Enunciado

Un punto material pende verticalmente del extremo de un hilo inextensible y permanentemente tenso. Este se apoya y desliza sobre una circunferencia de radio variable con el tiempo en el intervalo ( y son constantes conocidas), y centrada en el origen de un sistema de referencia cartesiano . La longitud total del hilo es , y su otro extremo se halla fijo en un punto , tal que (ver figura). Determina:

  1. Las ecuaciones horarias cartesianas del punto , y su posición final en el instante final .
  2. Los vectores velocidad y aceleración de dicho punto en todo instante de tiempo.
  3. La aceleración normal de y el radio de curvatura de su trayectoria en todo instante de tiempo, así como la posición del centro de curvatura de la trayectoria en el instante inicial.

Solución

Ecuaciones horarias del punto P

Nuestro primer objetivo es encontrar el vector de posición del punto . Podemos construir ese vector de la siguiente manera

Para el vector tenemos

Para el vector tenemos

El módulo es la longitud de la cuerda menos la longitud del segmento y del arco . Los puntos , y están indicados en la figura.

En la figura vemos los ángulos y , con

Del triángulo rectángulo tenemos

Por otro lado

Igualando las dos expresiones obtenemos

La longitud del segmento es

Mientras que la longitud del arco es

Por tanto, el módulo es

Y el vector de posición de la partícula es

En el instante el valor de este vector es

Velocidad y aceleración

La velocidad es la derivada respecto del tiempo del vector de posición

La aceleración es la derivada respecto del tiempo del vector velocidad

Radio de curvatura

El radio de curvatura en cada punto de la trayectoria es

Como tenemos el vector velocidad expresado en una base cartesiana, podemos calcular su módulo

La aceleración normal es

Con lo que el radio de curvatura es

La posición del centro de curvatura en cada instante es

Nos lo piden sólo en el instante inicial, así que sólo tenemos que calcular el vector normal en el instante inicial. El vector normal es

En el instante inicial tenemos

En ese instante el vector tangente es

La aceleración tangencial es

Por tanto el vector normal es

El vector de posición del centro de curvatura en ese instante inicial es

Este punto está sobre el eje , un poquito por encima del origen.