Enunciado

Una partícula se mueve de modo que, en todo instante, su curvatura es y su aceleración tangencial es , siendo y constantes. Suponemos que en el instante inicial la partícula está en reposo.

  1. ¿Cuáles son las unidades base de las constantes en el SI?
  2. Suponiendo que en se tiene , calcula la distancia recorrida en cada instante de tiempo
  3. Calcula el módulo de la aceleración en cada instante.

Solución

Dimensiones de las constantes

La curvatura es la inversa del radio de curvatura, es decir, su unidad base en el SI es . Por tanto las unidades de la constante son

Para la constante tenemos

Distancia recorrida en función del tiempo

La aceleración tangencial es la derivada de la celeridad respecto del tiempo

Esta es una ecuación diferencial en variables separables. Pasando a la derecha tenemos

Integramos entre el instante inicial y un instante arbitrario , utilizando que la partícula parte del reposo

Integrando obtenemos

La distancia recorrida por la partícula es

Módulo de la aceleración

A partir de la curvatura y el módulo de la velocidad obtenemos la aceleración normal

El módulo de la aceleración es