Partícula recorriendo una espiral, Enero 2014 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula recorre una espiral logarítmica con coordenadas polares $r(t)=C\,e^{\theta (t)}$, donde $\theta (t)=\omega t$, Aquí, $t$ es el tiempo y $C$ y $\omega$ son constantes. Encuentra la expresión del vector de posición en coordenadas polares y del triedro intrínseco en cada punto de la trayectoria en función del tiempo. Determina la ley horaria $s(t)$ que da la distancia recorrida por la partícula en función del tiempo. Suṕon que en $t=0$ se tiene $s=0$.

Solución

En coordenadas polares el vector de posición se escribe

${\vec {r}}(t)=r(t)\,{\vec {u}}_{r}=C\,e^{\theta (t)}\,{\vec {u}}_{r}=C\,e^{\omega t}\,{\vec {u}}_{r}$

Atención, no hay que confundir ${\vec {r}}(t)$ con $r(t)$. El primero es el vector de posición, el segundo es la coordenada radial, que es un escalar.

Podemos calcular la velocidad derivando respecto del tiempo. Hay que tener en cuenta que el vector ${\vec {u}}_{r}$ depende del tiempo y su derivada es

${\dot {\vec {u}}}_{r}={\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }=\omega \,{\vec {u}}_{\theta }$

Entonces la velocidad en cada instante es

${\vec {v}}={\dot {\vec {u}}}_{r}={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\vec {u}}}_{r}=C\omega e^{\omega t}\,{\vec {u}}_{r}+\omega r\,{\vec {u}}_{\theta }=C\omega e^{\omega t}\,({\vec {u}}_{r}+{\vec {u}}_{\theta })$

Hemos usado que $r=Ce^{\omega t}$. De aquí podemos obtener el vector tangente del triedro intrínseco

${\vec {T}}={\dfrac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,({\vec {u}}_{r}+{\vec {u}}_{\theta })$

Ahora podemos obtener el vector normal del triedro intrínseco derivando el vector tangente

${\vec {N}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} t}{|\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} t|}}$

Tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}({\dot {\vec {u}}}_{r}+{\dot {\vec {u}}}_{\theta })={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(\omega \,{\vec {u}}_{\theta }-\omega \,{\vec {u}}_{r})={\dfrac {\omega }{\sqrt {2}}}({\vec {u}}_{\theta }-{\vec {u}}_{r})$

El módulo de este vector es $\omega$, por lo que el vector normal es

${\vec {N}}=-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}({\vec {u}}_{r}-{\vec {u}}_{\theta })$

El vector binormal es

${\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {u}}_{r}&{\vec {u}}_{\theta }&{\vec {k}}\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}&{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}&{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}&0\end{array}}\right|={\vec {k}}$

El vector normal se puede calcular también a partir de la aceleración, calculando sus componentes tangencial y normal y usando la expresión

${\vec {N}}={\dfrac {{\vec {a}}-{\vec {a}}_{T}\,{\vec {T}}}{a_{N}}}$

Obtenemos la ley horaria $s(t)$ a partir del módulo de la velocidad. Tenemos

$|{\vec {v}}|={\sqrt {2}}C\omega e^{\omega t}$

La distancia que recorre la partícula en un intervalo de tiempo infinitesimal $\mathrm {d} t$ es

$\mathrm {d} s=|{\vec {v}}|\,\mathrm {d} t={\sqrt {2}}C\omega e^{\omega t}\,\mathrm {d} t$

Integramos en el tiempo para obtener $s(t)$. Empezamos a contar la distancia recorrida a partir de $t=0$

$s(t)=\int \limits _{0}^{t}|{\vec {v}}|\,\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{t}{\sqrt {2}}C\omega e^{\omega t}\,\mathrm {d} t={\sqrt {2}}C\left(e^{\omega t}\right)_{0}^{t}={\sqrt {2}}C\left(e^{\omega t}-1\right)$