No Boletín - Dos varillas con extremo común (Ex.Sep/14)

Enunciado

Dos varillas rígidas idénticas, de longitud $L\,$, de extremo común $A\,$, y que denominaremos sólidos "2" y "0", se hallan contenidas en todo instante en los planos $OXZ\,$ y $OYZ\,$, respectivamente (ver figura). El sistema se mueve de forma que el extremo común $A\,$ recorre el eje $OZ\,$, el extremo $B\,$ de la varilla "2" recorre el eje $OX\,$, y el extremo $C\,$ de la varilla "0" recorre el eje $OY\,$. Se sabe además que el ángulo que forma cada una de las varillas con el eje $OZ\,$ (según se define en la figura) obedece la ley horaria $\theta (t)=\omega t\,$ (donde $\omega \,$ es una constante positiva conocida).

Considerando como movimiento-problema el movimiento relativo de una varilla respecto a la otra (movimiento $\{20\}\,$), se pide:

1. Velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{20}\,$.
2. Velocidad instantánea ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$ y aceleración instantánea ${\vec {a}}_{20}^{\,O}\,$.
3. Eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$.

Velocidad angular y aceleración angular del movimiento {20}

De la lectura del enunciado y la inspección de la figura, se deducen las velocidades angulares ${\vec {\omega }}_{21}\,$ y ${\vec {\omega }}_{01}\,$ en cualquier instante de tiempo, y a partir de éstas se determinan por definición las correspondientes aceleraciones angulares ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ y ${\vec {\alpha }}_{01}\,$:

${\vec {\omega }}_{21}(t)=-\,{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}=-\,\omega \,{\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,{\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\frac {\mathrm {d} \,{\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} \,t}}\right|_{1}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{01}(t)={\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}=\omega \,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,{\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\frac {\mathrm {d} \,{\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} \,t}}\right|_{1}={\vec {0}}$

Aplicando entonces las leyes de composición, se determinan ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y ${\vec {\alpha }}_{20}\,$:

${\begin{array}{rcl}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}&\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=-\,\omega \,({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,\,\,)\\\\{\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}&\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {\alpha }}_{20}=\underbrace {{\vec {\alpha }}_{21}} _{={\vec {0}}}-\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{={\vec {0}}}-\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=\omega ^{2}\,{\vec {k}}\end{array}}$

Velocidad y aceleración instantáneas del punto O en el movimiento {20}

El extremo común $A\,$ de las dos varillas es obviamente un punto fijo en el movimiento $\{20\}\,$ y, por tanto:

${\vec {v}}_{20}^{A}(t)={\vec {0}}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,{\vec {a}}_{20}^{A}=\left.{\frac {\mathrm {d} \,{\vec {v}}_{20}^{A}}{\mathrm {d} \,t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

Nos vamos a apoyar en dicho punto $A\,$ para calcular ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$ y ${\vec {a}}_{20}^{\,O}\,$. Utilizando las ecuaciones del campo de velocidades y del campo de aceleraciones del movimiento $\{20\}\,$, y teniendo en cuenta que ${\overrightarrow {AO}}=-L\,\mathrm {cos} (\omega t)\,{\vec {k}}\,$, se tiene que:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{20}^{\,O}=\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,A}} _{={\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AO}}=\omega L\,\mathrm {cos} (\omega t)({\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}\,)\\\\{\vec {a}}_{20}^{\,O}=\underbrace {{\vec {a}}_{20}^{A}} _{={\vec {0}}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}\times {\overrightarrow {AO}}} _{={\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AO}})=2\,\omega ^{2}L\,\mathrm {cos} (\omega t)\,{\vec {k}}\end{array}}$

Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

El eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$ (en adelante, $\mathrm {EIR} \{20\}\,$) es la recta paralela al vector ${\vec {\omega }}_{20}\,$ que pasa por el punto $A\,$ (ya que sabemos que ${\vec {v}}_{20}^{A}={\vec {0}}\,$). Por tanto, las ecuaciones del $\mathrm {EIR} \{20\}\,$ son:

${\frac {x}{-\,\omega }}={\frac {y}{-\,\omega }}={\frac {z-L\,\mathrm {cos} (\omega t)}{0}}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}y=x\\z=L\,\mathrm {cos} (\omega t)\end{array}}\right.$

La misma recta se obtiene a partir de la ecuación vectorial del $\mathrm {EIR} \{20\}\,$:

$\forall I\in \mathrm {EIR} \{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OI}}={\frac {{\vec {\omega }}_{20}\times {\vec {v}}_{20}^{\,O}}{|{\vec {\omega }}_{20}|^{2}}}+\lambda \,{\vec {\omega }}_{20}$

sustituyendo los valores previamente obtenidos de ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$:

$\forall I\in \mathrm {EIR} \{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OI}}=L\,\mathrm {cos} (\omega t)\,{\vec {k}}-\lambda \,\omega \,({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)$