Barra con extremos sobre los ejes, Enero 2012 (G.I.C.)

Enunciado

Dos partículas, $A$ y $B$, de masa $m$, están unidas por una barra rígida de longitud $L$ y masa despreciable. La partícula $A$ se mueve sobre el eje $OX$ con velocidad uniforme $v_{0}$, mientras que la partícula $B$ está obligada a moverse sobre el eje $OY$. Si en el instante $t=0$ la partícula $A$ se encontraba en el punto $O$

1. Encuentra la posición, velocidad y aceleración de la partícula $B$ en función de $v_{0}$ y del tiempo.
2. ¿Cuál es el vector de posición y la velocidad del punto medio de la barra ($C$) en función de $v_{0}$ y $t_{0}$?
3. Describe la curva que corresponde a la trayectoria del punto medio de la barra.
4. ¿Que tipo de movimiento describe el punto medio de la barra? Razona tu respuesta.

Solución

Extremo $B$

El vector de posición del extremo $B$ de la barra puede calcularse a partir de la posición del extremo $A$ y del vector ${\overrightarrow {AB}}$

${\vec {r}}^{\,B}={\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}$

El vector ${\overrightarrow {OB}}$ es el vector de posición del punto $A$. El extremo $A$ se mueve con velocidad de módulo $v_{0}$ uniforme sobre el eje $OX$. Por tanto su velocidad es

${\vec {v}}^{\,A}=v_{0}\,{\vec {\imath }}$

Como en el instante inicial el punto $A$ estaba en el origen de coordenadas, su vector de posición es

${\overrightarrow {OA}}=v_{0}t\,{\vec {\imath }}$

El vector ${\overrightarrow {AB}}$ puede calcularse como

${\overrightarrow {AB}}=-L\cos(\theta )\,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}$

donde $L$ es la longitud de la barra y $\theta$ es el ángulo de la figura. Tenemos

$\cos(\theta )={\dfrac {v_{0}t}{L}}\qquad \qquad \mathrm {sen} (\theta )={\dfrac {\sqrt {L^{2}-(v_{0}t)^{2}}}{L}}$

Por tanto el vector ${\overrightarrow {AB}}$ es

${\overrightarrow {AB}}=-v_{0}t\,{\vec {\imath }}+{\sqrt {L^{2}-v_{0}^{2}t^{2}}}\,{\vec {\jmath }}$

Ahora podemos expresar el vector de posición del extremo $B$, y derivando sucesivamente respecto del tiempo, su velocidad y aceleración

${\begin{array}{l}{\vec {r}}^{\,B}={\overrightarrow {OB}}={\sqrt {L^{2}-v_{0}^{2}t^{2}}}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {v}}^{\,B}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}=-{\dfrac {v_{0}^{2}t}{\sqrt {L^{2}-v_{0}^{2}t^{2}}}}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {a}}^{\,B}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}=-{\dfrac {v_{0}^{2}L^{2}}{(L^{2}-v_{0}^{2}t^{2})^{3/2}}}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Posición y velocidad del punto medio de la barra

Podemos proceder de forma similar al apartado anterior. El vector de posición del punto medio de la barra puede construirse como

${\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AC}}$

Como está en el punto medio, tenemos

${\overrightarrow {AC}}={\dfrac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}$

Entonces, el vector de posición del punto $C$ y su velocidad son

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OC}}={\dfrac {1}{2}}v_{0}t\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {L^{2}-v_{0}^{2}t^{2}}}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {v}}^{\,C}={\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {OC}}}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {1}{2}}v_{0}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {v_{0}^{2}t}{2{\sqrt {L^{2}-v_{0}^{2}t^{2}}}}}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Curva que describe el punto medio de la barra

Las componentes cartesianas del vector ${\overrightarrow {OC}}$ son

$x_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}v_{0}t\qquad \qquad y_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}{\sqrt {L^{2}-v_{0}^{2}t^{2}}}$

Elevando al cuadrado ambas componentes y sumándolas tenemos

$x_{C}^{2}+y_{C}^{2}={\dfrac {1}{4}}v_{0}^{2}t^{2}+{\dfrac {1}{4}}\left(L^{2}-v_{0}^{2}t^{2}\right)={\dfrac {L^{2}}{4}}$

Esta expresión puede escribirse

$x_{C}^{2}+y_{C}^{2}=(L/2)^{2}$

Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en el punto $O$ y radio $L/2$.

Tipo de movimiento del punto $C$

Por lo visto en el apartado anterior el movimiento es circular. Para precisar más podemos fijarnos en el módulo de la velocidad del punto $C$. Tenemos

$|{\vec {v}}^{\,C}|={\dfrac {v_{0}L}{2{\sqrt {L^{2}-t^{2}v_{0}^{2}}}}}$

La aceleración tangencial del punto $C$ se puede calcular como

$a_{t}^{C}={\dfrac {\mathrm {d} |{\vec {v}}^{\,C}|}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {v_{0}^{2}Lt}{2\left(L^{2}-v_{0}^{2}t^{2}\right)^{3/2}}}$

En el movimiento circular la aceleración tangencial puede calcularse como

$a_{t}=|{\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}|=\alpha L/2$

Por tanto, el movimiento es circular con aceleración angular

$\alpha ={\dfrac {a_{t}}{L/2}}={\dfrac {v_{0}^{2}t}{\left(L^{2}-v_{0}^{2}t^{2}\right)^{3/2}}}$