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Movimientos en 2D y 3D (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

1.1 Movimientos en 2D y 3D

Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes horarias siguientes

  1. \vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath} , con R y ω constantes.
  2. \vec{r}(t) = A\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath} , con A, ω y α constantes.
  3. \vec{r}(t) = At\,\vec{\imath} + Bt^2\,\vec{\jmath} , con A y B constantes.
  4. \vec{r}(t) = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\,\vec{\imath} + \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\,\vec{\jmath} , con A y T constantes.
  5. \vec{r}(t) = T\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,(\omega
t)\,\vec{\jmath} + h\omega t\,\vec{k} con R, h

y ω constantes.

2 Solución

2.1 Caso 1

La velocidad es


\vec{v} = \dot{\vec{r}} = -R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} +
R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}

La rapidez es


|\vec{v}| = R\omega

El desplazamiento elemental


\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = 
(-R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} +
R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath})\,\mathrm{d}t

La aceleración es


\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -R\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{\imath} -
R\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos


\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x = R\cos(\omega t) \\
y = R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)
\end{array}
\right.

Vemos que

x2 + y2 = R2

Es una circunferencia de radio R centrada en el origen.


2.2 Caso 2

El vector de posición puede escribirse así


\vec{r} = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath}+\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})

Sólo el primer factor depende del tiempo. La velocidad es


\vec{v} = \dot{\vec{r}} = A\omega\cos(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})

La rapidez es


|\vec{v}| = A |\omega\cos(\omega t)|

El desplazamiento elemental


\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = 
A\omega\cos(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}) \,\mathrm{d}t

La aceleración es


\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -A\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos


\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\cos\alpha\\
y = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,\alpha
\end{array}
\right.

Vemos que


\dfrac{y}{x} = \tan\alpha \Longrightarrow y = x\,\tan\alpha

Es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente tanα. Esto ya puede verse al escribir el vector de posición como una función escalar del tiempo por un vector constante

2.3 Caso 3

La velocidad es


\vec{v} = \dot{\vec{r}} = A\,\vec{\imath} + 2Bt\,\vec{\jmath}

La rapidez es


|\vec{v}| = \sqrt{A^2 + 4B^2t^2}

El desplazamiento elemental


\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = 
( A\,\vec{\imath} + 2Bt\,\vec{\jmath})\,\mathrm{d}t

La aceleración es


\vec{a} = \dot{\vec{v}} = 2B\,\vec{\jmath}

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos


\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x = At\\
y = B t^2
\end{array}
\right.

Despejando t en la primera y sustituyendo en la segunda vemos que


y = \dfrac{B}{A^2}x^2 = Cx^2

Es una parábola con la concavidad hacia arriba

2.4 Caso 4

La velocidad es


\vec{v} = \dot{\vec{r}} =
\dfrac{2AT}{T^2+t^2}\,(-2Tt\,\vec{\imath} + (T^2-t^2)\,\vec{\jmath})

La rapidez es


|\vec{v}| = \dfrac{2AT}{T^2+t^2}

El desplazamiento elemental


\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = 
\dfrac{2AT}{T^2+t^2}\,(-2Tt\,\vec{\imath} + (T^2-t^2)\,\vec{\jmath})\,\mathrm{d}t

La aceleración es


\vec{a} = 
\dfrac{4AT}{(T^2+t^2)^3}\,(T(3t^2-T^2)\,\vec{\imath} +
t(t^2-3T^2)\,\vec{\jmath})

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos


\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x =  \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\\ \\
y = \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}
\end{array}
\right.

Tomando el cuadrado de los dos vemos que


\begin{array}{l}
x^2 =  A^2\dfrac{(T^4+t^4-2T^2t^2)}{(T^2+t^2)^2}\\ \\
y^2 = A^2\dfrac{4T^2t^2}{(T^2+t^2)^2}
\end{array}

Sumando los dos


x^2 + y^2 = A^2\dfrac{T^4+t^4+2T^2t^2}{(T^2+t^2)^2}=
A^2\dfrac{(T^2+t^2)^2}{(T^2+t^2)^2}=A^2

Es una circunferencia de radio A centrada en el origen. Pero y sólo puede ser positiva


x^2+y^2=R^2\qquad y\geq0

2.5 Caso 5

La velocidad es


\vec{v} = \dot{\vec{r}} = 
-R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath} + h\omega\,\vec{k}

La rapidez es


|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} = \omega\sqrt{R^2+h^2}

El desplazamiento elemental


\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = 
(-R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + R\omega\cos(\omega
t)\,\vec{\jmath} + h\omega\,\vec{k})
\,\mathrm{d}t

La aceleración es


\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -R\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{\imath} -
R\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}

Esta es una curva tridimensional y no es fácil expresarla en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos


\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x = R\cos(\omega t) \\
y = R\,\mathrm{sen}\,(\omega t) \\
x = h\omega t
\end{array}
\right.

Las componentes x y y se comportan igual que las del apartado 1. Entonces, la proyección de la trayectoria sobre el plano OXY es una circunferencia de radio R centrada en el origen. Por otro lado, la componente z crece linealmente con el tiempo. Es decir, a la vez que la partícula da vueltas alrededor del eje OZ avanza paralelamente a él. La curva así descrita recibe el nombre de hélice.

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