No Boletín - Dos varillas con extremo común (Ex.Sep/14)

Enunciado

Dos varillas rígidas idénticas, de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\,} , de extremo común Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} , y que denominaremos sólidos "2" y "0", se hallan contenidas en todo instante en los planos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXZ\,} y $OYZ\,$, respectivamente (ver figura). El sistema se mueve de forma que el extremo común $A\,$ recorre el eje $OZ\,$, el extremo $B\,$ de la varilla "2" recorre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} , y el extremo $C\,$ de la varilla "0" recorre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY\,} . Se sabe además que el ángulo que forma cada una de las varillas con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ\,} (según se define en la figura) obedece la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\omega t\,} (donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega\,} es una constante positiva conocida).

Considerando como movimiento-problema el movimiento relativo de una varilla respecto a la otra (movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} ), se pide:

1. Velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} y aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}\,} .
2. Velocidad instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}\,} y aceleración instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{20}\,} .
3. Eje instantáneo de rotación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} .

Velocidad angular y aceleración angular del movimiento {20}

De la lectura del enunciado y la inspección de la figura, se deducen las velocidades angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\,} en cualquier instante de tiempo, y a partir de éstas se determinan por definición las correspondientes aceleraciones angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}(t)=-\,\dot{\theta}\,\vec{\jmath}=-\,\omega\,\vec{\jmath} \,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\vec{\alpha}_{21}= \left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}\,t}\right|_1=\vec{0} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{01}(t)=\dot{\theta}\,\vec{\imath}=\omega\,\vec{\imath} \,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\vec{\alpha}_{01}= \left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}\,t}\right|_1=\vec{0} }

Aplicando entonces las leyes de composición, se determinan Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rcl} \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} & \,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\, & \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}= -\,\omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,\,) \\ \\ \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} & \,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\, & \vec{\alpha}_{20}=\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{= \vec{0}}-\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{= \vec{0}}-\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}= \omega^2\,\vec{k}\end{array} }

Velocidad y aceleración instantáneas del punto O en el movimiento {20}

El extremo común Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} de las dos varillas es obviamente un punto fijo en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} y, por tanto:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{A}_{20}(t)=\vec{0}\,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\vec{a}^{A}_{20}= \left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{v}^{A}_{20}}{\mathrm{d}\,t}\right|_0=\vec{0} }

Nos vamos a apoyar en dicho punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} para calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{20}\,} . Utilizando las ecuaciones del campo de velocidades y del campo de aceleraciones del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} , y teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AO}=-L\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{k}\,} , se tiene que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO}= \omega L\,\mathrm{cos}(\omega t)(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\,) \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{A}_{20}}_{=\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{AO}}_{= \vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO})=2\,\omega^2 L\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{k} \end{array} }

Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

El eje instantáneo de rotación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} (en adelante, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{EIR}\{20\}\,} ) es la recta paralela al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} que pasa por el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} (ya que sabemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{A}_{20}=\vec{0}\,} ). Por tanto, las ecuaciones del Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{EIR}\{20\}\,} son:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x}{-\,\omega}=\frac{y}{-\,\omega}=\frac{z-L\,\mathrm{cos}(\omega t)}{0} \,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} y=x \\ z=L\,\mathrm{cos}(\omega t) \end{array}\right. }

La misma recta se obtiene a partir de la ecuación vectorial del Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{EIR}\{20\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall I\in\mathrm{EIR}\{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, O}_{20}}{|\vec{\omega}_{20}|^2}+\lambda\,\vec{\omega}_{20} }

sustituyendo los valores previamente obtenidos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall I\in\mathrm{EIR}\{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\overrightarrow{OI}=L\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{k}-\lambda\,\omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,) }