F1 GIA PPC 2013, Cañon lanzando partícula sobre un carrito deslizando sobre plano inclinado

Enunciado

Un móvil $A$, que puede ser considerado como un cuerpo puntual, se desplaza por una ladera con una pendiente de $45^{o}$ respecto de la horizontal. El móvil desciende por la ladera realizando un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo el módulo de su aceleración $|{\vec {a}}_{0}|=a_{0}=g/{\sqrt {2}}$. En el instante de iniciar el descenso el móvil se encuentra en reposo, a una altura $d$. Además, a una distancia $d$ de la base de la ladera, en dirección horizontal, se halla emplazado un dispositivo lanzador de proyectiles a los que imprime una velocidad inicial de módulo $v_{0}$ y formando un ángulo $\alpha$ con la horizontal.

1. Encuentre la expresión de las ecuaciones horarias que describen el movimiento del móvil $A$ respecto al sistema de referencia del dibujo.
2. En el instante en el que el móvil $A$ inicia el descenso, el lanzado dispara un proyectil $B$ que, a partir de entonces, se mueve con la aceleración debida a la acción de la gravedad, ${\vec {g}}=-g\,{\vec {\jmath }}$, constante en módulo, dirección y sentido. ¿Qué valores deben tener el ángulo de lanzamiento $\alpha$ y la celeridad inicial $v_{0}$ del proyectil $B$ para que éste impacte sobre el móvil $A$ cuando se encuentra en la mitad de la ladera?

Solución

Movimiento de $A$

La partícula $A$ se mueve con un movimiento uniformemente acelerado con aceleración

${\vec {a}}=a_{0}(-\cos(\pi /4)\,{\vec {\imath }}-\mathrm {sen} \,(\pi /4)\,{\vec {\jmath }}=a_{0}\left({\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\right)={\dfrac {1}{2}}g\,(-{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }})$

La posición inicial de la partícula es

${\vec {r}}_{A}(0)=2d\,{\vec {\imath }}+d\,{\vec {\jmath }}$

y su velocidad inicial es cero.

Podemos tratar de manera separada el movimiento en las dos componentes, y aplicar en cada una de ellas las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado

${\begin{array}{llcl}(X):&a_{x}=-{\dfrac {1}{2}}g,\quad v_{x}(0)=0,\quad x(0)=2d&\Rightarrow &x(t)=2d-{\dfrac {1}{4}}gt^{2}\\&&&\\(Y):&a_{y}=-{\dfrac {1}{2}}g,\quad v_{y}(0)=0,\quad y(0)=d&\Rightarrow &y(t)=d-{\dfrac {1}{4}}gt^{2}\end{array}}$

Por tanto, el vector de posición del móvil $A$ en cualquier instante es

${\vec {r}}_{A}(t)=\left(2d-{\dfrac {1}{4}}gt^{2}\right)\,{\vec {\imath }}+\left(d-{\dfrac {1}{4}}gt^{2}\right)\,{\vec {\jmath }}$

Parámetros para la partícula $B$

La partícula $B$ realiza un movimiento parabólico en el campo gravitatorio terrestre. Parte del origen y su velocidad inicial es

${\vec {v}}_{B}(0)=v_{0}\,(\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }})$

El movimiento horizontal es uniforme y el vertical uniformemente acelerado con aceleración $-g$. La posición de $B$ en cada instante es

${\vec {r}}_{B}(t)=v_{0}t\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+\left(v_{0}t\,\mathrm {sen} \alpha -{\dfrac {1}{2}}gt^{2}\right)\,{\vec {\jmath }}$

Queremos que se encuentre con $A$ en el punto medio de la ladera. En ese instante de tiempo, $t_{c}$, la posición de $A$ debe cumplir

${\vec {r}}_{A}(t_{c})={\dfrac {3}{2}}d\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{2}}d\,{\vec {\jmath }}$

Por otro lado, usando las ecuaciones horarias para $A$ tenemos

${\vec {r}}_{A}(t)=\left(2d-{\dfrac {1}{4}}gt_{c}^{2}\right)\,{\vec {\imath }}+\left(d-{\dfrac {1}{4}}gt_{c}^{2}\right)\,{\vec {\jmath }}$

Igualando las componentes de estos dos vectores obtenemos el valor de $t_{c}$

$t_{c}={\sqrt {\dfrac {2d}{g}}}$

Queremos que en ese instante $B$ también esté en el mismo punto, es decir

${\vec {r}}_{B}(t_{c})={\vec {r}}_{A}(t_{c})\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}v_{0}t_{c}\cos \alpha ={\dfrac {3}{2}}d\\\\v_{0}t_{c}\,\mathrm {sen} \,\alpha -{\dfrac {1}{2}}gt_{c}^{2}={\dfrac {1}{2}}d\end{array}}\right.$

Podemos resolver estas ecuaciones pasando el término en $t_{c}^{2}$ de la segunda a la derecha y dividiéndolas. Así obtenemos el valor de $\alpha$. Después despejamos $v_{0}$

$\alpha =\pi /4;\qquad v_{0}={\dfrac {3}{2}}{\sqrt {gd}}$