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F1 GIA PPC 2013, Cañon lanzando partícula sobre un carrito deslizando sobre plano inclinado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un móvil A, que puede ser considerado como un cuerpo puntual, se desplaza por una ladera con una pendiente de 45o respecto de la horizontal. El móvil desciende por la ladera realizando un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo el módulo de su aceleración |\vec{a}_0|=a_0=g/\sqrt{2} . En el instante de iniciar el descenso el móvil se encuentra en reposo, a una altura d. Además, a una distancia d de la base de la ladera, en dirección horizontal, se halla emplazado un dispositivo lanzador de proyectiles a los que imprime una velocidad inicial de módulo v0 y formando un ángulo α con la horizontal.

  1. Encuentre la expresión de las ecuaciones horarias que describen el movimiento del móvil A respecto al sistema de referencia del dibujo.
  2. En el instante en el que el móvil A inicia el descenso, el lanzado dispara un proyectil B que, a partir de entonces, se mueve con la aceleración debida a la acción de la gravedad, \vec{g} = -g\,\vec{\jmath} , constante en módulo, dirección y sentido. ¿Qué valores deben tener el ángulo de lanzamiento α y la celeridad inicial v0 del proyectil B para que éste impacte sobre el móvil A cuando se encuentra en la mitad de la ladera?

2 Solución

2.1 Movimiento de A

La partícula A se mueve con un movimiento uniformemente acelerado con aceleración


\vec{a} = a_0(-\cos(\pi/4)\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath}
=
a_0\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath} +\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}\right)
=
\dfrac{1}{2}g\,(-\vec{\imath} - \vec{\jmath})

La posición inicial de la partícula es


\vec{r}_A(0) = 2d\,\vec{\imath} + d\,\vec{\jmath}

y su velocidad inicial es cero.

Podemos tratar de manera separada el movimiento en las dos componentes, y aplicar en cada una de ellas las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado


\begin{array}{llcl}
(X): & a_x = -\dfrac{1}{2}g, \quad v_x(0)=0, \quad x(0) = 2d
& \Rightarrow & x(t) = 2d - \dfrac{1}{4}gt^2
\\
&&&\\
(Y): & a_y = -\dfrac{1}{2}g, \quad v_y(0)=0, \quad y(0) = d
& \Rightarrow & y(t) = d - \dfrac{1}{4}gt^2
\end{array}

Por tanto, el vector de posición del móvil A en cualquier instante es


\vec{r}_A(t) = \left(2d - \dfrac{1}{4}gt^2\right)\,\vec{\imath} 
+
\left(d - \dfrac{1}{4}gt^2\right)\,\vec{\jmath}

2.2 Parámetros para la partícula B

La partícula B realiza un movimiento parabólico en el campo gravitatorio terrestre. Parte del origen y su velocidad inicial es


\vec{v}_B(0) = v_0\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})

El movimiento horizontal es uniforme y el vertical uniformemente acelerado con aceleración g. La posición de B en cada instante es


\vec{r}_B(t) = v_0t\cos\alpha\,\vec{\imath}
+
\left(v_0t\,\mathrm{sen}\alpha - \dfrac{1}{2}gt^2\right)\,\vec{\jmath}

Queremos que se encuentre con A en el punto medio de la ladera. En ese instante de tiempo, tc, la posición de A debe cumplir


\vec{r}_A(t_c) = \dfrac{3}{2}d\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{2}d\,\vec{\jmath}

Por otro lado, usando las ecuaciones horarias para A tenemos


\vec{r}_A(t) = \left(2d - \dfrac{1}{4}gt_c^2\right)\,\vec{\imath} 
+
\left(d - \dfrac{1}{4}gt_c^2\right)\,\vec{\jmath}

Igualando las componentes de estos dos vectores obtenemos el valor de tc


t_c = \sqrt{\dfrac{2d}{g}}

Queremos que en ese instante B también esté en el mismo punto, es decir


\vec{r}_B(t_c) = \vec{r}_A(t_c)
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
v_0t_c\cos\alpha =  \dfrac{3}{2}d\\
\\
v_0t_c\,\mathrm{sen}\,\alpha-\dfrac{1}{2}gt_c^2 = \dfrac{1}{2}d

\end{array}
\right.

Podemos resolver estas ecuaciones pasando el término en t_c^2 de la segunda a la derecha y dividiéndolas. Así obtenemos el valor de α. Después despejamos v0


\alpha=\pi/4; \qquad v_0 = \dfrac{3}{2}\sqrt{gd}

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