Las partículas y , ambas con masa , están unidas por una barra rígida
de longitud y masa despreciable. El punto es el punto medio de la barra.
La partícula está obligada a moverse en
el eje fijo , como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra
que une las partículas forma un ángulo con el eje . La partícula
se mueve con velocidad constante . En el
instante inicial la partícula se encontraba en el punto y .
El sistema está sometido a la acción de la gravedad.
Encuentra la expresión de los vectores de posición , y en función de , , y .
Si el ángulo varía como , calcula la velocidad y aceleración de las partículas y y del centro de masas del sistema.
El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal aplicada sobre la partícula . Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de en el instante .
Supongamos ahora que la partícula se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el es constante e igual a . Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir para que esto sea posible.
Solución
Vectores de posición
Como la partícula se mueve siempre sobre el eje con velocidad uniforme , y empieza su movimiento en el origen tenemos
El vector de posición del punto es
Del dibujo vemos que
Entonces
Para el punto tenemos
Velocidad y aceleración con dada
En este caso tenemos
Las velocidades de las partículas y son
La barra no tiene masa. Como las dos masas son iguales, por simetría el Centro de Masas coincide con el punto . Su velocidad es
Derivamos otra vez respecto del tiempo para obtener las aceleraciones
Fuerzas sobre el sistema
La imagen muestra las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Las fuerzas entre la barra y las partículas son internas y no afectan al movimiento. El Teorema de la Cantidad de Movimiento (T.C.M.) dice
La masa total del sistema es . El Centro de Masas es el punto . Las fuerzas pueden expresarse como
Las incógnitas son y . A partir de T.C.M. tenemos
De aquí obtenemos y . Tenemos
Energía cinética y momento cinético
En el instante tenemos . Entonces los vectores de posición y velocidad de las partículas y son
La energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de las dos partículas (la barra no tiene masa)
El momento cinético del sistema respecto de es la suma del momento de las dos partículas (de nuevo, la barra no tiene masa)
El primer producto vectorial es cero, pues los dos vectores son paralelos.
Ecuación diferencial
La velocidad genérica del punto es
La condición del enunciado es
Esta es una ecuación diferencial de variables separables para . Tenemos
Para calcular el valor de la constante de integración imponemos la condición inicial