constante. La coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} varía en el intervalo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in[0,A]} .

1. Determina el vector tangente en función de la posición de la partícula
2. Suponiendo que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} la distancia recorrida es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=0 } encuentra la expresión que da la distancia total recorrida sobre la curva.
3. ¿Cuál es el vector normal a la trayectoria en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0 } ?

Partícula con curvatura y aceleración tangencial dependientes del tiempo

Una partícula se mueve de modo que, en todo instante, su curvatura es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa = At} y su aceleración tangencial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_T=Bt} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} constantes. Suponemos que en el instante inicial la partícula está en reposo.

1. ¿Cuáles son las unidades base de las constantes en el SI?
2. Suponiendo que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} se tiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=0} , calcula la distancia recorrida en cada instante de tiempo
3. Calcula el módulo de la aceleración en cada instante.

Partícula describiendo una circunferencia en plano

Un punto material Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} se mueve recorriendo la circunferencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} contenida en un plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Pi} y cuyo centro es el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , dado por el segmento orientado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC} = \vec{\jmath} + \vec{k}} , cuyas componentes se miden en metros (m) y están referidas a un sistema cartesiano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ} . En el instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (t = 0)} , el punto móvil Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} ocupa la posición determinada por el segmento orientado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}_0 = 2\,\vec{\jmath}} . A partir de ́esta, la partícula realiza un movimiento circular caracterizado por un vector rotación instantánea o velocidad angular, cuyas componentes medidas en radianes por segundo son:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}(t) = \cos(\omega_0t)\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right) \,\mathrm{(rad/s)}; \quad \mathrm{con}\quad \omega_0 = \dfrac{3}{2\pi}\,\mathrm{rad/s} }

El movimiento se verifica en el intervalo de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 \leq t \leq \pi/2\omega_0} , de manera que la partícula recorre la circunferencia una sola vez, y siempre en sentido antihorario.

1. ¿Cómo es la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} que describe el ́angulo recorrido por el segmento orientado ${\overrightarrow {CP}}$, desde el instante inicial hasta el instante $t$?
2. ¿Cómo es el vector binormal del triedro intrínseco a la trayectoria, en función de la posición de la partícula?
3. ¿Cómo es la curvatura de la trayectoria durante el movimiento?
4. ¿Cómo es la velocidad instantánea de la partícula en $t=0$?
5. Calcule las componentes tangencial y normal de la velocidad en el instante inicial

Cañon lanzando partícula sobre un carrito deslizando sobre plano inclinado

Un móvil $A$, que puede ser considerado como un cuerpo puntual, se desplaza por una ladera con una pendiente de $45^{o}$ respecto de la horizontal. El móvil desciende por la ladera realizando un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo el módulo de su aceleración $|{\vec {a}}_{0}|=a_{0}=g/{\sqrt {2}}$. En el instante de iniciar el descenso el móvil se encuentra en reposo, a una altura $d$. Además, a una distancia $d$ de la base de la ladera, en dirección horizontal, se halla emplazado un dispositivo lanzador de proyectiles a los que imprime una velocidad inicial de módulo $v_{0}$ y formando un ángulo $\alpha$ con la horizontal.

1. Encuentre la expresión de las ecuaciones horarias que describen el movimiento del móvil $A$ respecto al sistema de referencia del dibujo.
2. En el instante en el que el móvil $A$ inicia el descenso, el lanzado dispara un proyectil Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } que, a partir de entonces, se mueve con la aceleración debida a la acción de la gravedad, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{g} = -g\,\vec{\jmath} } , constante en módulo, dirección y sentido. ¿Qué valores deben tener el ángulo de lanzamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha } y la celeridad inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 } del proyectil Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } para que éste impacte sobre el móvil Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } cuando se encuentra en la mitad de la ladera?

Partícula moviéndose sobre una hélice

Una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P } de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m } está insertada en la hélice fija y uniforme Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma } . Utilizando un sistema de referencia cartesiano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ } , en el cuál la gravedad está descrita analíticamente por el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{g}=-g\vec{k} } , la ecuación parámetrica de dicha hélice es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma:\vec{r}(\theta) = x(\theta)\,\vec{\imath} + y(\theta)\,\vec{\jmath} + z(\theta)\,\vec{k} \left\{ \begin{array}{l} x(\theta) = a\cos\theta\\ \\ y(\theta) = a\,\mathrm{sen}\,\theta\\ \\ z(\theta) = \lambda\,\theta \end{array} \right. }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } son constantes. EL parámetro geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } es el ángulo que forma con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX } la proyección del radio-vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\overrightarrow{OP} } sobre el plano horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY } . Cuando la partícula recorre la hélice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma } , sin rozamiento apreciable, su movimiento queda descrito por la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) } .

1. Determine cuál debe ser el valor de la constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } para que el radio de curvatura de la hélice sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}=3a/2 } . ¿Qué distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h } asciende la partícula en la dirección vertical cada vez que da una vuelta completa alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ } .
2. Obtenga la expresiones de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración en términos de la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) } y/o sus derivadas.

Partícula moviéndose sobre una parábola

Una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} realiza un movimiento en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} , cuya trayectoria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} , y ley horaria para la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = y(t)} , están descritas por las expresiones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma: x = \dfrac{1}{4b}y^2; \qquad y(t) = 2b-v_0t }

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} constantes de valor positivo conocido. El movimiento se inicia en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} , cuando la partícula ocupa la posición de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_0(b,2b)} , y termina en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_f(b,-2b)} .

1. Obtenga una expresión paramétrica de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=\vec{r}(\lambda)} de la trayectoria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} de la partícula
2. Calcule el vector tangente a la trayectoria en un punto de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(x,y)}
3. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} la distancia medida a lo largo de la trayectoria, desde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_0} hasta el punto en que se encuentra la partícula en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} . Obtenga la expresión de la distancia que por unidad de tiempo recorre la partícula en dicho instante,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}(t)}
4. ¿En qué puntos de la trayectoria se anula la componente tangencial y/o la componente normal de la aceleración?

Movimiento oscilatorio armónico unidimensional

Un punto inicialmente en reposo en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=L} describe un movimiento rectilíneo sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} , de modo que su aceleración es de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = -k^2x} . Determina en función del tiempo su posición y velocidad. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?