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Partícula en movimiento rectilíneo sometida a fuerza dependiente de la velocidad, Noviembre 2017 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula realiza un movimiento rectilíneo de modo que, en cada instante, su aceleración es a = − kv2. En el instante inicial su velocidad es v0 > 0 y está situada en el origen. Calcula su velocidad y posición en cada instante.

2 Solución

2.1 Velocidad

El enunciado nos da una ecuación diferencial para v(t)


a = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -kv^2
\Longrightarrow
\mathrm{d}v = -kv^2\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}v}{v^2} = -k\mathrm{d}t

Integramos en los dos lados


\dfrac{1}{v} = kt + C

La constante queda determinada por la condición inicial


t=0 \Longrightarrow \dfrac{1}{v_0} = C

Despejando tenemos


v(t) = \dfrac{v_0}{1+kv_0t}

2.2 Posición

Ahora planteamos la ecuación diferencial para x(t)


v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \dfrac{v_0}{1+kv_0t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}x = \dfrac{v_0}{1+kv_0t}\,\mathrm{d}t

Integrando


x = \dfrac{1}{k}\ln(1+kv_0t) + C

De nuevo determinamos la constante de integración a partir de la condición inicial


t=0 \Longrightarrow x=0 = \ln(1) + C \Longrightarrow C = 0

Entonces


x = \dfrac{1}{k}\ln(1+kv_0t)

2.3 Comentario sobre la corrección del ejercicio en la Prueba de Control

Una de las opciones ofrecidas en el test de la Prueba era, para la velocidad

v = v0kv2t,

y para la posición


x = v_0t - \dfrac{1}{2}kv^2t^2.

Esto no es correcto. Estas expresiones resultan de aplicar las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, pero en este caso la aceleración no es constante, a depende de la velocidad. Hay que integrar la ecuación diferencial, como hemos hecho arriba.

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