Disco con eje en vástago

Enunciado

El sólido rígido Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} del mecanismo de la figura se corresponde con un vástago Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OC} de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3R} que, mediante un par cilíndrico situado en su extremo O, permanece en todo instante perpendicular al eje vertical fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} (sólido $1$). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de $O_{1}Z_{1}$ con velocidad angular constante de módulo $|{\vec {\omega }}_{01}|=2\,\omega$ y en el sentido mostrado en la figura; a su vez, el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} se desplaza sobre el eje vertical $O_{1}Z_{1}$ en sentido positivo y con velocidad constante, siendo el módulo de ésta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_{01}^{\,O}|=v} . El extremo C del sólido “0” está articulado al centro de un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} (sólido “2”), siempre contenido en el plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0} ; el movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor de un eje paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0} que pasa por C, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular constante cuyo módulo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\omega}_{20}|=\omega} . Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0} , para expresar las magnitudes vectoriales, determine:

1. El vector velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} y el vector aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}} , correspondientes al movimiento del disco respecto al triedro fijo.
2. Las velocidades del punto A del perímetro del disco en el instante en que aquél ocupa el extremo más alto del diámetro vertical (ver figura), para cada uno de los tres movimientos relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^A} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20}^A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A}
3. Las aceleraciones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{01}^A} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{20}^A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^A} para el mismo punto y en el mismo instante especificado en el apartado anterior.

Velocidad y aceleración angulares

Velocidad angular

La velocidad angular absoluta es la suma de la de arrastre y la relativa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}}

De acuerdo con el enunciado, estas dos velocidades angulares valen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=-\omega\vec{\jmath}_0\,\,;}         Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=2\omega\vec{k}_0}

lo que nos da la velocidad angular absoluta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\omega\left(-\vec{\jmath}_0+2\vec{k}_0\right)}

Aceleración angular

Para la aceleración angular tenemos la fórmula de composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}}

El movimiento de arrastre {01} es un movimiento helicoidal en torno de un eje permanente con velocidad angular constante. Por ello, la aceleración angular de arrastre es nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\vec{\omega}_{01})\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\vec{\omega}_{01})\right|_0+\overbrace{\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{01}}^{=\vec{0}}=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\vec{k}_0 = \vec{0}}

El movimiento relativo {20} es una rotación respecto a otro eje permanente también con velocidad angular constante, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\vec{\omega}_{20})\right|_0=-\frac{\mathrm{d}(2\omega)}{\mathrm{d}t}\vec{\jmath}_0 = \vec{0}}

Esto nos da la aceleración angular {21}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}= \vec{0}+\vec{0}+(2\omega\vec{k}_0)\times(-\omega\vec{\jmath})=2\omega^2\vec{\imath}_0}

Velocidades del punto A

Tenemos que hallar tres velocidades: la de arrastre {01}, la relativa {20} y la absoluta {21}. Veámoslas por separado

Velocidad de arrastre {01}

El movimiento {01} es un helicoidal en torno al eje OZ. La velocidad del punto A en este movimiento es igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{01}=\vec{v}^{\, O}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}}

La velocidad de O es la de mínimo deslizamiento, dada en el enunciado,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{01}=v\vec{k}_0}

La velocidad angular ya la conocemos. El vector de posición relativo vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=3R\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0}

por lo que la velocidad de arrastre es igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{01}=v\vec{k}_0+(2\omega\vec{k}_0)\times(3R\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0) = 6\omega R\vec{\jmath}_0+v\vec{k}_0}

Velocidad relativa {20}

La velocidad relativa es la correspondiente a una rotación en torno a un eje que pasa por C

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA}=(-\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)=-\omega R \vec{\imath}_0}

Velocidad absoluta {21}

Sumando las dos anteriores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{20}+\vec{v}^A_{01}=-\omega R\vec{\imath}_0+6\omega R\vec{\jmath}_0+v\vec{k}_0}

Aceleraciones de A

Al igual que con las velocidades, debemos calcular tres aceleraciones diferentes:

Aceleración de arrastre {01}

El movimiento helicoidal {01} tiene velocidad de deslizamiento y angular constantes, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{01}=\overbrace{\vec{a}^O_{01}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{01}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})= (2\omega\vec{k}_0)\times((2\omega\vec{k}_0)\times(3R\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)) = -12R\omega^2\vec{\imath}_0}

Aceleración relativa {20}

Esta rotación es la de un movimiento circular uniforme alrededor de un eje fijo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{20}=\overbrace{\vec{a}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{20}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{CA}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA})=(-\omega\vec{\jmath}_0)\times((-\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)) = -R\omega^2\vec{k}_0}

Aceleración absoluta {21}

Tenemos la ley de composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20}}

Sustituyendo cada uno de los términos obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{21}=-R\omega^2\vec{k}_0-12R\omega^2\vec{\imath}_0+2(2\omega\vec{k}_0)\times(-\omega R \vec{\imath}_0)= -R\omega^2(12\vec{\imath}_0+4\vec{\jmath}_0+\vec{k}_0)}