Enunciado Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las
curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes
horarias siguientes
r
→
(
t
)
=
R
cos
(
ω
t
)
ı
→
+
A
s
e
n
(
ω
t
)
ȷ
→
{\displaystyle {\vec {r}}(t)=R\cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}}
R
{\displaystyle R}
ω
{\displaystyle \omega }
r
→
(
t
)
=
A
cos
α
s
e
n
(
ω
t
)
ı
→
+
A
s
e
n
α
s
e
n
(
ω
t
)
ȷ
→
{\displaystyle {\vec {r}}(t)=A\cos \alpha \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} \,\alpha \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}}
A
{\displaystyle A}
ω
{\displaystyle \omega }
α
{\displaystyle \alpha }
r
→
(
t
)
=
A
t
ı
→
+
B
t
2
ȷ
→
{\displaystyle {\vec {r}}(t)=At\,{\vec {\imath }}+Bt^{2}\,{\vec {\jmath }}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
r
→
(
t
)
=
A
(
T
2
−
t
2
)
T
2
+
t
2
ı
→
+
2
A
T
t
T
2
+
t
2
ȷ
→
{\displaystyle {\vec {r}}(t)={\dfrac {A(T^{2}-t^{2})}{T^{2}+t^{2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {2ATt}{T^{2}+t^{2}}}\,{\vec {\jmath }}}
A
{\displaystyle A}
T
{\displaystyle T}
r
→
(
t
)
=
T
cos
(
ω
t
)
ı
→
+
R
s
e
n
(
ω
t
)
ȷ
→
+
h
ω
t
k
→
{\displaystyle {\vec {r}}(t)=T\cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}+h\omega t\,{\vec {k}}}
R
{\displaystyle R}
h
{\displaystyle h}
y
ω
{\displaystyle \omega }
Solución Caso 1 La velocidad es
v
→
=
r
→
˙
=
−
R
ω
s
e
n
(
ω
t
)
ı
→
+
R
ω
cos
(
ω
t
)
ȷ
→
{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}=-R\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}+R\omega \cos(\omega t)\,{\vec {\jmath }}}
La rapidez es
|
v
→
|
=
R
ω
{\displaystyle |{\vec {v}}|=R\omega }
El desplazamiento elemental
d
r
→
=
v
→
d
t
=
(
−
R
ω
s
e
n
(
ω
t
)
ı
→
+
R
ω
cos
(
ω
t
)
ȷ
→
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}\mathrm {d} t=(-R\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}+R\omega \cos(\omega t)\,{\vec {\jmath }})\,\mathrm {d} t}
La aceleración es
a
→
=
v
→
˙
=
−
R
ω
2
cos
(
ω
t
)
ı
→
−
R
ω
2
s
e
n
(
ω
t
)
ȷ
→
{\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=-R\omega ^{2}\cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}-R\omega ^{2}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}}
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
r
→
=
{
x
=
R
cos
(
ω
t
)
y
=
R
s
e
n
(
ω
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}=\left\{{\begin{array}{l}x=R\cos(\omega t)\\y=R\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\end{array}}\right.}
Vemos que
x
2
+
y
2
=
R
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}
Es una circunferencia de radio
R
{\displaystyle R}
Caso 2 El vector de posición puede escribirse así
r
→
=
A
s
e
n
(
ω
t
)
(
cos
α
ı
→
+
s
e
n
α
ȷ
→
)
{\displaystyle {\vec {r}}=A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,(\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }})}
Sólo el primer factor depende del tiempo.
La velocidad es
v
→
=
r
→
˙
=
A
ω
cos
(
ω
t
)
(
cos
α
ı
→
+
s
e
n
α
ȷ
→
)
{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}=A\omega \cos(\omega t)\,(\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }})}
La rapidez es
|
v
→
|
=
A
|
ω
cos
(
ω
t
)
|
{\displaystyle |{\vec {v}}|=A|\omega \cos(\omega t)|}
El desplazamiento elemental
d
r
→
=
v
→
d
t
=
A
ω
cos
(
ω
t
)
(
cos
α
ı
→
+
s
e
n
α
ȷ
→
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}\mathrm {d} t=A\omega \cos(\omega t)\,(\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }})\,\mathrm {d} t}
La aceleración es
a
→
=
v
→
˙
=
−
A
ω
2
s
e
n
(
ω
t
)
(
cos
α
ı
→
+
s
e
n
α
ȷ
→
)
{\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=-A\omega ^{2}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,(\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }})}
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
r
→
=
{
x
=
A
s
e
n
(
ω
t
)
cos
α
y
=
A
s
e
n
(
ω
t
)
s
e
n
α
{\displaystyle {\vec {r}}=\left\{{\begin{array}{l}x=A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\cos \alpha \\y=A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {sen} \,\alpha \end{array}}\right.}
Vemos que
y
x
=
tan
α
⟹
y
=
x
tan
α
{\displaystyle {\dfrac {y}{x}}=\tan \alpha \Longrightarrow y=x\,\tan \alpha }
Es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente
tan
α
{\displaystyle \tan \alpha }
Caso 3 La velocidad es
v
→
=
r
→
˙
=
A
ı
→
+
2
B
t
ȷ
→
{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}=A\,{\vec {\imath }}+2Bt\,{\vec {\jmath }}}
La rapidez es
|
v
→
|
=
A
2
+
4
B
2
t
2
{\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {A^{2}+4B^{2}t^{2}}}}
El desplazamiento elemental
d
r
→
=
v
→
d
t
=
(
A
ı
→
+
2
B
t
ȷ
→
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}\mathrm {d} t=(A\,{\vec {\imath }}+2Bt\,{\vec {\jmath }})\,\mathrm {d} t}
La aceleración es
a
→
=
v
→
˙
=
2
B
ȷ
→
{\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=2B\,{\vec {\jmath }}}
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
r
→
=
{
x
=
A
t
y
=
B
t
2
{\displaystyle {\vec {r}}=\left\{{\begin{array}{l}x=At\\y=Bt^{2}\end{array}}\right.}
Despejando
t
{\displaystyle t}
y
=
B
A
2
x
2
=
C
x
2
{\displaystyle y={\dfrac {B}{A^{2}}}x^{2}=Cx^{2}}
Es una parábola con la concavidad hacia arriba
Caso 4 La velocidad es
v
→
=
r
→
˙
=
2
A
T
T
2
+
t
2
(
−
2
T
t
ı
→
+
(
T
2
−
t
2
)
ȷ
→
)
{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}={\dfrac {2AT}{T^{2}+t^{2}}}\,(-2Tt\,{\vec {\imath }}+(T^{2}-t^{2})\,{\vec {\jmath }})}
La rapidez es
|
v
→
|
=
2
A
T
T
2
+
t
2
{\displaystyle |{\vec {v}}|={\dfrac {2AT}{T^{2}+t^{2}}}}
El desplazamiento elemental
d
r
→
=
v
→
d
t
=
2
A
T
T
2
+
t
2
(
−
2
T
t
ı
→
+
(
T
2
−
t
2
)
ȷ
→
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}\mathrm {d} t={\dfrac {2AT}{T^{2}+t^{2}}}\,(-2Tt\,{\vec {\imath }}+(T^{2}-t^{2})\,{\vec {\jmath }})\,\mathrm {d} t}
La aceleración es
a
→
=
4
A
T
(
T
2
+
t
2
)
3
(
T
(
3
t
2
−
T
2
)
ı
→
+
t
(
t
2
−
3
T
2
)
ȷ
→
)
{\displaystyle {\vec {a}}={\dfrac {4AT}{(T^{2}+t^{2})^{3}}}\,(T(3t^{2}-T^{2})\,{\vec {\imath }}+t(t^{2}-3T^{2})\,{\vec {\jmath }})}
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
r
→
=
{
x
=
A
(
T
2
−
t
2
)
T
2
+
t
2
y
=
2
A
T
t
T
2
+
t
2
{\displaystyle {\vec {r}}=\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {A(T^{2}-t^{2})}{T^{2}+t^{2}}}\\\\y={\dfrac {2ATt}{T^{2}+t^{2}}}\end{array}}\right.}
Tomando el cuadrado de los dos vemos que
x
2
=
A
2
(
T
4
+
t
4
−
2
T
2
t
2
)
(
T
2
+
t
2
)
2
y
2
=
A
2
4
T
2
t
2
(
T
2
+
t
2
)
2
{\displaystyle {\begin{array}{l}x^{2}=A^{2}{\dfrac {(T^{4}+t^{4}-2T^{2}t^{2})}{(T^{2}+t^{2})^{2}}}\\\\y^{2}=A^{2}{\dfrac {4T^{2}t^{2}}{(T^{2}+t^{2})^{2}}}\end{array}}}
Sumando los dos
x
2
+
y
2
=
A
2
T
4
+
t
4
+
2
T
2
t
2
(
T
2
+
t
2
)
2
=
A
2
(
T
2
+
t
2
)
2
(
T
2
+
t
2
)
2
=
A
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=A^{2}{\dfrac {T^{4}+t^{4}+2T^{2}t^{2}}{(T^{2}+t^{2})^{2}}}=A^{2}{\dfrac {(T^{2}+t^{2})^{2}}{(T^{2}+t^{2})^{2}}}=A^{2}}
Es una circunferencia de radio
A
{\displaystyle A}
y
{\displaystyle y}
x
2
+
y
2
=
R
2
y
≥
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}\qquad y\geq 0}
Caso 5 La velocidad es
v
→
=
r
→
˙
=
−
R
ω
s
e
n
(
ω
t
)
ı
→
+
R
ω
cos
(
ω
t
)
ȷ
→
+
h
ω
k
→
{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}=-R\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}+R\omega \cos(\omega t)\,{\vec {\jmath }}+h\omega \,{\vec {k}}}
La rapidez es
|
v
→
|
=
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
=
ω
R
2
+
h
2
{\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}=\omega {\sqrt {R^{2}+h^{2}}}}
El desplazamiento elemental
d
r
→
=
v
→
d
t
=
(
−
R
ω
s
e
n
(
ω
t
)
ı
→
+
R
ω
cos
(
ω
t
)
ȷ
→
+
h
ω
k
→
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}\mathrm {d} t=(-R\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}+R\omega \cos(\omega t)\,{\vec {\jmath }}+h\omega \,{\vec {k}})\,\mathrm {d} t}
La aceleración es
a
→
=
v
→
˙
=
−
R
ω
2
cos
(
ω
t
)
ı
→
−
R
ω
2
s
e
n
(
ω
t
)
ȷ
→
{\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=-R\omega ^{2}\cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}-R\omega ^{2}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}}
Esta es una curva tridimensional y no es fácil expresarla en forma implícita.
Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
r
→
=
{
x
=
R
cos
(
ω
t
)
y
=
R
s
e
n
(
ω
t
)
x
=
h
ω
t
{\displaystyle {\vec {r}}=\left\{{\begin{array}{l}x=R\cos(\omega t)\\y=R\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\\x=h\omega t\end{array}}\right.}
Las componentes
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
O
X
Y
{\displaystyle OXY}
R
{\displaystyle R}
z
{\displaystyle z}
O
Z
{\displaystyle OZ}
