Enunciado

Archivo:Problema 9 11 12.gif

Un punto inicialmente en reposo en la posición , ,

describe la parábola . Se conoce la componente de la aceleración: , con . Determina en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

Solución

Podemos usar como parámetro de la curva la propia coordenada . De este modo el vector que recorre los puntos de la curva es

La derivada y la aceleración son

El enunciado nos da la componente de la aceleración. Igualando a la expresión obtenida obtenemos la ecuación diferencial

Puede comprobarse que las funciones y son soluciones de esta ecuación. La solución más general puede escribirse de la forma

donde y son dos constantes. Su valor se determina a partir de las condiciones iniciales. El enunciado nos da la posición inicial y dice que se parte del reposo, es decir

La derivada de la solución general es

Aplicando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones

Por lo que la solución final es

Esto quiere decir que el valor de oscila en el intervalo con un período . El vector de posición, la velocidad y la derivada se escriben

Para obtener estas expresiones hemos usado la relaciones trigonométrica

Posiciones de reposo

Las posiciones de reposo se alcanzan cuando la velocidad es nula, es decir, . El módulo es

Hemos utilizado de nuevo la relación trigonométrica del seno del ángulo doble.

El módulo de la velocidad se anula cuando se cumple

Por lo que los instantes de tiempo en que la velocidad es cero son