Cuerda enrollándose (G.I.A.)

Enunciado

Una partícula se mueve en el plano $OXY$ mientras permanece conectada a uno de los extremos de un hilo inextensible de longitud $\ l=\pi R\$. El otro extremo está unido a un punto fijo $A$ de una circunferencia de radio $R$ y centro $O$, cuyas coordenadas en el sistema cartesiano $OXY$ son ${\overrightarrow {OA}}=R{\vec {\imath }}$. Partiendo de la posición inicial $\left.{\overrightarrow {OP}}\right|_{t=0}=R\left({\vec {\imath }}+\pi {\vec {\jmath }}\right)$, el movimiento de la partícula con velocidad de módulo constante $v_{0}$ da lugar a que el hilo, que permanece siempre tenso, se enrolle en dicha circunferencia. Utilizando como parámetro el ángulo $\theta$ correspondiente al punto $C$ donde desaparece el contacto hilo--circunferencia, calcula:

1. Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria seguida por la partícula.
2. La ley horaria del movimiento $\theta =\theta (t)$ y tiempo que tarda el hilo en enrollarse completamente sobre la circunferencia.
3. La aceleración de la partícula.
4. El triedro intrínseco de la trayectoria seguida por la partícula

Solución

Ecuaciones de la trayectoria

Vamos a determinar el vector de posición de la partícula ${\overrightarrow {OP}}$ en función del ángulo $\theta$. Podemos construir ese vector como

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CP}}$

El módulo del vector ${\overrightarrow {OC}}$ es $|{\overrightarrow {OC}}|=R$, y forma un ángulo $\theta$ con el eje $OX$. Entonces

${\overrightarrow {OC}}=R\cos \theta \,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}.$

Por otro lado, el vector ${\overrightarrow {CP}}$ es perpendicular a ${\overrightarrow {OC}}$. Observando la figura vemos que puede descomponerse como

${\overrightarrow {CP}}=|{\overrightarrow {CP}}|(-\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+\cos \theta \,{\vec {\jmath }})$

El módulo $|{\overrightarrow {CP}}|$ es la longitud total de la cuerda menos la longitud del arco de la circunferencia entre los puntos $A$ y $C$, esto es

$|{\overrightarrow {CP}}|=l-\theta R=\pi R-\theta R=(\pi -\theta )\,R$

Por tanto el vector ${\overrightarrow {CP}}$ es

${\overrightarrow {CP}}=-(\pi -\theta )\,R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+(\pi -\theta )\,R\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

y el vector de posición del punto $P$ es

${\overrightarrow {OP}}(t)={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CP}}=R\,[\cos \theta -(\pi -\theta )\,\mathrm {sen} \,\theta ]\,{\vec {\imath }}+R\,[\,\mathrm {sen} \,\theta +(\pi -\theta )\cos \theta ]\,{\vec {\jmath }}$

La posición inicial del punto es

${\overrightarrow {OP}}={\big \rfloor }_{t=0}=R\,\left({\vec {\imath }}+\pi {\vec {\jmath }}\right),$

es decir,

$\theta (t=0)=0.$

La velocidad del punto $P$ es la derivada respecto al tiempo del vector de posición. Operando obtenemos

${\vec {v}}_{P}={\dot {\overrightarrow {OP}}}={\frac {\displaystyle \mathrm {d} ({\overrightarrow {OP}})}{\displaystyle \mathrm {d} \theta }}{\frac {\displaystyle \mathrm {d} \theta }{\displaystyle \mathrm {d} t}}=-R\,(\pi -\theta )\,{\dot {\theta }}\,(\cos \theta \,{\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}).$

Ley horaria ${\boldsymbol {\theta (t)}}$

El enunciado nos dice que el módulo de la velocidad es $v_{0}$, constante en el tiempo. Esto nos da una ecuación diferencial para el ángulo

$v_{0}=|{\vec {v}}_{P}|=R\,(\pi -\theta )\,{\dot {\theta }}\Rightarrow v_{0}=|{\vec {v}}_{P}|=R\,(\pi -\theta )\,{\frac {\displaystyle \mathrm {d} \theta }{\displaystyle \mathrm {d} t}}\Rightarrow (\pi -\theta )\,\mathrm {d} \theta ={\dfrac {v_{0}}{R}}\mathrm {d} t.$

Integrando una vez obtenemos

$\pi \theta -{\dfrac {1}{2}}\theta ^{2}={\dfrac {v_{0}}{R}}t+A$

La constante se determina de la condición inicial. Sustituyendo $t=0$ y $\theta (t=0)=0$ obtenemos

$A=0$

y por tanto la ley horaria para el ángulo es

$\theta ^{2}(t)-2\pi \theta +{\dfrac {2v_{0}}{R}}t=0.$

Esto es una ecuación de segundo grado, cuya solución es

$\theta (t)=\pi \pm {\sqrt {\pi ^{2}-{\dfrac {2v_{0}t}{R}}}}$

Para que las soluciones sean reales el radicando debe ser mayor que cero, es decir

$\pi ^{2}-{\dfrac {2v_{0}t}{R}}\geq 0\Rightarrow t\leq {\dfrac {\pi ^{2}R}{2v_{o}}}$

Por tanto, el valor máximo del tiempo es

$T={\dfrac {\pi ^{2}R}{2v_{o}}}$

Sustituyendo en la expresión de $\theta (t)$ obtenemos

$\theta (t)=\pi \left(1\pm {\sqrt {1-{\dfrac {t}{T}}}}\right).$

Ahora bien, el valor máximo de $\theta$ es $\pi$, pues en ese instante la cuerda está completamente arrollada. Esto permite eliminar la solución con la raíz positiva, pues en ella el ángulo $\theta$ varía entre $2\pi$ y $\pi$. Nos queda entonces

$\theta (t)=\pi \left(1-{\sqrt {1-{\dfrac {t}{T}}}}\right).$

Observemos que el valor $t=T$ corresponde precisamente a $\theta =\pi$.

Aceleración

Para obtener la aceleración derivamos el vector velocidad respecto al tiempo

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{P}=-v_{0}(\cos \theta \,{\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}),\\\\{\vec {a}}_{P}={\dot {\vec {v}}}_{P}=v_{0}{\dot {\theta }}(\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-\cos \theta {\vec {\jmath }}).\end{array}}$

En la ecuación diferencial podemos despejar ${\dot {\theta }}$ en función de $v_{0}$ y $\theta$. Obtenemos

${\vec {a}}_{P}={\dfrac {v_{0}^{2}}{R\,(\pi -\theta )}}(\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-\cos \theta {\vec {\jmath }}).$

Como puede verse en el dibujo, la aceleración es perpendicular en todo instante a la velocidad. Esto es razonable, pues el módulo de la velocidad se supone constante, y por tanto la aceleración tangencial es nula.

Triedro intrínseco

Podemos ahora obtener el triedro intrínseco de la trayectoria descrita por la partícula. El vector tangente es un vector unitario tangente a la trayectoria, es decir, con la dirección y sentido del vector velocidad en cada punto de la curva. Entonces puede construirse dividiendo el vector velocidad por su módulo

${\vec {T}}=-\cos \theta \,{\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}.$

El vector normal es un vector unitario que apunta en la dirección y sentido de la componente del vector velocidad perpendicular a la velocidad.

${\vec {a}}=a_{T}{\vec {T}}+a_{N}{\vec {N}}\Longrightarrow {\vec {N}}={\dfrac {1}{a_{N}}}\left({\vec {a}}-a_{T}{\vec {T}}\right)$

En este problema la aceleración no tiene componente tangencial, entonces

${\vec {N}}={\dfrac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}=\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

El vector binormal se obtiene multiplicando vectorialmente el vector tangente por el normal. Es decir, el triedro intrínseco es

${\begin{array}{l}{\vec {T}}=-\cos \theta \,{\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}=\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-\cos \theta \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}={\vec {k}}\end{array}}$

El vector binormal es constante pues la trayectoria es plana. En la figura se muestran los vectores tangente y normal correspondientes a la posición de la partícula.