Enunciado

Una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} realiza un movimiento en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} , cuya trayectoria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} , y ley horaria para la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = y(t)} , están descritas por las expresiones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma: x = \dfrac{1}{4b}y^2; \qquad y(t) = 2b-v_0t }

siendo y constantes de valor positivo conocido. El movimiento se inicia en el instante , cuando la partícula ocupa la posición de coordenadas , y termina en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_f(b,-2b)} .

  1. Indique cual de las siguientes expresiones paramétricas de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=\vec{r}(\lambda)} describe correctamente la trayectoria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} de la partícula
    1. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma: \vec{r}(\lambda) = \lambda\,\vec{\imath} + 2\sqrt{b\lambda}\,\vec{\jmath};\quad 0\leq\lambda\leq b}
    2. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma: \vec{r}(\lambda) = \dfrac{\lambda^2}{4b}\,\vec{\imath} - \lambda\,\vec{\jmath};\quad -2b\leq\lambda\leq 2b}
    3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma: \vec{r}(\lambda) = b[1-\cos(2\lambda)]\,\vec{\imath} +2b\mathrm{sen}\,(\lambda)\,\vec{\jmath};\quad -\pi/2\leq\lambda\leq \pi/2}
    4. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma: \vec{r}(\lambda) = \dfrac{\lambda^2}{4b}\,\vec{\imath} + (2b-\lambda)\,\vec{\jmath};\quad 0\leq\lambda\leq 4b}
  2. Calcule el vector tangente a la trayectoria en un punto de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(x,y)}
  3. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} la distancia medida a lo largo de la trayectoria, desde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_0} hasta el punto en que se encuentra la partícula en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} . Indique cuál de las siguientes expresiones es la distancia que por unidad de tiempo recorre la partícula en dicho instante,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}(t) = \dfrac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t} = \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}(t)}{\mathrm{d}t}\right| }

  1. ¿En qué puntos de la trayectoria se anula la componente tangencial y/o la componente normal de la aceleración?


Solución

Expresión paramétrica

Para ser correcta, la expresión paramétrica debe respetar la ecuación de la parábola, es decir, si

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(\lambda) = x(\lambda)\,\vec{\imath} + y(\lambda)\,\vec{\jmath} }

debe cumplirse Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(\lambda) = \dfrac{1}{4b}y(\lambda)^2 } . Esta condición sólo la cumplen los casos 1 y 2. Por otro lado, como se observa en el dibujo, la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y } tiene valores positivos y negativos en diferentes puntos de la curva. Sin embargo, la componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath} } en el caso 1 sólo tiene valores positivos. Por tanto, la respuesta correcta es la 2.

Vector tangente

Hay varias formas de hacer este apartado. Una de ellas es la siguiente. El vector de posición genérico es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} }

En este vector genérico imponemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=y^2/4b } , y consideramos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(t) } es la función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t } dada en el enunciado. Con eso tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \dfrac{y(t)^2}{4b}\,\vec{\imath} + y(t)\,\vec{\jmath} }

El parámetro que describe la posición en la curva esError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t } . Calculamos el vector tangente como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}(t) = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t}{|\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t|} }

Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{y}{2b}\dot{y}\,\vec{\imath} + \dot{y}\,\vec{\jmath} = -\dfrac{v_0y}{2b}\,\vec{\imath} - v_0\,\vec{\jmath} = -v_0\left(\dfrac{y}{2b}\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right) }

Y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right| = v_0\sqrt{1+\left(\dfrac{y}{2b}\right)^2} = \dfrac{v_0}{2b}\sqrt{4b^2+y^2} }

Por tanto el vector tangente es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}(t) = -\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+y^2}}(y\,\vec{\imath} + 2b\,\vec{\jmath}) }

Distancia recorrida por unidad de tiempo

Como se indica en el enunciado, esta distancia es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right| = v_0\sqrt{1+\left(\dfrac{y}{2b}\right)^2} = v_0\sqrt{1+\dfrac{x(t)}{b}} }

Aceleración tangencial y normal

Tenemos calculada la velocidad de la partícula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)= \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{y}{2b}\dot{y}\,\vec{\imath} + \dot{y}\,\vec{\jmath} = -\dfrac{v_0y}{2b}\,\vec{\imath} - v_0\,\vec{\jmath} = -v_0\left(\dfrac{y}{2b}\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right) }

Derivando respecto del tiempo calculamos la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)= \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -v_0\left(\dfrac{\dot{y}}{2b}\,\vec{\imath}\right) = \dfrac{v_0^2}{2b}\,\vec{\imath} }

La aceleración tangencial es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_T = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|} }

Sólo se anula si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{v}=0} . Hacemos el producto escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{v} = -\dfrac{v_0^3}{4b^2}y }

Sólo se anula cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=0} , es decir, en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . Por otro lado, la aceleración normal no se anula nunca, pues una parábola no tiene puntos de curvatura nula (un trozo de parábola nunca es recto). Otra forma de ver esto es usar la definición de aceleración normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_N = \dfrac{|\vec{a}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} }

El producto vectorial es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\times\vec{v} = \dfrac{v_0^3}{2b}\,\vec{k} }

Este producto vectorial nunca es cero.

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