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Tiro oblicuo (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial v0 y un ángulo α con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

2 Solución

2.1 Movimiento del proyectil

El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos el sistema de referencia como se indica en el dibujo, con el eje OX sobre la horizontal y el eje OY vertical al suelo. En este sistema de referencia, la gravedad es


  \vec{g} = -g\,\vec{\jmath}

La ecuación que determina la velocidad en función del tiempo es


  \mathrm{d}\vec{v} = \vec{a}_0\mathrm{d} t\to
\left\{
  \begin{array}{l}
    \mathrm{d} v_x = 0\\
    \mathrm{d} v_y = -g\mathrm{d} t\\
    \mathrm{d} v_z = 0
  \end{array}
\right.

Integrando una vez resulta


 \vec{v}(t) =
\left\{
  \begin{array}{l}
    v_x = v_{x0}\\
    v_y = v_{y0}-g t\\
    v_z = v_{z0}
  \end{array}
\right.

La velocidad inicial es


  \vec{v}_0 = \left( v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha,0\right)

Con lo que la evolución de la velocidad en el tiempo es


  \vec{v}(t) = (v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-g t,0)

Obtenemos la posición en cada instante del proyectil integrando la ecuación


  \mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}(t)\mathrm{d} t\to
\left\{
  \begin{array}{l}
    \mathrm{d} x = v_x(t)\mathrm{d} t = v_{x0}\,\mathrm{d} t\\
    \mathrm{d} y = v_y(t)\mathrm{d} t= (v_{y0} - g t)\,\mathrm{d} t\\
    \mathrm{d} z = v_z(t)\mathrm{d} t= 0
  \end{array}
\right.

Integrando obtenemos


  \vec{r}(t) = 
  \left\{
    \begin{array}{l}
      x = v_{x0}\,t\\
      y = v_{y0}\,t-\dfrac{1}{2}gt^2\\
      z = 0
    \end{array}
\right.

Hemos supuesto que el movimiento parte del origen del sistema de referencia.

El punto de máxima altura se obtiene cuando la velocidad vertical se anula. Igualando a cero la velocidad vy(t) obtenemos


  T_m = \dfrac{v_{y0}}{g}=\dfrac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}

En este instante la velocidad y la aceleración son perpendiculares, es decir, la aceleración es


  \vec{a} = a_N(T_m)\vec{N} = -g\vec{\jmath} = \dfrac{v^2}{R_{\kappa}}\vec{\jmath}.

Por tanto el radio de curvatura es


  R_{\kappa} = \left|\dfrac{v^2}{a_N}\right| = \dfrac{v_{0x}^2}{g} =
  \dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}.

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