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Punto moviéndose sobre una parábola (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Un punto inicialmente en reposo en la posición x = a, y = b,

describe la parábola \ \Gamma: y^2 = (b^2/a) x. Se conoce la componente y de la aceleración: ay = − k2y, con k = cte. Determina en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

2 Solución

Podemos usar como parámetro de la curva la propia coordenada y. De este modo el vector que recorre los puntos de la curva es


  \vec{r}(t) = \Big[ \dfrac{a}{b^2}y(t)^2,y(t),0\Big]

La derivada y la aceleración son


  \begin{array}{l}
    \vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t) = \Big[
    \dfrac{2a}{b^2}y\dot{y},\dot{y},0\Big]\\ \\
    \vec{a}(t)=\dot{\vec{v}}(t) = \Big[ \dfrac{2a}{b^2}(\dot{y}^2+y\ddot{y}),\ddot{y},0\Big]
  \end{array}

El enunciado nos da la componente ay de la aceleración. Igualando a la expresión obtenida obtenemos la ecuación diferencial


  \ddot{y} = -k^2y

Puede comprobarse que las funciones cos(kt) y \,\mathrm{sen}\,(kt) son soluciones de esta ecuación. La solución más general puede escribirse de la forma


  y(t) = A\cos(kt) + B\,\mathrm{sen}\,(kt)

donde A y B son dos constantes. Su valor se determina a partir de las condiciones iniciales. El enunciado nos da la posición inicial y dice que se parte del reposo, es decir


  \begin{array}{l}
    \vec{r}(0) = [a,b,0]\to y(0)=b\\ \\
    \vec{v}(0) = [0,0,0]\to\dot{y}(0) = 0
  \end{array}

La derivada de la solución general es


  \dot{y}(t) = -Ak\,\mathrm{sen}\,(kt) + Bk\cos(kt)

Aplicando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones


  \begin{array}{l}
    y(0)=b \to B=b\\ \\
    \dot{y}(0)=0 \to A = 0
  \end{array}

Por lo que la solución final es

y(t) = bcos(kt)

Esto quiere decir que el valor de y oscila en el intervalo [ − b,b] con un período T = 2π / k. El vector de posición, la velocidad y la derivada se escriben


  \begin{array}{l}
    \vec{r}(t) = \Big[a\cos^2(kt),b\cos(kt),0\Big]\\ \\
    \vec{v}(t) = \Big[-ak\,\mathrm{sen}\,(2kt),-bk\,\mathrm{sen}\,(kt),0\Big]\\ \\
    \vec{a}(t) = \Big[-2ak^2\cos(2kt),-bk^2\cos(kt),0\Big]
  \end{array}

Para obtener estas expresiones hemos usado la relaciones trigonométrica


  \left.
  \begin{array}{l}
    \,\mathrm{sen}\,(2\alpha) = 2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha 
  \end{array}
  \right.

2.1 Posiciones de reposo

Las posiciones de reposo se alcanzan cuando la velocidad es nula, es decir, |\,\vec{v}\,|=0. El módulo es


  |\,\vec{v}\,| = \sqrt{a^2k^2\,\mathrm{sen}\,^2(2kt) + b^2k^2\,\mathrm{sen}\,^2(kt)} =
  k\,\mathrm{sen}\,(kt)\sqrt{4a^2\cos^2(kt)+b^2}

Hemos utilizado de nuevo la relación trigonométrica del seno del ángulo doble.

El módulo de la velocidad se anula cuando se cumple


  \,\mathrm{sen}\,(kt) = 0 \to kt = n\pi\,\,\,\,\,(n=0,1,2,\ldots)

Por lo que los instantes de tiempo en que la velocidad es cero son


  t_n = \dfrac{n\pi}{k} = \dfrac{nT}{2}\,\,\,\,\,(n=0,1,2,\ldots)

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