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Dos partículas unidas por una barra (Sep. 2018 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Las partículas A y B, ambas con masa m, están unidas por una barra rígida de longitud 2L y masa despreciable. El punto C es el punto medio de la barra. La partícula A está obligada a moverse en el eje fijo OX, como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra que une las partículas forma un ángulo θ(t) con el eje OX. La partícula A se mueve con velocidad constante \vec{v}_0 = v_0\,\vec{\imath}. En el instante inicial la partícula A se encontraba en el punto O y θ(0) = 0. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

  1. Encuentra la expresión de los vectores de posición \vec{r}_A, \vec{r}_B y \vec{r}_C en función de v0, L, θ y t.
  2. Si el ángulo varía como \theta(t)=\dfrac{v_0}{L}t, calcula la velocidad y aceleración de las partículas A y B y del centro de masas del sistema.
  3. El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal \vec{F}_A aplicada sobre la partícula A. Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
  4. Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de O en el instante t1 = πL / 2v0.
  5. Supongamos ahora que la partícula B se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el OX es constante e igual a 2v0. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir θ(t) para que esto sea posible.

2 Solución

2.1 Vectores de posición

Como la partícula A se mueve siempre sobre el eje OX con velocidad uniforme v0, y empieza su movimiento en el origen tenemos


\vec{r}_A = \overrightarrow{OA} = v_0t\,\vec{\imath}.

El vector de posición del punto B es


\vec{r}_B = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}.

Del dibujo vemos que


\overrightarrow{AB} = 2L\cos\theta\,\vec{\imath} + 2L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.

Entonces


\vec{r}_B = \overrightarrow{OB} = (v_0t + 2L\cos\theta)\,\vec{\imath} + 2L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}

Para el punto C tenemos


\vec{r}_C = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} =
(v_0t + L\cos\theta)\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}

2.2 Velocidad y aceleración con θ(t) dada

En este caso tenemos


\theta(t) = \dfrac{v_0}{L}t \Longrightarrow \dot{\theta} = \dfrac{v_0}{L}

Las velocidades de las partículas A y B son


\begin{array}{l}
\vec{v}_A = \dot{\vec{r}}_A = v_0\,\vec{\imath}\\
\\
\vec{v}_B = \dot{\vec{r}}_B = 
(v_0 -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + 2L\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\jmath}
=
\left(v_0 -2v_0\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\right)\,\vec{\imath} + 2v_0\,\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath}
\end{array}

La barra no tiene masa. Como las dos masas son iguales, por simetría el Centro de Masas coincide con el punto C. Su velocidad es


\vec{v}_C = \dot{\vec{r}}_C = 
(v_0 -L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + L\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\jmath}
=
\left(v_0 - v_0\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\right)\,\vec{\imath} + v_0\,\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath}

Derivamos otra vez respecto del tiempo para obtener las aceleraciones


\begin{array}{l}
\vec{a}_A = \dot{\vec{v}}_A = \vec{0}\\
\\
\vec{a}_B = \dot{\vec{v}}_B = 
-2v_0\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath} - 2v_0\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\vec{\jmath}
=
-\left(\dfrac{2v_0^2}{L}\right)\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\imath} 
-
\left(\dfrac{2v_0^2}{L}\right)\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath} \\
\\
\vec{a}_C = \dot{\vec{v}}_C = 
-v_0\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath} - v_0\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\vec{\jmath}
=
-\left(\dfrac{v_0^2}{L}\right)\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\imath} 
-
\left(\dfrac{v_0^2}{L}\right)\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath} 
\end{array}

2.3 Fuerzas sobre el sistema

La imagen muestra las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Las fuerzas entre la barra y las partículas son internas y no afectan al movimiento. El Teorema de la Cantidad de Movimiento (T.C.M.) dice


M\vec{a}_{CM} = \vec{P}_A + \vec{P}_B + \vec{N}_A + \vec{F}_A

La masa total del sistema es M = 2m. El Centro de Masas es el punto C. Las fuerzas pueden expresarse como


\begin{array}{l}
\vec{P}_A = -mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{P}_B = -mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{N}_A = N_A\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_A = F_0\,\vec{\imath}.
\end{array}

Las incógnitas son NA y F0. A partir de T.C.M. tenemos


\begin{array}{lcl}
X) & \to & -\dfrac{2mv_0^2}{L}\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right) = F_0,\\
Y) & \to & -\dfrac{2mv_0^2}{L}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right) = -2mg + N_A\\
\end{array}

De aquí obtenemos F0 y NA. Tenemos


\begin{array}{l}
\vec{F}_A = -\dfrac{2mv_0^2}{L}\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\imath},\\
\\
\vec{N}_A = \left(2mg - \dfrac{2mv_0^2}{L}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\right)\,\vec{\jmath}.
\end{array}

2.4 Energía cinética y momento cinético

En el instante t1 = πL / 2v0 tenemos θ(t1) = π / 2. Entonces los vectores de posición y velocidad de las partículas A y B son


\begin{array}{lcl}
\vec{r}_A(t_1) = \dfrac{\pi L}{2}\,\vec{\imath} & \quad & \vec{v}_A(t_1) = v_0\,\vec{\imath}\\
\\
\vec{r}_B(t_1) = \dfrac{\pi L}{2}\,\vec{\imath} + 2L\,\vec{\jmath} & \quad & \vec{v}_B(t_1) = -v_0\,\vec{\imath}
\end{array}

La energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de las dos partículas (la barra no tiene masa)


E_c(t_1) = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_A(t_1)|^2 + \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_B(t1)|^2 
=
mv_0^2.

El momento cinético del sistema respecto de O es la suma del momento de las dos partículas (de nuevo, la barra no tiene masa)


\vec{L}_O(t_1) = \vec{L}_O^A + \vec{L}_O^B = \overrightarrow{OA}\times(m\vec{v}_A) + \overrightarrow{OB}\times(m\vec{v}_B)  = \vec{L}_O(t_1) = 2mLv_0\,\vec{k}

El primer producto vectorial es cero, pues los dos vectores son paralelos.

2.5 Ecuación diferencial

La velocidad genérica del punto B es


\vec{v}_B = (v_0 -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + 2L\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\jmath}

La condición del enunciado es


v_0 -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = 2v_0
\Longrightarrow
2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = -v_0

Esta es una ecuación diferencial de variables separables para θ. Tenemos


2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = -v_0
\Longrightarrow
\mathrm{sen}\,\mathrm{d}\theta = -\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{sen}\,\mathrm{d}\theta = -\int\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\cos\theta = \dfrac{v_0}{2L}\,t + C

Para calcular el valor de la constante de integración C imponemos la condición inicial


\theta(0) = 0 \Longrightarrow \cos(0) = 1 = C

Entonces


\theta(t) = \arccos\left(1+\dfrac{v_0}{2L}t\right)

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