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Partícula con cuerda deslizando sobre punto de una circunferencia (Nov. 2017 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m cuelga de una cuerda inextensible sin masa. La cuerda desliza sobre el punto A. A su vez, este punto se mueve sobre una circunferencia de radio R. La longitud de la cuerda cambia en el tiempo según la ley l(t) = 2R(1 − Ωt). En el instante inicial el punto A se encontraba sobre el eje X, a la derecha del origen.

  1. Escribe el vector de posición de la partícula
  2. El punto A realiza un movimiento circular uniforme con una aceleración que cumple |\vec{a}_A| = 9R\Omega^2. Encuentra la velocidad de la partícula P.
  3. Calcula el vector normal de la trayectoria de la partícula y su curvatura en el instante t = 0.

2 Solución

2.1 Vector de posición

El vector de posición de la partícula P puede escribirse como


\overrightarrow{OP} =
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}

Tenemos


\overrightarrow{OA} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.

Por otra parte


\overrightarrow{AP} = -\overline{AP}\,\vec{\jmath} = -(l-R)\,\vec{\jmath}
=
-(R-2\Omega t)\,\vec{\jmath}.

Entonces


\overrightarrow{OP} = R\cos\theta\,\vec{\imath} 
+
R\,(\,\mathrm{sen}\,\theta -1 + 2\Omega t)\,\vec{\jmath}.

2.2 Velocidad de la partícula

El punto A realiza un movimiento circular uniforme. Entonces


\dot{\theta}=cte, \qquad \ddot{\theta}=0.

Tenemos


\vec{v}_A = \dot{\overrightarrow{OA}} = -R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}.

Y derivando otra vez


\vec{a}_A = \dot{\vec{v}}_A = -R\dot{\theta}^2\cos\theta\,\vec{\imath} - R\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.

El módulo de la aceleración es


|\vec{a}_A| = R\dot{\theta}^2 = 9R\Omega^2.

Entonces


\dot{\theta} = 3\Omega \Longrightarrow \theta = 3\Omega t.

Hemos usado que θ(0) = 0, como dice el enunciado, pues en el instante inicial el punto A estaba sobre el eje X a la derecha del origen.

Entonces, para el punto P tenemos


\begin{array}{l}
\vec{v}_P = R\Omega \,[-3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (2+3\cos\theta)\,\vec{\jmath}],\\
\vec{a}_P = -9R\Omega^2\,(\cos\theta\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}).
\end{array}

2.3 Vector normal y curvatura en el instante inicial

En t = 0 tenemos θ = 0. La velocidad y aceleración del punto P en ese instante son


\vec{v}_0 = 5R\Omega\,\vec{\jmath},
\qquad
\vec{a}_0 = -9R\Omega^2\,\vec{\imath}.

Como son perpendiculares, la aceleración sólo tiene componente normal. Es decir


a_N = |\vec{a}_0| = 9R\Omega^2

El vector normal es


\vec{N} = -\vec{\imath},

y la curvatura es


\kappa = \dfrac{a_N}{|\vec{v}_0|^2} = \dfrac{9}{25R}.

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