Problemas de Movimiento Relativo (GITI)

5.1. Comparación de velocidades relativas de dos sólidos

Se tienen dos vagonetas A y B (sólidos “2” y “0”), que avanzan por raíles sobre el suelo horizontal (sólido “1”). En un momento dado las vagonetas se mueven paralelamente respecto al suelo con velocidades

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{01}^{B}=v_{0}{\vec {\imath }}$

El vector de posición relativo entre las dos vagonetas es

${\overrightarrow {AB}}=a{\vec {\jmath }}$

Los ejes de los tres sistemas se toman paralelos de forma que los vectores de las respectivas bases son coincidentes en ese instante.

Halle las velocidades relativas ${\vec {v}}_{20}^{A}$ y ${\vec {v}}_{02}^{B}$ en los siguientes casos:

1. Las vagonetas se mueven por vías rectilíneas paralelas.
2. La vagoneta A se mueve por una vía circular de radio $R$, mientras que B se mueve por una vía rectilínea. El instante descrito es el de máximo acercamiento entre las dos vías.
3. Las dos se mueven por vías circulares concéntricas, de radios $R$ y $R+a$, respectivamente.
4. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio $R$ con centros en lados opuestos
5. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio $R$ con centros hacia el mismo lado

(1)	(2)	(3)
(4)	(5)

5.2. Movimiento relativo en un sistema biela-manivela

Se tiene un sistema biela-manivela formado por dos barras de longitud $L=50\,\mathrm {cm}$. La manivela (sólido “0”) gira alrededor de un punto O, extremo de una barra (sólido $1$) que podemos considerar fija. La biela (sólido “2”) está articulada a la manivela en un punto A, mientras que su otro extremo B está obligado a deslizar sobre la barra “1”.

En un instante dado la manivela forma con la barra un ángulo tal que $\mathrm {tg} (\theta )=4/3$ . En el mismo instante las derivadas de este ángulo valen ${\dot {\theta }}=3\,\mathrm {rad} /s$, ${\ddot {\theta }}=12\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} ^{2}$. Para este instante:

1. Calcule las velocidades ${\vec {v}}_{21}^{B}$, ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {v}}_{01}^{B}$. Indique su dirección y sentido gráficamente.
2. Halle las aceleraciones ${\vec {a}}_{21}^{B}$, ${\vec {a}}_{20}^{B}$ y ${\vec {a}}_{01}^{B}$.

5.3. Disco con eje en vástago

El sólido rígido $0$ del mecanismo de la figura se corresponde con un vástago $OC$ de longitud $3R$ que, mediante un par cilíndrico situado en su extremo O, permanece en todo instante perpendicular al eje vertical fijo $O_{1}Z_{1}$ (sólido $1$). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de $O_{1}Z_{1}$ con velocidad angular constante de módulo $|{\vec {\omega }}_{01}|=2\,\omega$ y en el sentido mostrado en la figura; a su vez, el extremo $O$ se desplaza sobre el eje vertical $O_{1}Z_{1}$ en sentido positivo y con velocidad constante, siendo el módulo de ésta $|{\vec {v}}_{01}^{\,O}|=v$. El extremo C del sólido “0” está articulado al centro de un disco de radio $R$ (sólido “2”), siempre contenido en el plano vertical $OX_{0}Z_{0}$; el movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor de un eje paralelo a $OY_{0}$ que pasa por C, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular constante cuyo módulo es $|{\vec {\omega }}_{20}|=\omega$. Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido $0$, $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$, para expresar las magnitudes vectoriales, determine:

1. El vector velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}$ y el vector aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}$, correspondientes al movimiento del disco respecto al triedro fijo.
2. Las velocidades del punto A del perímetro del disco en el instante en que aquél ocupa el extremo más alto del diámetro vertical (ver figura), para cada uno de los tres movimientos relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: ${\vec {v}}_{01}^{A}$, ${\vec {v}}_{20}^{A}$ y ${\vec {v}}_{21}^{A}$
3. Las aceleraciones ${\vec {a}}_{01}^{A}$, ${\vec {a}}_{20}^{A}$ y ${\vec {a}}_{21}^{A}$ para el mismo punto y en el mismo instante especificado en el apartado anterior.

5.4. Bola en canal circular

Una bola (sólido “2”), de radio $R=15\,\mathrm {cm}$, se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios $a=7\,\mathrm {cm}$ y $b=25\,\mathrm {cm}$, situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que:

• en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y
• su centro C realiza un movimiento circular uniforme con celeridad $v_{0}=48\,\mathrm {cm} /\mathrm {s}$ y en sentido antihorario respecto al eje O$_{1}$Z$_{1}$.

Consideramos como sólido móvil intermedio (sólido $0$) al plano $O_{1}X_{0}Z_{0}$ que contiene en todo instante al centro C de la esfera (ver figura).

1. Halle los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
2. Halle la reducción cinemática canónica de cada movimiento.
3. Para el punto de la pelota en contacto con el carril de mayor radio (punto B), determine ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$.

5.5. Composición de dos rotaciones que se cruzan (Ex.Sep/12)

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tales que el movimiento relativo {20} es una rotación alrededor del eje { $x=0\,$, $z=L\,$} (con $L\neq 0\,$); mientras que el movimiento de arrastre {01} es una rotación alrededor del eje { $y=0\,$, $z=-L\,$}. Las velocidades angulares relativa y de arrastre tienen ambas el mismo módulo: $|{\vec {\omega }}_{20}|=|{\vec {\omega }}_{01}|=\Omega \neq 0\,$, y cada una de ellas apunta en el sentido positivo del eje cartesiano al cual es paralela.

1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

5.6. Barra deslizante en armazón rotatorio

El armazón de barras paralelas a los ejes $OX_{0}$ y $OZ_{0}$ (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}$, de tal modo que el eje $OX_{0}$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud $L$, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje $OX_{0}$, mientras que su extremo $B$ desliza a lo largo del eje $OZ_{0}$. Utilizando los ángulos $\theta$ y $\varphi$ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

1. ${\vec {v}}_{01}^{A}$, ${\vec {v}}_{20}^{A}$ y ${\vec {v}}_{21}^{A}$.
2. ${\vec {v}}_{01}^{B}$, ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {v}}_{21}^{B}$.
3. ${\vec {\alpha }}_{21}$, ${\vec {a}}_{21}^{A}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$.

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

5.7. Movimiento relativo de dos ventiladores

Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia $L$) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a $\omega$, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo $OXYZ$ (sólido “1”) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine

1. ${\vec {\omega }}_{20}$ y ${\vec {\alpha }}_{20}$
2. ${\vec {v}}_{20}^{O}$ y ${\vec {a}}_{20}^{O}$;
3. El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.

Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.

5.8. Movimiento del gancho de una grúa

El movimiento del gancho de una grúa se puede describir empleando tres coordenadas: su altura $z$ respecto al suelo, la distancia $\rho$ del carro al mástil de la grúa, y el ángulo $\varphi$ que gira la pluma alrededor del mástil. En un momento dado se conocen los valores de estas tres coordenadas ($\rho$, $\varphi$, $z$), así como los de sus derivadas primeras (${\dot {\rho }}$, ${\dot {\varphi }}$, ${\dot {z}}$) y segundas (${\ddot {\rho }}$, ${\ddot {\varphi }}$, ${\ddot {z}}$) respecto al tiempo. Con esta información, determine la velocidad y aceleración del gancho respecto al suelo.

5.9. Silla giratoria (Ex.Dic/12)

Una placa cuadrada (sólido "0") de lado $L\,$, que se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano $O_{1}X_{1}Y_{1}\,$ del triedro fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"), está rotando con velocidad angular constante $\Omega \,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su centro $O\,$ (eje $O_{1}Z_{1}\,$). A su vez, una placa rectangular ABCD (sólido "2"), de dimensiones $L\times (L/2)\,$ y vinculada a la placa cuadrada mediante un par de bisagras en su lado AB, está rotando con velocidad angular constante $2\Omega \,$ (en el sentido indicado en la figura) respecto a la placa cuadrada.

Expresando las magnitudes vectoriales en la base asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ de la figura, el cual se mueve solidariamente con la placa cuadrada "0", determine:

1. Reducción cinemática canónica de los movimientos {01} y {20}.
2. Velocidades ${\vec {v}}_{01}^{\,C}\,$, ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ y ${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$ para el instante particular representado en la figura, el cual corresponde a la placa rectangular ABCD en posición vertical por encima de la placa cuadrada.
3. Aceleraciones ${\vec {a}}_{01}^{\,C}\,$, ${\vec {a}}_{20}^{\,C}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$ para el mismo instante del apartado anterior.

5.10. Hélice de avión en rotación

El avión (sólido “0”) de la figura rota alrededor del eje vertical OZ$_{1}$ de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio $L$ en el sistema de referencia fijo OX$_{1}$Y$_{1}$Z$_{1}$ (sólido “1”). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es $|{\vec {\omega }}_{01}|=\Omega$ y su sentido el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es $R$, rota en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante $|{\vec {\omega }}_{20}|=\omega$ y con el sentido indicado en la figura. Se pide

1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
2. Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{P}$ y la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{P}$ del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
3. La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
4. Calcule numéricamente ${\vec {v}}_{21}^{P}$ y ${\vec {a}}_{21}^{P}$ para los valores $R=1\,\mathrm {m}$, $L=100\,\mathrm {m}$, $\omega =100\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$ y $\Omega =1\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$.

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

No Boletín - Barra deslizante en armazón rotatorio II (Ex.Feb/17)

El armazón de barras paralelas a los ejes $OX_{0}\,$ y $OZ_{0}\,$ (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}\,$ con velocidad angular de módulo constante $\Omega \,$ y en el sentido que se indica en la figura, permaneciendo el eje $OX_{0}\,$ siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). Mientras tanto, la varilla $AB\,$ (sólido "2"), de longitud $L\,$, desliza sus extremos $A\,$ y $B\,$ a lo largo de los ejes $OZ_{0}\,$ y $OX_{0}\,$, respectivamente, de tal modo que su velocidad angular respecto al armazón de barras tiene módulo constante $\Omega \,$ y el sentido correspondiente al crecimiento del ángulo $\theta \,$ que se define en la figura. Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$.

1. ¿Por qué punto del plano $OX_{0}Z_{0}\,$ pasa el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$?
2. ¿Cuánto valen la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$ y la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$?

No Boletín - Bola en canal rectilíneo (Ex.Sep/15)

Una bola (sólido "2") de radio $R\,$ se desplaza sobre dos carriles rectilíneos paralelos fijos (sólido "1") separados entre sí una distancia $R\,$. El movimiento de la bola es tal que: i) en todo instante rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro $C\,$ realiza un movimiento rectilíneo y uniforme con celeridad $v\,$. Llamamos $A\,$ y $B\,\,$ respectivamente a los puntos de contacto entre la bola y cada uno de los carriles, y definimos el triedro fijo $\,O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ de la figura.

1. Determine el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}.\,$
2. Calcule la aceleración instantánea $\,{\vec {a}}_{21}^{\,A}.\,$

No Boletín - Composición de aceleraciones angulares (Ex.Ene/12)

Dados tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2"), se conocen como funciones del tiempo las siguientes velocidades angulares:

${\vec {\omega }}_{01}(t)=\alpha _{0}t\,{\vec {k}}_{0}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}(t)=\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$    ($\alpha _{0}\,$ y $\Omega \,$ son constantes conocidas)

donde $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ es una base ortonormal que se mueve solidariamente con "0".

Determine la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}(t)\,$

No Boletín - Composición de dos rotaciones concurrentes (Ex.Dic/11)

Se tienen tres sólidos tales que el movimiento relativo {20} es una rotación en torno al eje {$x=y\,$, $z=0\,$ } y el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno al eje {$x=z\,$, $y=0\,$ }. Las velocidades angulares de ambos movimientos tienen el mismo módulo $|{\vec {\omega }}_{20}|=|{\vec {\omega }}_{01}|=\omega _{0}\,$ y sus respectivas componentes-$\!x\,$ son ambas positivas.

1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

No Boletín - Composición de dos rotaciones paralelas (Ex.Jun/13)

Considérese una terna de sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tal que los movimientos relativo {20} y de arrastre {01} son sendas rotaciones paralelas. El EIR{20} es la recta {$\,\,x=0\,$, $y=L\neq 0\,$}, mientras que el EIR{01} es la recta {$\,\,x=0\,$, $y=-L\,$}. Las velocidades angulares relativa ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y de arrastre ${\vec {\omega }}_{01}\,$ apuntan ambas en el sentido positivo del eje cartesiano al cual son paralelas, y sus respectivos módulos son los siguientes:

$|{\vec {\omega }}_{20}|=\Omega \neq 0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|{\vec {\omega }}_{01}|=2\,\Omega$

1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

No Boletín - Cono sobre plano horizontal (Ex.Ene/18)

Un cono recto (sólido "2"), con un semiángulo de $\pi /6\,\,\mathrm {rad} \,$ en el vértice, rueda sin deslizar sobre el plano horizontal $OX_{1}Y_{1}\,$ del triedro fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"), manteniendo su vértice fijo en el punto $O\,$ y teniendo en cada instante una generatriz $OG\,$ en contacto con el citado plano horizontal. Se define un triedro auxiliar móvil $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0"), cuyo eje $OZ_{0}\,$ coincide con el eje $OZ_{1}\,$, y cuyo plano $OX_{0}Z_{0}\,$ contiene siempre al centro $C\,$ de la base del cono y, por tanto, contiene también al eje de simetría $OZ_{2}\,$ del cono. Se conoce como dato que ${\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{1}\,$ (siendo $\Omega \,$ una constante positiva). Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$.

1. ¿Cuál es el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}\,$?
2. Determine la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$.
3. Determine la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$.

No Boletín - Cuestión sobre rodar, pivotar y deslizar (Ex.Sep/14)

Una esfera (sólido "2") se mueve sobre el plano $z=0\,$ (sólido "1") de cierto sistema de referencia OXYZ, manteniéndose en todo instante el contacto puntual esfera-plano. La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto de contacto $C\,$ viene dada por:

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {k}}\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} \\{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {\imath }}\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \end{array}}\right.$

¿Cuál de las siguientes descripciones del movimiento de la esfera respecto al plano $z=0\,$ es la correcta?

(a) Rodadura y pivotamiento, sin deslizamiento.

(b) Rodadura y deslizamiento, sin pivotamiento.

(c) Pivotamiento y deslizamiento, sin rodadura.

(d) Rodadura, pivotamiento y deslizamiento.

No Boletín - Detección de identidad falsa (Ex.Jun/13)

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") en movimiento relativo. ¿Cuál de las siguientes identidades es falsa?

1) ${\vec {v}}_{21}^{\,P}={\vec {v}}_{20}^{\,P}+{\vec {v}}_{01}^{\,Q}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {QP}}$

2) ${\vec {a}}_{21}^{\,P}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {v}}_{20}^{\,P}}{dt}}\right|_{0}+\left.{\frac {d{\vec {v}}_{01}^{\,P}}{dt}}\right|_{1}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,P}$

3) ${\vec {\alpha }}_{21}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{20}}{dt}}\right|_{0}+\left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{01}}{dt}}\right|_{1}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\vec {\omega }}_{01}$

4) ${\vec {\omega }}_{01}\cdot {\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\omega }}_{01}\cdot ({\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01})$

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio (Ex.Ene/15)

Mediante un par de revolución, el plano $OX_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}\equiv OZ_{0}\,$ en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante $\omega \,$, de forma que el eje $OX_{0}\,$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro $C\,$ y radio $R\,$, contenido en todo instante en el plano $OX_{0}Z_{0}\,$, rueda sobre el eje horizontal $OX_{0}\,$ en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante $\omega \,$, mientras que su centro $C\,$ avanza con velocidad relativa ${\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=\omega R\,{\vec {\imath }}_{0}\,$. Se denomina $A\,$ al punto de contacto entre el disco y el eje $OX_{0}\,$. Las magnitudes cinemáticas que se piden a continuación se refieren al instante representado en la figura, en el que ${\overrightarrow {OC}}=2R\,{\vec {\imath }}_{0}+R\,{\vec {k}}_{0}\,$. Se pide:

1. Aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$
2. Velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$
3. Aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Mediante un par de revolución, el plano $OX_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}\equiv OZ_{0}\,$ en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante $\omega \,$, de forma que el eje $OX_{0}\,$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro $C\,$ y radio $R\,$, contenido en todo instante en el plano $OX_{0}Z_{0}\,$, rueda sin deslizar sobre el eje vertical $OZ_{0}\,$, moviéndose su centro $C\,$ con velocidad relativa ${\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=-\,v\,{\vec {k}}_{0}\,$ (donde $v\,$ es una constante positiva). Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo $A\,$ el punto de contacto entre el disco y el eje $OZ_{0}\,$, y siendo $B\,$ el punto del disco diametralmente opuesto al punto $A\,$.

1. ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$?
2. ¿Cuánto vale la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$?
3. ¿Cuánto vale la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$?

No Boletín - Disco en barra ranurada (Ex.Ene/12)

Mediante un par de revolución, la barra ranurada horizontal $OB\,$ (sólido "0") gira en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante $\Omega \,$ alrededor del eje vertical $O_{1}Z_{1}\,$ del triedro fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de radio $R\,$, contenido en todo instante en el plano vertical $OX_{0}Z_{0}\,$, rota en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante $2\,\Omega \,$, mientras que su centro $C\,$ se desplaza por la ranura de la barra con celeridad constante $4\,\Omega R\,$ en el sentido positivo del eje $OX_{0}\,$. En el instante representado en la figura, y al que se refieren las siguientes preguntas, el centro $C\,$ del disco se halla a distancia $2R\,$ del extremo $O\,$ de la barra, y se denomina $A\,$ al punto del disco que ocupa la posición más alta.

1. Determine la posición del EIR{20}
2. Calcule la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{A}\,$
3. Calcule la aceleración instantánea ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$

No Boletín - Disco rotatorio sobre plataforma rotatoria (Ex.Ene/13)

Una plataforma horizontal circular (sólido "0") rota con velocidad angular de módulo constante $\omega \,$ (y sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical $OZ_{1}\equiv OZ_{0}\,$ del triedro fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"). Al mismo tiempo, un disco de radio $R\,$ (sólido "2") se mueve respecto a la plataforma "0" rotando con velocidad angular de módulo constante $\Omega \,$ (y sentido indicado en la figura) alrededor del eje $OX_{0}\,$. Se pide:

1. Aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$
2. Velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$
3. Aceleración instantánea ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$

No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14)

La varilla rígida $AB\,$ (sólido "0"), de longitud $2L\,$, está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical $OZ_{1}\,$ del triedro fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje $OZ_{1}\,$. La varilla "0" rota alrededor del eje $OZ_{1}\,$ con velocidad angular constante $\Omega \,$ (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo $A\,$ recorre el citado eje $OZ_{1}\,$ con celeridad constante $v_{0}\,$ (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida $CD\,$ (sólido "2"), de longitud $L\,$, se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro $C\,$ de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por $C\,$. El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje $AX_{0}\,$) con velocidad angular constante $\Omega \,$ (en el sentido mostrado en la figura). Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $AX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0") que se define en la figura.

Determine las siguientes magnitudes:

1. Velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,C}\,$
2. Aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$
3. Aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$

No Boletín - Dos varillas con extremo común (Ex.Sep/14)

Dos varillas rígidas idénticas, de longitud $L\,$, de extremo común $A\,$, y que denominaremos sólidos "2" y "0", se hallan contenidas en todo instante en los planos $OXZ\,$ y $OYZ\,$, respectivamente (ver figura). El sistema se mueve de forma que el extremo común $A\,$ recorre el eje $OZ\,$, el extremo $B\,$ de la varilla "2" recorre el eje $OX\,$, y el extremo $C\,$ de la varilla "0" recorre el eje $OY\,$. Se sabe además que el ángulo que forma cada una de las varillas con el eje $OZ\,$ (según se define en la figura) obedece la ley horaria $\theta (t)=\omega t\,$ (donde $\omega \,$ es una constante positiva conocida).

Considerando como movimiento-problema el movimiento relativo de una varilla respecto a la otra (movimiento $\{20\}\,$), se pide:

1. Velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{20}\,$.
2. Velocidad instantánea ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$ y aceleración instantánea ${\vec {a}}_{20}^{\,O}\,$.
3. Eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$.

No Boletín - Placa triangular (Ex.Ene/16)

Una placa triangular $\,ABC\,$ (sólido "2"), equilátera de lado $\,L\,$, rota con velocidad angular constante $\,\Omega _{0}\,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor del lado $\,AB\,$ de un armazón triangular hueco $\,ABO\,$ (sólido "0") que tiene exactamente las mismas dimensiones que la placa. A su vez, el armazón $\,ABO\,$ se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano $\,O_{1}X_{1}Y_{1}\,$ del triedro fijo $\,O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"), y rota con velocidad angular constante $\,\omega _{0}\,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su vértice $\,O\,$ (eje $\,O_{1}Z_{1}\,$). Sea $\,\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $\,OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0") definido en la figura, el cual se mueve solidariamente con el armazón triangular $\,ABO.\,$

Determine las siguientes magnitudes:

1. Velocidad $\,{\vec {v}}_{21}^{\,D}\,$ (ver $\,D\,$ en la figura)
2. Aceleración angular $\,{\vec {\alpha }}_{21}\,$
3. Aceleración $\,{\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$

No Boletín - Varilla que desliza en aro giratorio

El sistema de la figura está constituido por un aro rígido (sólido “0”), de centro C y radio $R\,$, que rota libremente alrededor de su diámetro vertical fijo $AB\,$ contenido en el eje $AZ_{1}\,$ del triedro $AX_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido “1”); y por una varilla rígida $PQ\,$ (sólido “2”), de centro $G\,$, cuyos extremos se hallan articulados a sendos deslizadores que los obligan a moverse sobre el aro. Describiendo la cinemática del sistema mediante las derivadas temporales de los ángulos $\varphi$ y $\theta \,$ definidos en la figura, determine:

1. ${\vec {\omega }}_{21}\,$, ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ y eje instantáneo de rotación del movimiento {21}.
2. ${\vec {v}}_{21}^{\,P}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,P}\,$ en el instante en que el extremo $P\,$ de la varilla pasa por el punto más alto del aro (punto $B\,$).

Nota: Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” de la figura, cuyo plano vertical $AX_{0}Z_{0}\,$ contiene al aro en todo instante.