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Partícula moviéndose sobre una parábola, Noviembre 2014 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria descrita por la curva de ecuaciones implícitas y = A(1 − x2 / A2) y z = 0, donde A es una constante. La coordenada x varía en el intervalo x\in[0,A].

  1. Determina el vector tangente en función de la posición de la partícula
  2. Suponiendo que en t = 0 la distancia recorrida es s = 0 encuentra la expresión que da la distancia total recorrida sobre la curva.
  3. ¿Cuál es el vector normal a la trayectoria en x = 0?

2 Solución

2.1 Vector tangente

Podemos parametrizar la curva en función de la coordenada x

 
\vec{r}(x) = x\,\vec{\imath} + A\left(1-\dfrac{x^2}{A^2}\right)\,\vec{\jmath}

Calculamos el vector tangente usando la expresión

 
\vec{T}(x) = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}}{\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}\right|}

Derivando en la parametrización tenemos

 
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x} = \vec{\imath} - \dfrac{2x}{A}\,\vec{\jmath}

El módulo de este vector es

 
\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}\right|
=
\sqrt{1+\dfrac{4x^2}{A^2}} = \dfrac{\sqrt{A^2+4x^2}}{A}

Por tanto el vector tangente es

 
\vec{T} = \dfrac{A}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\imath} - \dfrac{2x}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\jmath}

2.2 Distancia recorrida

La distancia recorrida en un desplazamiento elemental es

 
\mathrm{d}s = |\mathrm{d}\vec{r}| = \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}\right|\,\mathrm{d}x
= \dfrac{\sqrt{A^2+4x^2}}{A}\,\mathrm{d}x

La distancia total recorrida es la suma de todos estos desplazamientos elementales, es decir

 
s = \int\limits_0^A \dfrac{\sqrt{A^2+4x^2}}{A}\,\mathrm{d}x

2.3 Vector normal en x = 0

La forma más fácil de encontrar este vector es dibujar la curva. A la derecha se muestra la gráfica escogiendo A = 1. Vemos que en x = 0 el vector normal es

 
\vec{N}(0) = -\vec{\jmath}

Otra forma más complicada es calcular el vector normal derivando el vector tangente,

 
\vec{N}(x) = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}x}}{\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}x}\right|}

El resultado es

 
\vec{N} = -\dfrac{2x}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\imath} - \dfrac{A}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\jmath}

Evaluándolo en x = 0 obtenemos el resultado anterior.

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