Enunciado

Se tiene el plano inclinado de la figura que forma un ángulo con la horizontal. se dispara una partícula desde el punto más bajo, con una velocidad inicial , de módulo y con un ángulo con la horizontal.

  1. Calcula la distancia entre el punto de partida y el de impacto sobre el plano inclinado, así como la velocidad (vector) con la que impacta.
  2. Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria a lo largo de la trayectoria de la partícula, así como la potencia que la fuerza gravitatoria transmite a la partícula en cada instante.
  3. Para el caso , calcula las componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de impacto y el radio de curvatura.

Solución

Punto de impacto sobre el plano inclinado

Antes de chocar con el plano inclinado el movimiento de la partícula es un tiro parabólico. El plano no interfiere con este movimiento. Vamos a describir el movimiento antes de que impacte en el plano.

Escogemos el eje horizontal al suelo y el eje perpendicular, coincidiendo con la dirección de la gravedad. En esos ejes la aceleración de la partícula es

Obtenemos la velocidad integrando la ecuación diferencial correspondiente

La primera ecuación nos dice que la componente horizontal de la velocidad es constante, mientras que la segunda implica que el movimiento vertical es un movimiento uniformemente acelerado. La velocidad inicial es

Entonces la velocidad en cada instante es

Integrando otra vez, y colocando el origen de coordenadas en el punto de partida tenemos

Cuando la partícula impacta con el plano el ángulo que forma el vector de posición con el eje es . Eso es equivalente a decir que las componentes en ambos ejes son iguales. A partir de ahí obtenemos el instante de tiempo para el que impacta con el plano

La distancia del origen al punto de impacto es

La velocidad en el momento del impacto se obtiene sustituyendo el valor de en la expresión de la velocidad

Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria

Por definición, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es igual a la variación de energía potencial gravitatoria cambiada de signo

En cada instante, la potencia de la fuerza gravitatoria sobre la partícula es

Sustituyendo la expresión de la componente de la velocidad tenemos

Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de impacto

Si la velocidad en el punto de impacto es

La aceleración es la misma siempre

La componente tangencial es

La componente normal es