Disco con eje en vástago

Enunciado

El sólido rígido $0$ del mecanismo de la figura se corresponde con un vástago $OC$ de longitud $3R$ que, mediante un par cilíndrico situado en su extremo O, permanece en todo instante perpendicular al eje vertical fijo $O_{1}Z_{1}$ (sólido $1$). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de $O_{1}Z_{1}$ con velocidad angular constante de módulo $|{\vec {\omega }}_{01}|=2\,\omega$ y en el sentido mostrado en la figura; a su vez, el extremo $O$ se desplaza sobre el eje vertical $O_{1}Z_{1}$ en sentido positivo y con velocidad constante, siendo el módulo de ésta $|{\vec {v}}_{01}^{\,O}|=v$. El extremo C del sólido “0” está articulado al centro de un disco de radio $R$ (sólido “2”), siempre contenido en el plano vertical $OX_{0}Z_{0}$; el movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor de un eje paralelo a $OY_{0}$ que pasa por C, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular constante cuyo módulo es $|{\vec {\omega }}_{20}|=\omega$. Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido $0$, $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$, para expresar las magnitudes vectoriales, determine:

1. El vector velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}$ y el vector aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}$, correspondientes al movimiento del disco respecto al triedro fijo.
2. Las velocidades del punto A del perímetro del disco en el instante en que aquél ocupa el extremo más alto del diámetro vertical (ver figura), para cada uno de los tres movimientos relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: ${\vec {v}}_{01}^{A}$, ${\vec {v}}_{20}^{A}$ y ${\vec {v}}_{21}^{A}$
3. Las aceleraciones ${\vec {a}}_{01}^{A}$, ${\vec {a}}_{20}^{A}$ y ${\vec {a}}_{21}^{A}$ para el mismo punto y en el mismo instante especificado en el apartado anterior.

Velocidad y aceleración angulares

Velocidad angular

La velocidad angular absoluta es la suma de la de arrastre y la relativa

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}$

De acuerdo con el enunciado, estas dos velocidades angulares valen

${\vec {\omega }}_{20}=-\omega {\vec {\jmath }}_{0}\,\,;$        ${\vec {\omega }}_{01}=2\omega {\vec {k}}_{0}$

lo que nos da la velocidad angular absoluta

${\vec {\omega }}_{21}=\omega \left(-{\vec {\jmath }}_{0}+2{\vec {k}}_{0}\right)$

Aceleración angular

Para la aceleración angular tenemos la fórmula de composición

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}$

El movimiento de arrastre {01} es un movimiento helicoidal en torno de un eje permanente con velocidad angular constante. Por ello, la aceleración angular de arrastre es nula

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}({\vec {\omega }}_{01})\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}({\vec {\omega }}_{01})\right|_{0}+\overbrace {{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{01}} ^{={\vec {0}}}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}{\vec {k}}_{0}={\vec {0}}$

El movimiento relativo {20} es una rotación respecto a otro eje permanente también con velocidad angular constante, por lo que

${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}({\vec {\omega }}_{20})\right|_{0}=-{\frac {\mathrm {d} (2\omega )}{\mathrm {d} t}}{\vec {\jmath }}_{0}={\vec {0}}$

Esto nos da la aceleración angular {21}

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {0}}+{\vec {0}}+(2\omega {\vec {k}}_{0})\times (-\omega {\vec {\jmath }})=2\omega ^{2}{\vec {\imath }}_{0}$

Velocidades del punto A

Tenemos que hallar tres velocidades: la de arrastre {01}, la relativa {20} y la absoluta {21}. Veámoslas por separado

Velocidad de arrastre {01}

El movimiento {01} es un helicoidal en torno al eje OZ. La velocidad del punto A en este movimiento es igual a

${\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}$

La velocidad de O es la de mínimo deslizamiento, dada en el enunciado,

${\vec {v}}_{01}^{\,O}=v{\vec {k}}_{0}$

La velocidad angular ya la conocemos. El vector de posición relativo vale

${\overrightarrow {OA}}=3R{\vec {\imath }}_{0}+R{\vec {k}}_{0}$

por lo que la velocidad de arrastre es igual a

${\vec {v}}_{01}^{A}=v{\vec {k}}_{0}+(2\omega {\vec {k}}_{0})\times (3R{\vec {\imath }}_{0}+R{\vec {k}}_{0})=6\omega R{\vec {\jmath }}_{0}+v{\vec {k}}_{0}$

Velocidad relativa {20}

La velocidad relativa es la correspondiente a una rotación en torno a un eje que pasa por C

${\vec {v}}_{20}^{A}={\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CA}}=(-\omega {\vec {\jmath }}_{0})\times (R{\vec {k}}_{0})=-\omega R{\vec {\imath }}_{0}$

Velocidad absoluta {21}

Sumando las dos anteriores

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{20}^{A}+{\vec {v}}_{01}^{A}=-\omega R{\vec {\imath }}_{0}+6\omega R{\vec {\jmath }}_{0}+v{\vec {k}}_{0}$

Aceleraciones de A

Al igual que con las velocidades, debemos calcular tres aceleraciones diferentes:

Aceleración de arrastre {01}

El movimiento helicoidal {01} tiene velocidad de deslizamiento y angular constantes, por lo que

${\vec {a}}_{01}^{A}=\overbrace {{\vec {a}}_{01}^{O}} ^{={\vec {0}}}+\overbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} ^{={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {OA}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}})=(2\omega {\vec {k}}_{0})\times ((2\omega {\vec {k}}_{0})\times (3R{\vec {\imath }}_{0}+R{\vec {k}}_{0}))=-12R\omega ^{2}{\vec {\imath }}_{0}$

Aceleración relativa {20}

Esta rotación es la de un movimiento circular uniforme alrededor de un eje fijo

${\vec {a}}_{20}^{A}=\overbrace {{\vec {a}}_{20}^{C}} ^{={\vec {0}}}+\overbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} ^{={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {CA}}+{\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CA}})=(-\omega {\vec {\jmath }}_{0})\times ((-\omega {\vec {\jmath }}_{0})\times (R{\vec {k}}_{0}))=-R\omega ^{2}{\vec {k}}_{0}$

Aceleración absoluta {21}

Tenemos la ley de composición

${\vec {a}}_{21}^{A}={\vec {a}}_{20}^{A}+{\vec {a}}_{01}^{A}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{A}$

Sustituyendo cada uno de los términos obtenemos

${\vec {a}}_{21}^{A}=-R\omega ^{2}{\vec {k}}_{0}-12R\omega ^{2}{\vec {\imath }}_{0}+2(2\omega {\vec {k}}_{0})\times (-\omega R{\vec {\imath }}_{0})=-R\omega ^{2}(12{\vec {\imath }}_{0}+4{\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {k}}_{0})$