Enunciado

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial y un ángulo con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

Solución

Movimiento del proyectil

El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos el sistema de referencia como se indica en el dibujo, con el eje sobre la horizontal y el eje vertical al suelo. En este sistema de referencia, la gravedad es

La ecuación que determina la velocidad en función del tiempo es

Integrando una vez resulta

La velocidad inicial es

Con lo que la evolución de la velocidad en el tiempo es

Obtenemos la posición en cada instante del proyectil integrando la ecuación

Integrando obtenemos

Hemos supuesto que el movimiento parte del origen del sistema de referencia.

El punto de máxima altura se obtiene cuando la velocidad vertical se anula. Igualando a cero la velocidad obtenemos

En este instante la velocidad y la aceleración son perpendiculares, es decir, la aceleración es

Por tanto el radio de curvatura es