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Partícula con curvatura y aceleración tangencial dependientes del tiempo, Noviembre 2014 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve de modo que, en todo instante, su curvatura es κ = At y su aceleración tangencial es aT = Bt, siendo A y B constantes. Suponemos que en el instante inicial la partícula está en reposo.

  1. ¿Cuáles son las unidades base de las constantes en el SI?
  2. Suponiendo que en t = 0 se tiene s = 0, calcula la distancia recorrida en cada instante de tiempo
  3. Calcula el módulo de la aceleración en cada instante.

2 Solución

2.1 Dimensiones de las constantes

La curvatura es la inversa del radio de curvatura, es decir, su unidad base en el SI es m − 1. Por tanto las unidades de la constante A son

[A] = m − 1s − 1

Para la constante B tenemos

 
[B] = \dfrac{[a_T]}{[t]} = \mathrm{m/s^3}

2.2 Distancia recorrida en función del tiempo

La aceleración tangencial es la derivada de la celeridad respecto del tiempo

 
\dfrac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t} = a_T = Bt

Esta es una ecuación diferencial en variables separables. Pasando dt a la derecha tenemos

 
\mathrm{d}|\vec{v}| = Bt\,\mathrm{d}t

Integramos entre el instante inicial y un instante arbitrario t, utilizando que la partícula parte del reposo

 
\int\limits_0^{|\vec{v}|(t)}\mathrm{d}|\vec{v}| = \int\limits_0^tBt\,\mathrm{d}t

Integrando obtenemos

 
|\vec{v}|(t) = \dfrac{1}{2}Bt^2

La distancia recorrida por la partícula es

 
s(t) = \int\limits_0^t\mathrm{d}s = \int\limits_0^t |\vec{v}|\,\mathrm{d}t 
= \int\limits_0^t\dfrac{|}{2}Bt^2\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{6}Bt^3

2.3 Módulo de la aceleración

A partir de la curvatura y el módulo de la velocidad obtenemos la aceleración normal

 
a_N = \kappa|\vec{v}|^2 = \dfrac{1}{4} AB^2t^5

El módulo de la aceleración es

 
|\vec{a}| = \sqrt{a_T^2 + a_N^2} = Bt\sqrt{1+\dfrac{A^2B^2t^8}{16}}

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