Cuestión de cinemática del punto, Noviembre 2012 (F1 GIA)

Enunciado

Una partícula $P$ se mueve respecto de un sistema de referencia cartesiano $OXYZ$ de manera que en un cierto instante $t_{0}$, su velocidad ${\vec {v}}$ y su aceleración ${\vec {a}}$ están descritas por los vectores

${\vec {v}}={\vec {\imath }}+{\sqrt {3}}\!\ {\vec {k}}\quad \mathrm {y} \quad {\vec {a}}={\vec {\imath }}+{\sqrt {5}}{\vec {\jmath }}-{\sqrt {3}}\!\ {\vec {k}}\mathrm {,}$

con sus componentes medidas en $\mathrm {m} /\mathrm {s}$ y $\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$,respectivamente. Determine, en el instante considerado, las siguientes magnitudes cinemáticas:

1. Módulo de la velocidad (celeridad) y su derivada.
2. Componente normal de la aceleración y radio de curvatura de la trayectoria.
3. Vector aceleración normal.
4. Triedro intrínseco.
5. La localización del centro de curvatura si en ese instante la partícula se halla en el origen.

Solución

En el instante $t_{0}$, cuando la

partícula ocupa la posición $P(t_{0})$, su velocidad y aceleración instantánea son sendos vectores de coordenadas conocidad en un determinado sistema de referencia cartesiano $OXYZ$. Sin embargo, se quieren determinar sus componentes en el triedro intrínseco; es decir, el formado por las direcciones tangente ${\vec {T}}$, normal ${\vec {N}}$ y binormal ${\vec {B}}$ a la trayectoria en el punto $P(t_{0})$:

 

${\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {v}}(t_{0})=v(t_{0})\!\ {\vec {T}}={\vec {v}}\\\\\displaystyle {\vec {a}}(t_{0})=a_{T}(t_{0})\!\ {\vec {T}}+a_{N}(t_{0})\!\ {\vec {N}}={\vec {a}}\end{array}}$

Celeridad y su derivada

Al tomar como sentido del vector tangente en $P(t_{0})$ el sentido de movimiento de la partícula en dicho instante, se tendrá que la celeridad $v(t_{0})$ coincide con el módulo del vector velocidad instantánea en $t_{0}$, pues el vector tangente es, por defininición un vector unitario. En consecuencia, la magnitud $v(t_{0})$ puede determinarse fácilmente a partir de las coordenas cartesianas de la velocidad:

$v(t_{0})=|{\vec {v}}(t_{0})|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}$   ⇒   $v(t_{0})={\sqrt {1+3}}\;\mathrm {m} /\mathrm {s} =2\;\mathrm {m} /\mathrm {s}$

Y además podemos conocer cómo es el cambio que por unidad de tiempo está experimentando la celeridad en el instante $t_{0}$, si determinamos la componente tangencial de la aceleración instantánea en dicho instante. Esto lo podemos hacer evaluando el producto escalar de los vectores velocidad y aceleración instantánea:

${\vec {v}}(t_{0})\cdot {\vec {a}}(t_{0})=v(t_{0})\!\ a_{T}(t_{0})={\vec {v}}\cdot {\vec {a}}$   ⇒   ${\frac {\mathrm {d} v(t_{0})}{\mathrm {d} t}}=a_{T}(t_{0})={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{v(t_{0})}}=-1\;\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

Obsérvese que el hecho de que la aceleración tangencial instantánea sea negativa y, por consiguiente, la celeridad disminuya, va a estar directamente relacionada con que los vectores ${\vec {v}}$ y ${\vec {a}}$ formen un ángulo mayor que $\pi /2$, de manera que su producto escalar es negativo.

Componente normal de la aceleración y radio de curvatura

La componente normal de la aceleración instantánea, $a_{N}(t_{0})$, la calculamos a partir del módulo del producto vectorial de los vectores velocidad y aceleración. Recuérdese que esta magnitud es siempre positiva o nula, y que el triedro instrínseco está constituido por tres vectores unitarios, de manera que...

$|{\vec {v}}(t_{0})\times {\vec {a}}(t_{0})|=v(t_{0})\!\ a_{N}(t_{0})=|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|$   ⇒   $a_{N}(t_{0})={\frac {|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}{v(t_{0})}}={\frac {|-{\sqrt {15}}\!\ {\vec {\imath }}+2{\sqrt {3}}\!\ {\vec {\jmath }}+{\sqrt {5}}\!\ {\vec {k}}|}{2}}\;\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}={\sqrt {8}}\;\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

Por otra parte, el radio de curvatura $R_{\kappa }(P)$ de la trayectoria seguida por la partícula, en el punto $P$ que ésta ocupa en el instante $t_{0}$ es igual a la relación entre el cuadrado de la celeridad y la componente normal de la aceleración:

$a_{N}(t_{0})={\frac {v^{2}(t_{0})}{R_{\kappa }(P)}}$   ⇒   $R_{\kappa }(P)={\frac {v^{2}(t_{0})}{a_{N}(t_{0})}}={\sqrt {2}}\!\ \mathrm {m}$

La curvatura es

$\kappa ={\dfrac {1}{R_{\kappa }}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,\mathrm {m^{-1}}$

Aceleración normal

La aceleración normal de la partícula en el instante bajo estudio es el vector cuyo módulo es la componente $a_{N}(t_{0})$ de la aceleración y tiene la dirección y el sentido del vector unitario normal a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en dicho instante. El módulo de este vector lo acabamos de calcular y faltaría por determinar el vector normal a la trayectoria. Este vector es igual al producto vectorial de los vectores binormal y tangente. El primero de ellos es un vector unitario con la dirección y el sentido del producto vectorial de la velocidad por la aceleración; el segundo es el unitario en la dirección y el sentido de la velocidad:

${\vec {N}}={\vec {B}}\times {\vec {T}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}\times {\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {1}{2{\sqrt {8}}}}\ \left(3\!\ {\vec {\imath }}+2{\sqrt {5}}\!\ {\vec {\jmath }}-{\sqrt {3}}\!\ {\vec {k}}\right)$

Se tendría, por tanto,

${\vec {a}}_{N}(t_{0})=a_{N}(t_{0})\!\ {\vec {N}}$   ⇒   ${\vec {a}}_{N}(t_{0})={\frac {1}{2}}\ \left(3\!\ {\vec {\imath }}+2{\sqrt {5}}\!\ {\vec {\jmath }}-{\sqrt {3}}\!\ {\vec {k}}\right)\;\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

Otra posible forma de determinar la aceleración normal es restando al vector aceleración instantánea la compomente tangencial multiplicada por el vector tangente a la trayectoria en el punto considerado. El vector tangente es

${\vec {T}}={\dfrac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\dfrac {1}{2}}\,({\vec {\imath }}+{\sqrt {3}}\,{\vec {\jmath }})$

La aceleración tangencial es

${\vec {a}}_{T}=a_{T}{\vec {T}}=-{\dfrac {1}{2}}\,({\vec {\imath }}+{\sqrt {3}}\,{\vec {\jmath }})$

Es decir,

${\vec {a}}_{N}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{T}={\dfrac {3}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\sqrt {5}}\,{\vec {\jmath }}-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {k}}$

Triedro intrínseco

El vector normal es

${\vec {N}}={\dfrac {{\vec {a}}-a_{T}{\vec {T}}}{a_{N}}}={\dfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,\left({\dfrac {3}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\sqrt {5}}\,{\vec {\jmath }}-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {k}}\right)$

El vector binormal puede calcularse de dos formas

${\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}={\dfrac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}={\dfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,\left(-{\dfrac {\sqrt {15}}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\sqrt {3}}{\vec {\jmath }}+{\dfrac {\sqrt {5}}{2}}\,{\vec {k}}\right)$

El triedro intrínseco lo forman

$\{{\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}}\}$

Centro de curvatura

Si la partícula está en el origen el vector de posición del centro de curvatura es

${\vec {r}}_{\kappa }=R_{\kappa }{\vec {N}}={\dfrac {1}{4}}\,(3\,{\vec {\imath }}+2{\sqrt {5}}\,{\vec {\jmath }}-{\sqrt {3}}\,{\vec {k}})$