F1 GIA PPC 2013, Punto moviéndose en una circunferencia sobre un plano

Enunciado

Un punto material $P$ se mueve recorriendo la circunferencia $\Gamma$ contenida en un plano fijo $\Pi$ y cuyo centro es el punto $C$, dado por el segmento orientado ${\overrightarrow {OC}}={\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$, cuyas componentes se miden en metros (m) y están referidas a un sistema cartesiano $OXYZ$. En el instante inicial $(t=0)$, el punto móvil $P$ ocupa la posición determinada por el segmento orientado ${\overrightarrow {OP}}_{0}=2\,{\vec {\jmath }}$. A partir de ́esta, la partícula realiza un movimiento circular caracterizado por un vector rotación instantánea o velocidad angular, cuyas componentes medidas en radianes por segundo son:

${\vec {\omega }}(t)=\cos(\omega _{0}t)\left({\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\right)\,\mathrm {(rad/s)} ;\quad \mathrm {con} \quad \omega _{0}={\dfrac {3}{2\pi }}\,\mathrm {rad/s}$

El movimiento se verifica en el intervalo de tiempo $0\leq t\leq \pi /2\omega _{0}$ , de manera que la partícula recorre la circunferencia una sola vez, y siempre en sentido antihorario.

1. ¿Cómo es la ley horaria $\theta (t)$ que describe el ́angulo recorrido por el segmento orientado ${\overrightarrow {CP}}$, desde el instante inicial hasta el instante $t$?
2. ¿Cómo es el vector binormal del triedro intrínseco a la trayectoria, en función de la posición de la partícula?
3. ¿Cómo es la curvatura de la trayectoria durante el movimiento?
4. ¿Cómo es la velocidad instantánea de la partícula en $t=0$?
5. Calcule las componentes tangencial y normal de la velocidad en el instante inicial

Ley horaria para $b\theta$

El vector rotación se define como

${\vec {\omega }}(t)={\dot {\theta }}\,{\vec {n}}$

El vector ${\vec {n}}$ se obtiene dividiendo ${\vec {omega}}$ por su módulo

$|{\vec {\omega }}|=\cos(\omega _{t}){\sqrt {1^{2}+2^{2}+2^{2}}}=3\cos(\omega _{0}t)$

Por tanto

${\vec {n}}={\dfrac {1}{3}}\left({\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\right)$

Comparando ${\vec {\omega }}$ y ${\vec {n}}$ vemos que

${\vec {\omega }}=3\cos(\omega _{0}t)\left({\dfrac {1}{3}}\left({\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\right)\right)=3\cos(\omega _{0}t)\,{\vec {n}}$

Por tanto

${\dot {\theta }}=3\cos(\omega _{0}t)$

Esta es una ecuación diferencial que podemos integrar.

${\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=3\cos(\omega _{0}t)\Rightarrow \mathrm {d} \theta =3\cos(\omega _{0}t)\,\mathrm {d} t$

Integramos en los dos lados e incorporamos en los límites la condición inicial $\theta (0)=0$, pues ${\overrightarrow {CP}}(0)={\overrightarrow {CP_{0}}}$

$\int \limits _{0}^{\theta (t)}\mathrm {d} \theta =\int \limits _{0}^{t}3\cos(\omega _{0}t)\,\mathrm {d} t\Rightarrow \theta (t)={\dfrac {3}{\omega _{0}}}\,\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t)$

Sustituyendo el valor de $\omega _{0}$ obtenemos

$\theta (t)=2\pi \,\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t)\,\mathrm {(rad)}$

Vector binormal

Como la trayectoria es una circunferencia plana el vector binormal es siempre el mismo, y coincide con el vector ${\vec {n}}$ calculado antes

${\vec {B}}={\vec {n}}={\dfrac {1}{3}}\left({\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\right)$

Curvatura de la trayectoria

Al ser una circunferencia, la curvatura es constante e igual a la inversa del radio de la circunferencia

$\kappa ={\dfrac {1}{R}}$

El radio es el módulo del vector ${\overrightarrow {CP_{0}}}$

${\overrightarrow {CP_{0}}}={\overrightarrow {OP_{0}}}-{\overrightarrow {OC}}={\vec {\jmath }}-{\vec {k}}$

Por tanto

$R={\sqrt {2}}\,\mathrm {(m)} ;\qquad \kappa ={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,\mathrm {(m^{-1})}$

Velocidad en el instante inicial

Podemos calcular la velocidad a partir de vector rotación y del vector de posición respecto del centro de la circunferencia

${\vec {v}}(0)={\vec {\omega }}(0)\times {\overrightarrow {CP_{0}}}=-4\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\quad \mathrm {(m/s)}$

Componentes intrínsecas de la aceleración en el instante inicial

La aceleración normal es

$a_{N}(0)=|{\vec {\omega }}|(0)^{2}R=9\times {\sqrt {2}}\approx 12.73\,\mathrm {m/s^{2}}$

Para la aceleración tangencial tenemos

$a_{T}(0)=\alpha (0)R={\ddot {\theta }}(0)R=0$

Aquí $\alpha ={\ddot {\theta }}$ es la aceleración angular.