Parámetro arco de una hélice (G.I.A.)

Enunciado

Sea la hélice $\Gamma$ descrita en un sistema de referencia cartesiano $OXYZ$ por las siguientes ecuaciones paramétricas:

$\Gamma \,:\,{\vec {r}}={\vec {r}}(\lambda )\left\{{\begin{array}{l}x(\lambda )=a\cos \lambda \\y(\lambda )=a\,\mathrm {sen} \,\lambda \\z(\lambda )=h\lambda \end{array}}\right.$

donde $a$ y $h$ son constantes conocidas.

1. Determina la longitud recorrida sobre la hélice (parámetro arco) en función del parámetro $\lambda$.
2. Obtén los vectores del triedro intrínseco en cada punto de dicha curva.
3. Calcula su radio de curvatura.

Solución

Distancia recorrida

Podemos calcular la distancia recorrida sobre la hélice sumando los módulos de los $\mathrm {d} {\vec {r}}$ obtenidos al variar el parámetro una cantidad infinitesimal $\mathrm {d} \lambda$. La expresión de $\mathrm {d} {\vec {r}}$ es

$\mathrm {d} {\vec {r}}=\left({\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \lambda }}\right)\,\mathrm {d} \lambda$

Derivando el vector tenemos

$\left({\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \lambda }}\right)=-a\cos \lambda \,{\vec {\imath }}++a\,\mathrm {sen} \,\lambda \,{\vec {\jmath }}+h\,{\vec {k}}$

La distancia recorrida en este paso infinitesimal es

$\mathrm {d} s=|\mathrm {d} {\vec {r}}|=\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \lambda }}\right|\,\mathrm {d} \lambda =\mathrm {d} \lambda \,{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\lambda +a^{2}\mathrm {sen} ^{2}\lambda +h^{2}}}=\mathrm {d} \lambda \,{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}$

Si empezamos a contar la distancia recorrida en $\lambda =0$ la distancia para un valor de $\lambda$ es

$\int \limits _{0}^{s(\lambda )}\mathrm {d} s=\int \limits _{0}^{s(\lambda )}|\mathrm {d} {\vec {r}}|=\int \limits _{0}^{\lambda }{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}\,\mathrm {d} \lambda$

Integrando obtenemos

$s(\lambda )=\lambda \,{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}$

La distancia recorrida sobre la curva recibe el nombre de parámetro arco. Puede utilizarse también para parametrizar la curva.

Triedro intrínseco

Calculamos el triedro intrínseco en cada punto de la curva usando las expresiones que dependen sólo de la parametrización de la curva, no de las variables cinemáticas ( velocidad y aceleración ).

El vector tangente es

${\overrightarrow {T}}(\lambda )={\dfrac {\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \lambda }}}{\displaystyle \left|{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \lambda }}\right|}}=-{\dfrac {a\,\mathrm {sen} \,\lambda }{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {a\cos \lambda }{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\,{\vec {\jmath }}+{\dfrac {h}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\,{\vec {k}}$

El vector normal se define en términos de la derivada del vector tangente respecto al parámetro.

${\overrightarrow {N}}(\lambda )={\dfrac {\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} \lambda }}}{\displaystyle \left|{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} \lambda }}\right|}}$

Derivando el vector tangente

${\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} \lambda }}=-{\dfrac {a\cos \lambda }{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {a\,\mathrm {sen} \,\lambda }{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\,{\vec {\jmath }}{\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\left(-\cos \lambda \,{\vec {\imath }}-\mathrm {sen} \,\lambda \,{\vec {\jmath }}\right)$

El módulo de este vector es

$\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} \lambda }}\right|={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}$

Y el vector normal es

${\overrightarrow {N}}(\lambda )=-\cos \lambda \,{\vec {\imath }}-\mathrm {sen} \,\lambda \,{\vec {\jmath }}$

El vector binormal se define como

${\overrightarrow {B}}(\lambda )={\overrightarrow {T}}\times {\overrightarrow {N}}={\dfrac {h\,\mathrm {sen} \,\lambda }{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {h\,\mathrm {cos} \,\lambda }{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\,{\vec {\jmath }}+{\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\,{\vec {k}}$

Curvatura

La curvatura es el módulo de la derivada del vector tangente, cuando este está expresado en términos del parámetro arco. Sin embargo, no tenemos el vector ${\overrightarrow {T}}$ en términos del parámetro arco, sino del parámetro $\lambda$. Tenemos que usar la regla de la cadena para encontrar la derivada en función del parámetro natural.Esto es

$\kappa =\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} s}}\right|=\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} \lambda }}\right|\,\left|{\dfrac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} s}}\right|$

A partir de la última fórmula del primer apartado, podemos despejar $\lambda$ a partir del parámetro arco

$\lambda ={\dfrac {s}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}$

Y derivamos aquí

${\dfrac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} s}}={\dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}$

Con lo cual la curvatura es

$\kappa =\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} s}}\right|=\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} \lambda }}\right|\,\left|{\dfrac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} s}}\right|={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}\,{\dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}={\dfrac {a}{a^{2}+h^{2}}}$

El radio de curvatura es

$R_{\kappa }={\dfrac {1}{\kappa }}={\dfrac {a^{2}+h^{2}}{a}}$