Velocidad de un punto en la superficie de la Tierra (G.I.A.)

Enunciado

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular $\omega$ constante. Encuentra en función de la latitud $\lambda$, la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: $R=6.37\times 10^{6}$ m.)

Solución

La rotación de la tierra se describe con un vector deslizante cuya recta soporte es el eje de rotación y su módulo es la velocidad angular uniforme $\omega$. Si elegimos el eje $OZ$ coincidente con el eje de rotación el vector queda

${\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$

La velocidad de un punto en la superficie de la tierra con vector de posición ${\vec {r}}$ es

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

Hay que determinar el vector de posición en función de la latitud y de la longitud. Observando el dibujo vemos que

${\vec {r}}(\lambda ,\phi )=\left\{{\begin{array}{l}x=R\cos \lambda \cos \phi \\y=R\cos \lambda \,\mathrm {sen} \,\phi \\z=R\,\mathrm {sen} \,\lambda \end{array}}\right.$

donde la longitud $\phi (t)=\omega t$. Haciendo el producto vectorial obtenemos

${\vec {v}}(t)=R\omega \cos \lambda \,\left[-\,\mathrm {sen} \,(\omega t),\cos(\omega t),0\right]$

Este resultado también se obtiene derivando en la expresión de ${\vec {r}}(\lambda ,\phi )$ respecto del tiempo.

Para obtener la aceleración derivamos respecto del tiempo en la última expresión de ${\vec {v}}(t)$ y obtenemos

${\vec {a}}(t)={\dot {\vec {v}}}(t)=-R\omega ^{2}\cos \lambda \,\left[\cos(\omega t),\,\mathrm {sen} \,(\omega t),0\right]$

Los módulos son

${\begin{array}{l}|\,{\vec {v}}\,|=R\omega \cos \lambda \\|\,{\vec {a}}\,|=R\omega ^{2}\cos \lambda \end{array}}$

La frecuencia angular de rotación de la tierra es $w=2\pi /T$, siendo $T$ el periodo de rotación. Por tanto

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {2\pi }{1\,\mathrm {h} }}{\frac {1\,\mathrm {h} }{60\,\mathrm {min} }}{\frac {1\,\mathrm {min} }{60\,\mathrm {s} }}={\frac {2\pi }{24\times 60\times 60}}\,\mathrm {rad/s} =7.27\times 10^{-5}\,\mathrm {rad/s}$

Teniendo en cuenta el valor de $R$ dado en el enunciado los valores numéricos en el ecuador ($\lambda =0$) son

${\begin{array}{l}|\,{\vec {v}}\,|=R\omega =463\,\mathrm {m/s} \\|\,{\vec {a}}\,|=R\omega ^{2}=3.37\times 10^{-2}\,\mathrm {m/s^{2}} \end{array}}$

Cálculo con vectores

Podemos resolver el problema utilizando la descripción del movimiento circular en términos de los vectores velocidad angular y aceleración angular. El eje de giro coincide con el eje $OZ$, y el módulo de la velocidad angular es constante. Tenemos

${\vec {\omega }}=\omega \,{\vec {k}}=[0,0,\omega ]\qquad \qquad {\vec {\alpha }}={\vec {0}}$

La velocidad de la partícula es

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}=&{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\0&0&\omega \\R\cos \lambda \cos \Phi &R\cos \lambda \,\mathrm {sen} \,\Phi &R\,\mathrm {sen} \,\lambda \end{array}}\right|\\\\=&R\omega \cos \lambda \,[-\cos \Phi ,\,\mathrm {sen} \,\Phi ,0]=R\omega \cos \lambda \,[-\cos(\omega \,t),\,\mathrm {sen} \,(\omega \,t),0]\end{array}}$

Para la aceleración tenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {a}}=&{\dot {\vec {v}}}={\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {r}}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}=\\\\=&{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\0&0&\omega \\-R\omega \cos \lambda \,\mathrm {sen} \,\Phi &R\omega \cos \lambda \cos \Phi &0\end{array}}\right|=\\\\=&-R\omega ^{2}\cos \lambda \,[\cos \Phi (t),\,\mathrm {sen} \,\Phi (t),0]=-R\omega ^{2}\cos \lambda \,[\cos(\omega \,t),\,\mathrm {sen} \,(\omega \,t),0]\end{array}}$

Como es lógico, obtenemos los mismos resultados que en el apartado anterior.