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Velocidad de un punto en la superficie de la Tierra (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular ω constante. Encuentra en función de la latitud λ, la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: R = 6.37 \times 10^6 m.)

2 Solución

La rotación de la tierra se describe con un vector deslizante cuya recta soporte es el eje de rotación y su módulo es la velocidad angular uniforme ω. Si elegimos el eje OZ coincidente con el eje de rotación el vector queda


  \vec{\omega} = \omega\vec{k}

La velocidad de un punto en la superficie de la tierra con vector de posición \vec{r} es


  \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}

Hay que determinar el vector de posición en función de la latitud y de la longitud. Observando el dibujo vemos que


  \vec{r}(\lambda,\phi) = 
  \left\{
    \begin{array}{l}
      x = R\cos\lambda\cos\phi\\
      y = R\cos\lambda\,\mathrm{sen}\,\phi\\
      z = R\,\mathrm{sen}\,\lambda
    \end{array}
  \right.

donde la longitud φ(t) = ωt. Haciendo el producto vectorial obtenemos


  \vec{v}(t) = R\omega\cos\lambda\,\left[-\,\mathrm{sen}\,(\omega t),\cos(\omega t),0 \right]

Este resultado también se obtiene derivando en la expresión de \vec{r}(\lambda,\phi) respecto del tiempo.

Para obtener la aceleración derivamos respecto del tiempo en la última expresión de \vec{v}(t) y obtenemos


  \vec{a}(t) =\dot{\vec{v}}(t) = 
  -R\omega^2\cos\lambda\,\left[\cos(\omega t),\,\mathrm{sen}\,(\omega t),0 \right]

Los módulos son


  \begin{array}{l}
    |\,\vec{v}\,| = R\omega\cos\lambda\\
    |\,\vec{a}\,| = R\omega^2\cos\lambda
  \end{array}

La frecuencia angular de rotación de la tierra es w = 2π / T, siendo T el periodo de rotación. Por tanto


  \omega = \frac{2\pi}{T} =
  \frac{2\pi}{1\,\mathrm{h}}\frac{1\,\mathrm{h}}{60\,\mathrm{min}}
  \frac{1\,\mathrm{min}}{60\,\mathrm{s}} =
  \frac{2\pi}{24\times60\times60}\,\mathrm{rad/s} =
  7.27\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}

Teniendo en cuenta el valor de R dado en el enunciado los valores numéricos en el ecuador (λ = 0) son


  \begin{array}{l}
    |\,\vec{v}\,| = R\omega = 463\,\mathrm{m/s}\\
    |\,\vec{a}\,| = R\omega^2 = 3.37\times10^{-2}\,\mathrm{m/s^2}
  \end{array}

2.1 Cálculo con vectores

Podemos resolver el problema utilizando la descripción del movimiento circular en términos de los vectores velocidad angular y aceleración angular. El eje de giro coincide con el eje OZ, y el módulo de la velocidad angular es constante. Tenemos


  \vec{\omega} = \omega\,\vec{k}=[0,0,\omega]\qquad\qquad \vec{\alpha}=\vec{0}

La velocidad de la partícula es


  \begin{array}{ll}
  \vec{v} =& \vec{\omega}\times\vec{r} = 
  \left|
\begin{array}{ccc}
  \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\
  0 & 0 & \omega \\
  R\cos\lambda\cos\Phi & R\cos\lambda\,\mathrm{sen}\,\Phi & R\,\mathrm{sen}\,\lambda
\end{array}
  \right|
  \\ \\
= &
R\omega\cos\lambda\,[-\cos\Phi,\,\mathrm{sen}\,\Phi,0]=
R\omega\cos\lambda\,[-\cos(\omega\,t),\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t),0]
\end{array}

Para la aceleración tenemos


  \begin{array}{ll}
  \vec{a} = &\dot{\vec{v}} = \dot{\vec{\omega}}\times\vec{r} + \vec{\omega}\times\dot{\vec{r}} =
  \vec{\alpha}\times\vec{r} + \vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{r} =\\ \\
  =& \vec{\omega}\times\vec{v}=
  \left|
  \begin{array}{ccc}
    \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\
    0 & 0 & \omega \\
    -R\omega\cos\lambda\,\mathrm{sen}\,\Phi & R\omega\cos\lambda\cos\Phi & 0
  \end{array}
  \right|=\\ \\
  =& -R\omega^2\cos\lambda\,[\cos\Phi(t), \,\mathrm{sen}\,\Phi(t),0]=
  -R\omega^2\cos\lambda\,[\cos(\omega\,t), \,\mathrm{sen}\,(\omega\,t),0]
\end{array}

Como es lógico, obtenemos los mismos resultados que en el apartado anterior.

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