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F1 GIA PPC 2013, Punto moviéndose en una circunferencia sobre un plano

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un punto material P se mueve recorriendo la circunferencia Γ contenida en un plano fijo Π y cuyo centro es el punto C, dado por el segmento orientado \overrightarrow{OC} = \vec{\jmath} + \vec{k}, cuyas componentes se miden en metros (m) y están referidas a un sistema cartesiano OXYZ. En el instante inicial (t = 0), el punto móvil P ocupa la posición determinada por el segmento orientado \overrightarrow{OP}_0 = 2\,\vec{\jmath}. A partir de ́esta, la partícula realiza un movimiento circular caracterizado por un vector rotación instantánea o velocidad angular, cuyas componentes medidas en radianes por segundo son:


\vec{\omega}(t) = \cos(\omega_0t)\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right) \,\mathrm{(rad/s)}; \quad \mathrm{con}\quad
\omega_0 = \dfrac{3}{2\pi}\,\mathrm{rad/s}

El movimiento se verifica en el intervalo de tiempo 0 \leq t \leq \pi/2\omega_0 , de manera que la partícula recorre la circunferencia una sola vez, y siempre en sentido antihorario.

  1. ¿Cómo es la ley horaria θ(t) que describe el ́angulo recorrido por el segmento orientado \overrightarrow{CP} , desde el instante inicial hasta el instante t?
  2. ¿Cómo es el vector binormal del triedro intrínseco a la trayectoria, en función de la posición de la partícula?
  3. ¿Cómo es la curvatura de la trayectoria durante el movimiento?
  4. ¿Cómo es la velocidad instantánea de la partícula en t = 0?
  5. Calcule las componentes tangencial y normal de la velocidad en el instante inicial

1.1 Ley horaria para bθ

El vector rotación se define como


\vec{\omega}(t) = \dot{\theta}\,\vec{n}

El vector \vec{n} se obtiene dividiendo \vec{omega} por su módulo


|\vec{\omega}| = \cos(\omega_t) \sqrt{1^2+2^2+2^2} = 3\cos(\omega_0t)

Por tanto


\vec{n} = \dfrac{1}{3}\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right)

Comparando \vec{\omega} y \vec{n} vemos que


\vec{\omega} = 3\cos(\omega_0t)\left(\dfrac{1}{3}\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right)\right)
=
3\cos(\omega_0t)\,\vec{n}

Por tanto


\dot{\theta} = 3\cos(\omega_0t)

Esta es una ecuación diferencial que podemos integrar.


\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = 3\cos(\omega_0t)
\Rightarrow
\mathrm{d}\theta = 3\cos(\omega_0t)\,\mathrm{d}t

Integramos en los dos lados e incorporamos en los límites la condición inicial θ(0) = 0, pues \overrightarrow{CP}(0)= \overrightarrow{CP_0}


\int\limits_0^{\theta(t)}\mathrm{d}\theta = \int\limits_0^t 3\cos(\omega_0t)\,\mathrm{d}t
\Rightarrow
\theta(t) = \dfrac{3}{\omega_0}\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t)

Sustituyendo el valor de ω0 obtenemos


\theta(t) = 2\pi\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t)\,\mathrm{(rad)}

1.2 Vector binormal

Como la trayectoria es una circunferencia plana el vector binormal es siempre el mismo, y coincide con el vector \vec{n} calculado antes


\vec{B} = \vec{n} = \dfrac{1}{3}\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right)

1.3 Curvatura de la trayectoria

Al ser una circunferencia, la curvatura es constante e igual a la inversa del radio de la circunferencia


\kappa = \dfrac{1}{R}

El radio es el módulo del vector \overrightarrow{CP_0}


\overrightarrow{CP_0} = \overrightarrow{OP_0} - \overrightarrow{OC} 
=
\vec{\jmath} - \vec{k}

Por tanto


R = \sqrt{2} \, \mathrm{(m)}; \qquad \kappa = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\mathrm{(m^{-1})}

1.4 Velocidad en el instante inicial

Podemos calcular la velocidad a partir de vector rotación y del vector de posición respecto del centro de la circunferencia


\vec{v}(0) = \vec{\omega}(0)\times\overrightarrow{CP_0}
=
-4\,\vec{\imath} + \vec{\jmath} + \vec{k} \quad \mathrm{(m/s)}

1.5 Componentes intrínsecas de la aceleración en el instante inicial

La aceleración normal es


a_N(0) = |\vec{\omega}|(0)^2R = 9\times\sqrt{2} \approx 12.73 \,\mathrm{m/s^2}

Para la aceleración tangencial tenemos


a_T(0) = \alpha(0)R = \ddot{\theta}(0)R = 0

Aquí \alpha=\ddot{\theta} es la aceleración angular.

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