Enunciado

Una partícula recorre una espiral logarítmica con coordenadas polares , donde , Aquí, es el tiempo y y son constantes. Encuentra la expresión del vector de posición en coordenadas polares y del triedro intrínseco en cada punto de la trayectoria en función del tiempo. Determina la ley horaria que da la distancia recorrida por la partícula en función del tiempo. Suṕon que en se tiene .

Solución

En coordenadas polares el vector de posición se escribe

Atención, no hay que confundir con . El primero es el vector de posición, el segundo es la coordenada radial, que es un escalar.

Podemos calcular la velocidad derivando respecto del tiempo. Hay que tener en cuenta que el vector depende del tiempo y su derivada es

Entonces la velocidad en cada instante es

Hemos usado que . De aquí podemos obtener el vector tangente del triedro intrínseco

Ahora podemos obtener el vector normal del triedro intrínseco derivando el vector tangente

Tenemos

El módulo de este vector es , por lo que el vector normal es

El vector binormal es

El vector normal se puede calcular también a partir de la aceleración, calculando sus componentes tangencial y normal y usando la expresión

Obtenemos la ley horaria a partir del módulo de la velocidad. Tenemos

La distancia que recorre la partícula en un intervalo de tiempo infinitesimal es

Integramos en el tiempo para obtener . Empezamos a contar la distancia recorrida a partir de