Partícula con cuerda deslizando sobre punto de una circunferencia (Nov. 2017 G.I.C.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ cuelga de una cuerda inextensible sin masa. La cuerda desliza sobre el punto $A$. A su vez, este punto se mueve sobre una circunferencia de radio $R$. La longitud de la cuerda cambia en el tiempo según la ley $l(t)=2R(1-\Omega t)$. En el instante inicial el punto $A$ se encontraba sobre el eje $X$, a la derecha del origen.

1. Escribe el vector de posición de la partícula
2. El punto $A$ realiza un movimiento circular uniforme con una aceleración que cumple $|{\vec {a}}_{A}|=9R\Omega ^{2}$. Encuentra la velocidad de la partícula $P$.
3. Calcula el vector normal de la trayectoria de la partícula y su curvatura en el instante $t=0$.

Solución

Vector de posición

El vector de posición de la partícula $P$ puede escribirse como

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AP}}$

Tenemos

${\overrightarrow {OA}}=R\cos \theta \,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}.$

Por otra parte

${\overrightarrow {AP}}=-{\overline {AP}}\,{\vec {\jmath }}=-(l-R)\,{\vec {\jmath }}=-(R-2\Omega t)\,{\vec {\jmath }}.$

Entonces

${\overrightarrow {OP}}=R\cos \theta \,{\vec {\imath }}+R\,(\,\mathrm {sen} \,\theta -1+2\Omega t)\,{\vec {\jmath }}.$

Velocidad de la partícula

El punto $A$ realiza un movimiento circular uniforme. Entonces

${\dot {\theta }}=cte,\qquad {\ddot {\theta }}=0.$

Tenemos

${\vec {v}}_{A}={\dot {\overrightarrow {OA}}}=-R{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+R{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}.$

Y derivando otra vez

${\vec {a}}_{A}={\dot {\vec {v}}}_{A}=-R{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta \,{\vec {\imath }}-R{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}.$

El módulo de la aceleración es

$|{\vec {a}}_{A}|=R{\dot {\theta }}^{2}=9R\Omega ^{2}.$

Entonces

${\dot {\theta }}=3\Omega \Longrightarrow \theta =3\Omega t.$

Hemos usado que $\theta (0)=0$, como dice el enunciado, pues en el instante inicial el punto $A$ estaba sobre el eje $X$ a la derecha del origen.

Entonces, para el punto $P$ tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{P}=R\Omega \,[-3\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+(2+3\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}],\\{\vec {a}}_{P}=-9R\Omega ^{2}\,(\cos \theta \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}).\end{array}}$

Vector normal y curvatura en el instante inicial

En $t=0$ tenemos $\theta =0$. La velocidad y aceleración del punto $P$ en ese instante son

${\vec {v}}_{0}=5R\Omega \,{\vec {\jmath }},\qquad {\vec {a}}_{0}=-9R\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}.$

Como son perpendiculares, la aceleración sólo tiene componente normal. Es decir

$a_{N}=|{\vec {a}}_{0}|=9R\Omega ^{2}$

El vector normal es

${\vec {N}}=-{\vec {\imath }},$

y la curvatura es

$\kappa ={\dfrac {a_{N}}{|{\vec {v}}_{0}|^{2}}}={\dfrac {9}{25R}}.$