Un punto material pende verticalmente del extremo de un hilo inextensible y permanentemente tenso. Este se apoya y desliza sobre una circunferencia de radio variable con el tiempo en el intervalo ( y son constantes conocidas), y centrada en el origen de un sistema de referencia cartesiano . La longitud total del hilo es , y su otro extremo se halla fijo en un punto , tal que (ver figura). Determina:
Las ecuaciones horarias cartesianas del punto , y su posición final en el instante final .
Los vectores velocidad y aceleración de dicho punto en todo instante de tiempo.
La aceleración normal de y el radio de curvatura de su trayectoria en todo instante de tiempo, así como la posición del centro de curvatura de la trayectoria en el instante inicial.
Solución
Ecuaciones horarias del punto P
Nuestro primer objetivo es encontrar el vector de posición del punto . Podemos construir ese vector de la siguiente manera
Para el vector tenemos
Para el vector tenemos
El módulo es la longitud de la cuerda menos la longitud del segmento y del arco .
Los puntos , y están indicados en la figura.
En la figura vemos los ángulos y , con
Del triángulo rectángulo tenemos
Por otro lado
Igualando las dos expresiones obtenemos
La longitud del segmento es
Mientras que la longitud del arco es
Por tanto, el módulo es
Y el vector de posición de la partícula es
En el instante el valor de este vector es
Velocidad y aceleración
La velocidad es la derivada respecto del tiempo del vector de posición
La aceleración es la derivada respecto del tiempo del vector velocidad
Radio de curvatura
El radio de curvatura en cada punto de la trayectoria es
Como tenemos el vector velocidad expresado en una base cartesiana, podemos calcular su módulo
La aceleración normal es
Con lo que el radio de curvatura es
La posición del centro de curvatura en cada instante es
Nos lo piden sólo en el instante inicial, así que sólo tenemos que calcular el vector normal en el instante inicial. El vector normal es
En el instante inicial tenemos
En ese instante el vector tangente es
La aceleración tangencial es
Por tanto el vector normal es
El vector de posición del centro de curvatura en ese instante inicial es
Este punto está sobre el eje , un poquito por encima del origen.