Tiro oblicuo (G.I.A.)

Enunciado

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial $v_{0}$ y un ángulo $\alpha$ con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

Solución

Movimiento del proyectil

El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos el sistema de referencia como se indica en el dibujo, con el eje $OX$ sobre la horizontal y el eje $OY$ vertical al suelo. En este sistema de referencia, la gravedad es

${\vec {g}}=-g\,{\vec {\jmath }}$

La ecuación que determina la velocidad en función del tiempo es

$\mathrm {d} {\vec {v}}={\vec {a}}_{0}\mathrm {d} t\to \left\{{\begin{array}{l}\mathrm {d} v_{x}=0\\\mathrm {d} v_{y}=-g\mathrm {d} t\\\mathrm {d} v_{z}=0\end{array}}\right.$

Integrando una vez resulta

${\vec {v}}(t)=\left\{{\begin{array}{l}v_{x}=v_{x0}\\v_{y}=v_{y0}-gt\\v_{z}=v_{z0}\end{array}}\right.$

La velocidad inicial es

${\vec {v}}_{0}=\left(v_{0}\cos \alpha ,v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha ,0\right)$

Con lo que la evolución de la velocidad en el tiempo es

${\vec {v}}(t)=(v_{0}\cos \alpha ,v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha -gt,0)$

Obtenemos la posición en cada instante del proyectil integrando la ecuación

$\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}(t)\mathrm {d} t\to \left\{{\begin{array}{l}\mathrm {d} x=v_{x}(t)\mathrm {d} t=v_{x0}\,\mathrm {d} t\\\mathrm {d} y=v_{y}(t)\mathrm {d} t=(v_{y0}-gt)\,\mathrm {d} t\\\mathrm {d} z=v_{z}(t)\mathrm {d} t=0\end{array}}\right.$

Integrando obtenemos

${\vec {r}}(t)=\left\{{\begin{array}{l}x=v_{x0}\,t\\y=v_{y0}\,t-{\dfrac {1}{2}}gt^{2}\\z=0\end{array}}\right.$

Hemos supuesto que el movimiento parte del origen del sistema de referencia.

El punto de máxima altura se obtiene cuando la velocidad vertical se anula. Igualando a cero la velocidad $v_{y}(t)$ obtenemos

$T_{m}={\dfrac {v_{y0}}{g}}={\dfrac {v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha }{g}}$

En este instante la velocidad y la aceleración son perpendiculares, es decir, la aceleración es

${\vec {a}}=a_{N}(T_{m}){\vec {N}}=-g{\vec {\jmath }}={\dfrac {v^{2}}{R_{\kappa }}}{\vec {\jmath }}.$

Por tanto el radio de curvatura es

$R_{\kappa }=\left|{\dfrac {v^{2}}{a_{N}}}\right|={\dfrac {v_{0x}^{2}}{g}}={\dfrac {v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }{g}}.$